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(期末試験・編入学・院試・数検対策)線形代数2 総復習テスト:後編(アドバンスト)(解説付き)

こんにちは、ももやまです。

今回も線形代数の総復習テストとしまして、行基本変形サークルと共同で作成した問題の解説をまとめています。

 

 

アドバンストコースなので、ある程度線形代数が得意な人向けです。 

第6問A.線形写像

線形写像  f_A :  \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3 の表現行列  A が\[
A =  \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & 7 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \end{array} \right)
\]で定義されるとする。このとき、つぎの(1), (2)の問いに答えなさい。

(配点 20)

 

(1)  f_A の核  \mathrm{Ker} \ f_A の基底1組と次元を求めなさい。
(2)  f_A の像  \mathrm{Im} \ f_A の基底1組と次元を求めなさい。

 

まずは行列  A を行基本変形する。\[
 \begin{align*}   
A & = ( \vec{a}_1,  \vec{a}_2,  \vec{a}_3,  \vec{a}_4 ,  \vec{a}_5 ) 
\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & 7 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0  \end{array} \right)
\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & -7 & 7 & -21 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & 1  \end{array} \right)
\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right)
\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right)
\end{align*}
\]となる( \vec{a}_1 ~  \vec{a}_5 は定義しただけ)。

(1) [10点(次元:4点 基底:6点)]

核空間の次元と基底を求めるためには、解空間  A \vec{x} = \vec{0} のの部分空間の次元と基底を求めればよい。

ここで、核空間の次元は \[ \dim \mathrm{Ker} \ f = n - \mathrm{Rank} \ A = 5 - 2 = 3 \]となる。  

\[
\left\{ \begin{array}{l} x + 2z - v + w = 0 \\ y - z + 3v - w = 0 \end{array}\right. 
\]と同じ連立方程式となることがわかる(自由度2)。

ここで、 z = s,  v = t,  u = k とすると  x = -2s + t - k,  y =s - 3t + k  となることがわかる。ベクトルで書くと\[ \vec{x} = 
\left( \begin{array}{ccc} x  \\ y  \\ z \\ v \\ w \end{array} \right)
=  s \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) 
+ t \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) 
+k \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) 
\]となる。

つまり、解ベクトル  \vec{x} を表現するためには、\[\left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)  , \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) ,  \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)  \]の2つのベクトルがあればよい。

よって核空間の基底は、\[
\mathrm{Ker} \ f = \left\{ \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)  , \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) ,  \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)  \right\} 
\]となる。

 

(2) [10点(次元:4点 基底:6点)]

像空間は、表現行列の列をベクトルと見たときの生成系の部分空間の次元と基底を求めればよい。

 

核空間の次元と基底を求めるためには、解空間  A \vec{x} = \vec{0} のの部分空間の次元と基底を求めればよい。

 

なので各列をベクトルとしてみたときに1次独立となる最大数の数が像の次元となり、最大数の数だけ1次独立なベクトルを選んだものが基底となる。

 

行列  A の階数が2なので、 \[ \dim \mathrm{Im} \ f = \mathrm{Rank} \ A = 2 \]となる。また、1次独立な最大組は行基本変形後の行列に注目すると   \vec{a}_1,   \vec{a}_2 となる*1

 

よって像空間の基底は、\[
\mathrm{Im} \ f = \left\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)  \right\} 
\]となる。

 

核空間・像空間について復習したい人はこちらの記事で復習しましょう。

第7問A.行列の対角化

2つの行列  A,  B をつぎのように定義する。\[
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{array} \right) \ \ \ B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right)
\]このとき、つぎの問いに答えなさい。(配点 20)

(1) 行列  A,  B のうち、直交行列を用いて対角化可能なのはどちらか。理由も踏まえて答えなさい。

(2) (1)で選んだ行列を対角化させる適当な直交行列  P を示し、対角化しなさい。

(3) (1)で選んだ行列のべき乗  A^n もしくは  B^n を求めなさい。

(4) 2次形式\[
q( x_1, x_2, x_3 ) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3
\]の標準形と、標準形に変換する直交変数変換の式を1つ求めなさい。

 

前半は直交行列を用いた対角化、後半は対角化の応用です。

直交行列についての対角化はこちらの記事をご覧ください。

 

(1) [答えに1点、理由に2点]

解答: A

理由:行列  A は実対称行列  A =  {}^t\!A であるが、行列  B は実対称行列ではないから。

 

(2) [7点 固有値に3点 対角化で4点]

固有値を  t とすると、固有方程式は、\[\begin{align*}
|A-tE| = & \left| \begin{array}{ccc} 1-t & 2 & -2 \\ 2 & 1-t & -2 \\ -2 & -2 & 1-t \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 1-t & 2 & -2 \\ 2 & 1-t & -2 \\ 0 & -1-t & -1-t \end{array} \right|
\\ = & -(1+t) \left| \begin{array}{ccc} 1-t & 2 & -2 \\ 2 & 1-t & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right|
\\ = & -(1+t) \left| \begin{array}{ccc} 1-t & 4 & 0 \\ 2 & 3-t & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right|
\\ = & -(1+t) \left| \begin{array}{ccc} 1-t & 4  \\ 2 & 3-t   \end{array} \right|
\\ = & -(1+t) \left( (t-3)(t-1) - 8 \right)
\\ = & -(1+t) ( t^2 -4t - 5)
\\ = & -(1+t) (t+1)(t-5)
\end{align*} \]より固有値は-1(2重解)と5となる。

(固有値の対角成分の和と固有値の総和が3と等しくなることを確認しましょう。)

 

(i) 固有値が -1(2重解)のとき

\[ \begin{align*}
(A+1E) = \ &
\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2& -2 \\ -2 & -2 & 2 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align*} \]となる。\[
x  + y - z = 0
\]を解くと任意定数  s,  t を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) = s \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)
\]となる。

 

ここで、ベクトル\[
\vec{a_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 1   \end{array} \right) \ \ \ 
\vec{a_2} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1 \\ 0   \end{array} \right)
\]は固有ベクトルだが、互いに直交していない。なので、グラムシュミットを用いることで  \vec{a_1},  \vec{a_2} を正規直交化し、正規直交するような固有ベクトルを求める。

 \vec{a_1},  \vec{a_2} を正規直交化したベクトルを  \vec{p_1},  \vec{p_2} とする。\[
\vec{p_1} = \frac{1}{ |\vec{a_1}| } \vec{a_1} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right) 
\]となる。

 

\[
\vec{a_2} \cdot \vec{u_1} = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} }
\]なので、\[\begin{align*}
\vec{b_2} & = \vec{a_2} - \left( \vec{a_2} \cdot \vec{u_1} \right) \vec{u_1} 
\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1 \\ 0  \end{array} \right) - \frac{1}{ \sqrt{2} }\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right) 
\\ & =  \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -2 \\ 0  \end{array} \right) - \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right) 
\\ & = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \\ -1  \end{array} \right) 
\end{align*} \]となる。

よって、\[ \vec{p_2} = \frac{1}{ | \vec{b_2} | } \vec{b_2} = \frac{1}{ \sqrt{6} } \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)  \]となる。

よって、正規直交化された固有ベクトルは、\[
\vec{p_1} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right)  \ \ \ \vec{p_2} = \frac{1}{ \sqrt{6} } \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \\ -1  \end{array} \right)
\]となる。

 

 

(ii) 固有値が5のとき

重解ではないのでただ正規化するだけでOK。

\[ \begin{align*}
(A-5E) = \ &
\left( \begin{array}{ccc} -4& 2 & - 2 \\ 2 & -4& -2 \\ -2 & -2 & -4 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 0 & -6 & -6 \\ 2 & -4 & -2 \\ 0 & -6 & -6 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)  \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)  
\end{align*} \]となる。\[
\left\{ \begin{array}{l} x + z = 0 \\ y + z = 0 \end{array}\right. 
\]を解くと任意定数  k を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)
\]となる。

大きさを1に正規化した固有ベクトル  \vec{p_3} は、\[
\vec{p_3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)
\]となる。

 

よって、 \vec{p_1},  \vec{p_2},  \vec{p_3} は正規直交基底となるので、直交行列\[
P = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3} \right) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & -2 & \sqrt{2} \\  \sqrt{3} & -1 & -\sqrt{2} \end{array} \right) 
\]を用いて、\[
P^{-1} AP =  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5  \end{array} \right)
\]と対角化することができます。

 

[検算]\[
AP = PD = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{ccc} - \sqrt{3} & -1 & 5 \sqrt{2} \\ 0 & 2 & 5 \sqrt{2} \\  - \sqrt{3} & 1 & -5 \sqrt{2} \end{array} \right) 
\]となる。

 

(3) [7点]

ここで、行列  P は直交行列なので、逆行列は\[
P^{-1} = {}^t\!P = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \\ 1 & -2 & -1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & - \sqrt{2} \end{array} \right) 
\]となる。

 

行列  A のべき乗  A^n は\[
A^n = P D^n P^{-1}
\]と求められるので、\[\begin{align*}
A^n & = P D^n P^{-1}
\\ & = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & -2 & \sqrt{2} \\  \sqrt{3} & -1 & -\sqrt{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^n & 0 \\ 0 & 0 & 5^n  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \\ 1 & -2 & -1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & - \sqrt{2} \end{array} \right) 
\\ & = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} (-1)^n \sqrt{3} & (-1)^n & 5^n  \sqrt{2} \\ 0 & -2 (-1)^n & 5^n \sqrt{2} \\  (-1)^n \sqrt{3} & - (-1)^n & - 5^n \sqrt{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \\ 1 & -2 & -1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & - \sqrt{2} \end{array} \right) 
\\ & = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 4 (-1)^n  + 2 \cdot 5^n & - 2 (-1)^n  + 2 \cdot 5^n & 2 (-1)^n  -2 \cdot 5^n\\ -2 (-1)^n + 2 \cdot 5^n & 4 (-1)^n + 2 \cdot 5^n & 2 (-1)^n - 2 \cdot 5^n \\ 2 (-1)^n - 2 \cdot 5^n & 2 (-1)^n - 2 \cdot 5^n & 4 (-1)^n + 2 \cdot 5^n  \end{array} \right) 
\\ & = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 2 (-1)^n  +  5^n & -  (-1)^n  +  5^n & (-1)^n  -  5^n\\ - (-1)^n +  5^n & 2 (-1)^n +  5^n & (-1)^n -  5^n \\ (-1)^n -  5^n & (-1)^n -  5^n & 2 (-1)^n + 5^n  \end{array} \right) 
\end{align*} \]と求めることができる。

余裕があれば  n = 1 くらいで代入して確かめましょう。

 

行列のべき乗の求め方についてはこちらの記事をご覧ください。

 

(4) [3点]

変数ベクトル\[
\vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)
\]用いることで2次形式\[  q(x_1, x_2, x_3) = {}^t\! \vec{x} A \vec{x}\]と変形できる。

 

ここで、ベクトル  \vec{y} を\[
\vec{y} = \left( \begin{array}{ccc} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) = {}^t\!P \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = {}^t\!P \vec{x}
\]とおくと*2、\[
q(y_1, y_2, y_3) = {}^t\! \vec{y} D \vec{y} = - y_1^2 - y_2^2 + 5 y_3^2
\]と標準形にできる。

 

2次形式の標準形の求め方についてはこちらの記事をご覧ください。

 

第8問A.行列と漸化式

これは,我々が生まれるはるか昔に,今はもう存在しない,とある国のとある島で起きた歴史的な戦いである。幾多の戦乱の時代を駆け巡ってきた今,この戦いに関する歴史的な書物もほとんど残されておらず,この戦いを知る者は非常に少ない。これは,そのようなあまり知られていない戦いを現代の数学の技術を駆使して考察する,感動的ドキュメンタリーである。数少ない歴史書によると,この戦いの全貌は以下の通りである。

 

[戦いの全貌]

人々が気持ちよく(意味深)生活していたシモキタ国領のジュッセンパイヤー島では,独自の神「ヌウォオン」を信仰していた。しかし,ある日突然隣国のアーイキソ共和国がジュッセンパイヤー島を侵略し始めた。アーイキソ共和国では独自の神「アイス・ティ」を信仰していたため,その信仰の違いによりジュッセンパイヤー島はたちまち戦場と化してしまった。それからというもの,ジュッセンパイヤー島では毎日争いが勃発している。ただし,その争いの勝敗は次のように確率的に決まるという。

 

[争いの勝敗]

  • その日の争いでジュッセンパイヤー島先住民が勝てば、翌日の争いが「勝ち」・「負け」である確率はそれぞれ順に  3/5,  2/5 である。
  • その日の争いでジュッセンパイヤー島先住民が負ければ、翌日の争いが「勝ち」・「負け」である確率はそれぞれ順に  1/2,  1/2 である。

 

正の整数  n に対して、戦争開始日(0日目とする)から  n 日後の争いでジュッセンパイヤー島先住民が勝つ確率を  p_n、負ける確率を  q_n とする。また、戦争開始日にジュッセンパイヤー島先住民が勝つと  p_0 = 1,  q_0 = 0 とし、負けると  p_0 = 0,  q_0 = 1 とする。このとき、次の問いに答えなさい。(配点 20)

(1)  \vec{x}_n = \left( \begin{array}{ccc} p_n \\ q_n \end{array} \right) とおく。このとき、 \vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n を満たす定数行列  A を求めなさい。ただし、 n = 0, 1, 2 \cdots である。

(2) (1) で求めた  A が対角化可能であることを示し、 A を適当な正則行列  P を用いて対角化しなさい。

(3)  \vec{x}_n A,  n,  \vec{x}_0 を用いて表し、初戦でジュッセンパイヤー島先住民が勝ったときの  p_n,  q_n をそれぞれ求めなさい。

(4) 汚い歴史書によると、この戦争が終わることはなかったそうだ。さて、彼らが無限に争いをしていたとすると、争いの勝敗は徐々に初戦の結果に依らなくなることを示しなさい。

固有値、固有ベクトルを用いて漸化式(差分方程式)を求める方法についてはこちらの記事をご覧ください。

 

(1) [3点]

まずはジュッセンパイヤー島先住民が勝つ確率と負ける確率を漸化式で表してみましょう。

  • 翌日勝つ確率  → 今日勝って明日勝つ確率 + 今日負けて明日勝つ確率
  • 翌日負ける確率 → 今日勝って明日負ける確率 + 今日負けて明日負ける確率

で計算することができますね。これを連立漸化式で表すと \[
\left\{ \begin{array}{l} p_{n+1} =  \frac{3}{5} p_{n} + \frac{1}{2} q_{n}\\ q_{n+1} =  \frac{2}{5} p_{n} +  \frac{1}{2} q_{n}  \end{array}\right.
\]で計算することができますね。

 

これを行列を用いて表すと、\[
\left( \begin{array}{ccc} p_{n+1} \\ q_{n+1}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{3}{5} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{2}  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} p_{n} \\ q_{n}  \end{array} \right)
\]となる。

 

よって、行列  A は\[
A = \left( \begin{array}{ccc} \frac{3}{5} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{2}  \end{array} \right) 
\]となる。

 

(2) [6点]

行列  A が対角化可能であるか調べるために固有値と固有ベクトルを求める。

 

固有値を  t とすると、固有方程式は、\[\begin{align*}
|A-tE| & = \left| \begin{array}{ccc} \frac{3}{5} - t & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{2} - t \end{array} \right|
\\ & = \frac{1}{10} \left| \begin{array}{ccc} 6 - 10t & 5 \\ 4 & 5 - 10t \end{array} \right|
\\ & = (10t-6)(10t-5) - 20
\\ & =  100t^2 - 110t + 10
\\ & = (10t -1)(10t-10) = 0
\end{align*} \]より固有値は1/10, 1となる。

よって、 t_1 = 1/10,  t_2 = 1 となる。

[検算ポイント:固有値の和は対角成分の和になっていることを確認(11/10になればOK)]

 

つぎに固有ベクトルを求める

(i) 固有値が1/10のときの固有ベクトル  \vec{p_1}\[ \begin{align*}
\frac{1}{10} (A-E) = &
\frac{1}{10} \left( \begin{array}{ccc} 5 & 5 \\ 4 & 4  \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 0 & 0  \end{array} \right)
\end{align*} \]となる。\[
x + y = 0
\]を解くと、任意定数  k を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\]と表せるので、固有ベクトル  \vec{p}_1 は、\[
\vec{p}_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1   \end{array} \right)
\]となる。

 

(ii) 固有値が1のときの固有ベクトル  \vec{p}_2\[ \begin{align*}
\frac{1}{10} (A-10E) = &
\frac{1}{10} \left( \begin{array}{ccc} -4 & 5 \\ 4 & -5 \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 4 & -5 \\ 0 & 0  \end{array} \right)
\end{align*} \]となる。\[
4x - 5y = 0
\]を解くと、任意定数  k を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 4 \end{array} \right)
\]と表せるので、固有ベクトル  \vec{p_2} は、\[
\vec{p}_2 = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 4   \end{array} \right)
\]となる。

 

よって、2つの固有値に対し、2つの固有ベクトル \vec{p}_1,  \vec{p}_2 が求められるで対角化ができる。また、\[
P = \left( \vec{p}_1, \vec{p}_2 \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ -1 & 4 \end{array} \right) 
\]を用いて、\[
P^{-1} AP =  \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{10} & 0 \\ 0 & 1  \end{array} \right)
\]と対角化することができます。

 

(3) [7点]

 \vec{x}_0 \vec{p}_1,  \vec{p}_2 の1次結合で表すことを考える。

つまり、\[
\vec{x}_0 = c_1 \vec{p_1} + c_2 \vec{p_2} \\
\left( \begin{array}{ccc} 7 \\ 2 \end{array} \right) = c_1 \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1   \end{array} \right) + c_2 \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 4   \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ -1 & 4   \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2   \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0   \end{array} \right)
\]となるような  c_1,  c_2 の値をもとめればよい。

 

求め方は2パターン

[パターン1:行基本変形で求める] \[
 \begin{align*}
C = \ & \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 1 \\ -1 & 4 & 0 \end{array} \right)
 \\ \to \ & \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 1 \\ 0 & 9 & 1 \end{array} \right)
 \\ \to \ & \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} \end{array} \right)
\end{align*} \]
\]となるので、 c_1 = 4/9 ,  c_2 = 1/9 となる。よって、\[
\vec{x}_0 = \frac{4}{9} \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2}
\]となる。

 

[パターン2:逆行列を用いる] \[
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ -1 & 4 \end{array} \right)^{-1} =  \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -5 \\ 1 & 1   \end{array} \right)
\]となるので、\[\begin{align*}
\left( \begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2   \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ -1 & 4   \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0   \end{array} \right)
\\ & = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -5 \\ 1 & 1   \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0   \end{array} \right)
\\ & = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 1   \end{array} \right)
\end{align*} \]

となり、\[
\vec{x}_0 = \frac{4}{9} \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2}
\]と表せる。

 

固有値  t t に属する固有ベクトル  \vec{p} には、\[
A \vec{p} = t \vec{p}
\]の関係がありますね。(忘れていたら早急に復習しましょう。)

 

なので、\[ \begin{align*}
A^n \vec{p} & = A^{n-1} \left( A \vec{p} \right)
\\ & = A^{n-1} \left( t \vec{p} \right)
\\ & = t A^{n-1} \vec{p}
\\ & = t A^{n-2} \left( A \vec{p} \right)
\\ & = t A^{n-2} \left( t \vec{p} \right)
\\ & = t^2 A^{n-2}
\\ & = \cdots
\\ & = t^n \vec{p}
\end{align*} \]となるので、\[
A^n \vec{p} = t^n \vec{p}
\]の関係も成立する。

 

ここで、\[ \begin{align*}
 \left( \begin{array}{ccc} p_n \\ q_n   \end{array} \right)
\vec{x}_n & = A^n \vec{x}_0
\\ & = A^n \left( \frac{4}{9} \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2} \right)
\\ & = \frac{4}{9} A^n \vec{p_1} + \frac{1}{9} A^n \vec{p_2}
\\ & = \frac{4}{9} \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^n \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2}
\\ & = \frac{4}{9} \left( \frac{1}{10} \right)^n \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1   \end{array} \right) + \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 4   \end{array} \right)
\\ & = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 4 \left( \frac{1}{10} \right)^n + 5 \\ -4 \left( \frac{1}{10} \right)^n + 4   \end{array} \right)
\end{align*} \]と求められますね。

よって、一般項は\[
p_n = \frac{4}{9} \left( \frac{1}{10} \right)^n + \frac{5}{9} \\ q_n = -\frac{4}{9} \left( \frac{1}{10} \right)^n + \frac{4}{9}
\]と求められます。

 

(4) [4点]

無限に争ってたとき、つまり  n \to \infty のとき、 p_n,  q_n は\[
p_n = \frac{5}{9} , \ \ \ q_n = \frac{4}{9}
\]となる。

 

また、初戦でジュッセンパイヤー島先住民が負けたとき、つまり  p_0 = 0,  q_0 = 1 の場合を考える。

 

まずは(3)と同じように  c_1,  c_2 の1次結合を考える。

\[\begin{align*}
\left( \begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2   \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ -1 & 4   \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1   \end{array} \right)
\\ & = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -5 \\ 1 & 1   \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1   \end{array} \right)
\\ & = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} -5 \\ 1   \end{array} \right)
\end{align*} \]

となり、\[
\vec{x}_0 = - \frac{5}{9} \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2}
\]と表せる。

 

ここで、\[ \begin{align*}
 \left( \begin{array}{ccc} p_n \\ q_n   \end{array} \right)
\vec{x}_n & = A^n \vec{x}_0
\\ & = A^n \left( - \frac{5}{9} \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2} \right)
\\ & = - \frac{5}{9} A^n \vec{p_1} + \frac{1}{9} A^n \vec{p_2}
\\ & = - \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^n \vec{p_1} + \frac{1}{9} \vec{p_2}
\end{align*} \]と求められますね。

 

さらに  n \to \infty なので、 \[\begin{align*}
\vec{x}_n & = \frac{1}{9} \vec{p_2}
\\ & = \frac{1}{9}  \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 4   \end{array} \right)
\end{align*}\]となり、  p_0 = 0,  q_0 = 1 の場合でも  p_n,  q_n は\[
p_n = \frac{5}{9} , \ \ \ q_n = \frac{4}{9}
\]となる。

 

よって無限に争いをしている、つまり  n \to \infty のとき、勝敗は\[
p_n = \frac{5}{9} , \ \ \ q_n = \frac{4}{9}
\]となるので初戦の結果に依らないことが示された。

 

さいごに(問題の感想など)

アドバンストコースの問題はいかがだったでしょうか。

計算が少しめんどくさい問題や応用的な問題が多かったかと思います。

 

問題6はアドバンストコースの中では簡単なのでさらっと計算を終わらせましょう。

 

一番計算が大変なのは問題7だったかと思います。とくに3次正方行列の対角化、しかも直交行列を用いる場合は計算がややこしいので計算ミスが多発する問題です。必ず見直しをしておきましょう。

 

問題8は対角化と漸化式を応用した問題です。一見計算量ありそうに見えますが、実は  A^n \vec{x} = t^n \vec{x} を使うことで計算量を抑えることができるのでぜひ使っていきましょう。

 

3問を50分ほどで解くことができれば上出来だと思います。

 

次回は後編のスタンダートバージョンをやっていこうと思います。

*1:行基本変形後のそれぞれの列の0の数を階段として見たときに段が変わっている部分に注目すると最大組を選びやすくなります。

*2:もちろん  \vec{x} = P \vec{y} とおいてもOK