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工業大学生ももやまのうさぎ塾

4年間+2年間の工業大学・大学院で学んだ知識やためになることを投稿していきます

(期末試験・編入学・院試・数検対策)線形代数1 総復習テスト:後編(解説付き)

こんにちは、ももやまです!
今回も前回に引き続き行基本変形 [ @kit_matrix ] さんの本番レベル模試の解説をまとめていこうと思います!

今回は記述編です!
問題はこちらのツイートに貼られているので、まだ解いていない人はぜひ解いてみてください!

前回のマーク編がこちら。マーク編がまだの人はこちらもご覧ください!

www.momoyama-usagi.com

 

※注意

できれば1回自分で解いてから解説を見ましょう。
実力確認用のテストなので……。

第8問.連立一次方程式 

 a を実数とし、\[
A = \ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & a & 5 \\ 3 & 2 & 9 & 7  \end{array} \right) , \ \vec{b} =  \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 4 \\ -3 \\ -4  \end{array} \right)
\]とする。以下の問いに答えよ。(配点    20)

(1)  a = 6 のとき、方程式  A \vec{x} = \vec{b} の一般解を求めよ。
(2) 方程式  A \vec{x} = \vec{b} が解をもつための  a の条件を求めよ。
(3) 方程式  A \vec{x} = \vec{b} が解を持たないとき、方程式  A \vec{x} = \vec{0} の一般解を求めよ。

[2017年度広島大学理学部 第3学年編入学試験]

 

 a = 6 を代入したときと、 a をそのまま行基本変形したバージョンの2つを書くのはちょっと時間がかかるので、最初から  a は代入せず、最後に  a = 6 を代入する。

\[
 \begin{align*}  & \ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & a & 5 & -3 \\ 3 & 2 & 9 & 7 & -4  \end{array} \right) \\ \to  \ & \ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & -3 & a+2 & 3 & -11 \\ 0 & -4 & 12 & 4 & -16    \end{array} \right) \\ \to \ & \ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & a-7 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right) \\ \to \ & \ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 5 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & a-7 & 0 & 1 \\  &  &  &  &   \end{array} \right)
\end{align*}
\]

(1) [10点]

行基本変形の結果、\[
\left\{ \begin{array}{l} 
x + 5z + 3w = -4 \\
y - 3z -w = 4 \\
z = -1
\end{array}\right.
\]の3つの式*1が得られる。 a = 6 を代入したときの行列  A の階数は3、拡大係数行列  (A | \vec{b}) のの階数も3と元の行列  A と等しくなるため、解をもつ。

また、列の数(未知数)は4つのため、必要な任意定数の数[自由度]は、4 - 3 = 1となる。ここで任意の定数を  t とする。 w = t とすると、 x = -3t + 1,  y = t + 1 となるので、一般解は、\[ \vec{x} = 
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ w  \end{array} \right) =
t \left( \begin{array}{ccc} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right) + 
 \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0  \end{array} \right) 
\]となる。

[別解: w = t ではなく、 y = t としたパターン。]

 y = t とすると、 w = t -1, x = -3t+4 となる。よって一般解は、\[ \vec{x} = 
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ w  \end{array} \right) =
t \left( \begin{array}{ccc} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right) + 
 \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 0 \\ -1 \\ -1  \end{array} \right) 
\]となる。

(2) [ 5点]

変形結果より、 a = 7 の場合は行列  A の階数は2となる。一方拡大係数行列  (A| \vec{b}) a の値にかかわらず階数は3となる。行列の階数と拡大係数行列が等しくない場合は解をもたないため、行列の解をもつためには  a が7以外であればよい。よって条件は  a \not = 7 となる。

(3) [ 5点]

解をもたないときは  a = 7 のとき。上の行基本変形より、\[
\left\{ \begin{array}{l} 
x + 5z + 3w = 0 \\
y - 3z -w = 0
\end{array}\right.
\]の一般解をもとめればよい。行列  A の階数が2、未知数が4なので必要な任意定数の数[自由度]は2となる。ここで任意定数を  s,t とし、  z = s,  w = t とする。 x = -5s-3t,  y = 3s + t と変形できるので、\[ \vec{x} = 
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ w  \end{array} \right) =
s \left( \begin{array}{ccc} -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0  \end{array} \right) + 
t \left( \begin{array}{ccc} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right) 
\]となる。

※注意
どの変数を任意定数として代入するかによって答えが変わってきます。
例えば(3)の場合、 y = s,  z = t とすると、 x = -3s+4t,  w = s - 3t となるので一般解は\[ \vec{x} = 
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ w  \end{array} \right) =
s \left( \begin{array}{ccc} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 1  \end{array} \right) + 
t \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3  \end{array} \right) 
\]となります。[実際に答えを代入して等号が成立すればOKです!]

 

★コメント★

行列式の1つの成分が未知の変数になっているタイプの問題でした。期末試験の場合、行列の一部(1つか2つの成分)が未知の変数になっていて、その未知の変数の値によって行列の階数を場合分けするタイプの問題は、頻繁に出題されます。このタイプの問題は確実に解けるようになっておきましょう!

 

第9問.逆行列 

行列  A を\[
A = \ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4  \\ 5 & 1 & 4 \\ 8 & 1 & 0 \end{array} \right)
\]と定める。このとき、以下の問いに答えよ。(配点    10)

(1) 行列  A は逆行列  A^{-1} をもつことを示せ。
(2) 逆行列  A^{-1} を求めよ。

 

(1) [3点]

逆行列をもつことは、行列  A が正則であることを示せばよい。
言い換えると、行列式  |A| \not = 0 を示せばよい。

\[
 \begin{align*} 
&  
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4  \\ 5 & 1 & 4 \\ 8 & 1 & 0 \end{array} \right|  \\ =  & \
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4  \\ 4 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 0 \end{array} \right| \\ = & \ 4
\left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 \\ 8 & 1 \end{array} \right| \\ = & \ 4
\left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right|
\\ = & \  4 \times 4 = 16 \not = 0
\end{align*}
\]

となり、行列  A が正則であることが示された。
よって、逆行列  A^{-1} を持つことも示された。

[別解]

行列  A が正則であることを示せばよい。
言い換えると、行列  A の階数が3に(列数と等しく)なればよい。\[
 \begin{align*} 
& \ 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4  \\ 5 & 1 & 4 \\ 8 & 1 & 0 \end{array} \right)  \\ \to  & \
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 4  \\ 4 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 0 \end{array} \right) \\ \to & \ 
\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 4  \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\ \to & \ 
\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 4  \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\ \to & \ 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) 
\end{align*}
\]となり、行列  A の階数は3。よって行列  A が正則であることが示された。
よって、逆行列  A^{-1} を持つことも示された。

 

(2) [7点]

解法は2パターンある。

[おとなしく掃き出し法]

\[ \begin{align*}  &
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0  \\ 5 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0  \\ 4 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 4 & 4 & 16 & 4 & 0 & 0  \\ 4 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 4 & 16 & 5 & -1 & 0  \\ 4 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 0 & 16 & -3 & 7 & -4  \\ 4 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0  \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{16} & \frac{7}{16} & -\frac{1}{4} \end{array} \right)
\end{align*} \] となるので、\[
A^{-1} = \frac{1}{16} \left( \begin{array}{ccc} -4 & 4 & 0 \\ 32 & -32 & 16 \\ -3 & 7 & -4 \end{array} \right) 
\]となる。

[余因子行列を作って解く方法]

それぞれの要素の余因子を求めて余因子行列 \tilde{A} を作ります。
余因子の場合、行番号+列番号=奇数のところは-1されることに注意!!

\[
\Delta_{11} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = -4 \\ 
\Delta_{12} = -1 \times \left| \begin{array}{ccc} 5 & 4 \\ 8 & 0 \end{array} \right| = 32 \\ 
\Delta_{13} = \left| \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 8 & 1 \end{array} \right| = -3 \\ 
\Delta_{21} = -1 \times \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = 4 \\ 
\Delta_{22} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 8 & 0 \end{array} \right| = -32 \\ 
\Delta_{23} = -1 \times \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 8 & 1 \end{array} \right| = 7 \\ 
\Delta_{31} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} \right| = 0 \\ 
\Delta_{32} = -1 \times \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 5 & 4 \end{array} \right| = 16 \\ 
\Delta_{33} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right| = -4 \\ 
\]となる。よって、余因子行列 \tilde{A} は、\[
\tilde{A} = 
\left( \begin{array}{cc} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \Delta_{31}  \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \Delta_{32} \\ \Delta_{13} & \Delta_{23} & \Delta_{33}  \end{array} \right)

\left( \begin{array}{ccc} -4 & 4 & 0 \\ 32 & -32 & 16 \\ -3 & 7 & -4  \end{array} \right)
\]となる。ここで行と列が転置することに注意!

(1) より  A の行列式  |A| は16であることがわかっているので、逆行列  A^{-1} は、 \[
\begin{align*} 
A^{-1} & = \frac{1}{|A|} \left( \begin{array}{ccc} -4 & 4 & 0 \\ 32 & -32 & 16 \\ -3 & 7 & -4 \end{array} \right) \\
& = \frac{1}{16} \left( \begin{array}{ccc} -4 & 4 & 0 \\ 32 & -32 & 16 \\ -3 & 7 & -4 \end{array} \right)
\end{align*} 
\]と求めることができる。

もちろん計算後は検算をお忘れなく!

\[ \begin{align*}  A A^{-1} = & 
\frac{1}{16} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 & -1  \\ -1 & 2 & 2  \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} -4 & 4 & 0 \\ 32 & -32 & 16 \\ -3 & 7 & -4 \end{array} \right) \\ = \ &  
\frac{1}{16} \left( \begin{array}{cc} 16 &  &   \\  & 16 &  \\  &  & 16 \end{array} \right)
\\ = \ &  \left( \begin{array}{cc} 1 &  &   \\  & 1 &  \\  &  & 1 \end{array} \right) = E
\end{align*} \]

このように元の行列と逆行列の積が単位行列となっていればOK!

★コメント★

逆行列があることを証明し、逆行列を求める問題でした。
期末試験や数検1級、さらには院試でも逆行列の算出は頻繁に出題されるため、確実に得点できるようになっておきましょう!

掃き出し法でも余因子行列をつかった方法の両パターンが解けるのが理想ですが余裕がない場合は、掃き出し法の方法をマスターするのがいいと思います。

 

第10問.行列式

つぎの(1),(2)の問いに答えなさい。(配点    10)
(1)
行列式\[
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1  \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right|
\]を計算せよ。

(2)
 t を実数とする。行列  A が\[
A = \ \left( \begin{array}{ccc} t-2 & -1 & -1  \\ -1 & t-2 & -1 \\ -1 & -1 & t-4 \end{array} \right)
\]で定義されるとき、  A の行列式を計算せよ。また、  A が正則でないとき、 t の値を求めよ。

 

(1)

変形していくと上三角行列になるテクニックを使用する。
[上三角行列、下三角行列の行列式は対角成分の和]

\[
 \begin{align*} 
&  
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1  \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right|  \\ = \ &
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right| \\ =  \ & 8
\end{align*}
\]

上三角行列の行列式が対角成分の和になることを知らなかった場合でも、さらに以下のように余因子展開していけばOK。

\[
 \begin{align*} 
&  
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right|  \\ =  \ &
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right|  \\ =  \ &
\left| \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right|  \\ =  \ & 2
\left| \begin{array}{ccc}  2 & 2 \\ 0 & 2 \end{array} \right|  \\ =  \ & 2 \times 4 = 8
\end{align*}
\]

となる。答えは8。[3点]

(2)

文字が入った行列式を解く問題。[固有値を習った際にこのような行列式を解くので確実に計算できるように!!]

サラスで解いてしまうと、3次方程式を解かないといけなくなり、計算ミスが多発してしまうため、おすすめは、サラスをなるべく使わずに文字が入った成分を外に出していき、余因子展開を使う方法です。

\[
 \begin{align*} 
&  
\left| \begin{array}{ccc} t-2 & -1 & -1  \\ -1 & t-2 & -1 \\ -1 & -1 & t-4 \end{array} \right|  \\ =  \ &
\left| \begin{array}{ccc} t-1 & 1-t & 0  \\ -1 & t-2 & -1 \\ -1 & -1 & t-4 \end{array} \right|  \\ =  \ & (t-1)
\left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0  \\ -1 & t-2 & -1 \\ -1 & -1 & t-4 \end{array} \right|  \\ =  \ & (t-1)
\left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0  \\ 0 & t-3 & -1 \\ 0 & -2 & t-4 \end{array} \right| \\ =  \ & (t-1) \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 \\ -2 & t-4 \end{array} \right| 
\\ =  \ & (t-1) \left| \begin{array}{ccc} t-5 & t-5 \\ -2 & t-4 \end{array} \right|
\\ =  \ & (t-1)(t-5) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -2 & t-4 \end{array} \right|
\\ =  \ & (t-1)(t-5) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 0 & t-2 \end{array} \right|
\\ =  \ & (t-1)(t-5)(t-2)
\ &\end{align*}
\]

 となり、行列式は  (t-1)(t-5)(t-2) となります。[4点]
また、 A が正則ということは  |A| = 0 となればよい。
そのような  t の値は、 t = 1,2,5 となる。[3点]

 

おまけ あえてサラスの公式でごり押し

\[
 \begin{align*} 
&  
\left| \begin{array}{ccc} t-2 & -1 & -1  \\ -1 & t-2 & -1 \\ -1 & -1 & t-4 \end{array} \right|  \\ =  \ &
(t-2)(t-2)(t-4) - 1 -1 -((t-2)+(t-2)+(t-4) \\ =  \ &
(t^3 - 8t^2 + 20t - 16) - 1 - 1 - (3t+8) \\ =  \ &
t^3 -8t^2 + 17t - 10 \\ =  \ &
(t-1)(t^2 - 7t + 10) = (t-1)(t-2)(t-5)
\ &\end{align*}
\]

となる。よって行列式は  t^3 - 8t^2 + 17t -10 となる。

 

★コメント★

(1)は余因子展開を使った基本的な行列式を解く問題でした。
上三角行列、下三角行列の公式を知っていた人はあっという間に解けたと思います。

(2)は文字式が入った行列式を解く問題でした。
文字が入った行列式の場合を行基本変形や余因子展開を使っていかに計算を楽にすることができたかかによって計算ミスの量が変わってくると思います。

 

さいごに

今回は行基本変形 [ @kit_matrix ] さんの本番レベル模試の記述編の解説をしました。マーク編に比べて計算量が多い問題が多かったと思います。

記述式の場合、(数検などの答えだけしか書かない試験を除き)確実に部分点がある可能性が出てくるので過程をしっかりと記述するようにしましょう。過程が合っていれば答えが間違っていた場合でも部分点がもらえる確率が上がります!

*1:本当は z = -1 を代入して2変数にしたほうがいいです。2変数にすると、\[
\left\{ \begin{array}{l} 
x + 3w = 1 \\
y  -w = 1 \\
\end{array}\right.
\]になります。