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工業大学生ももやまのうさぎ塾

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(期末試験・編入学・院試・数検対策)線形代数2 総復習テスト:後編(スタンダート)

 こんにちは、ももやまです。

今回も線形代数の総復習テストとしまして、行基本変形サークルと共同で作成した問題の解説をまとめています。

 

 

こちらはスタンダートコースなので、標準レベルの問題を用意しています。

 

アドバンスト問題はこちら!

www.momoyama-usagi.com

 

第6問B.線形写像

(1)  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 の写像\[
f   \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_1 + x_2 + 4 x_3 \\ 5 x_1 + x_2 + 4 x_3 \\ 8 x_1 + x_2 \end{array} \right)
\]は線形写像か判定しなさい。線形写像であれば線形写像であることの証明を、線形写像でなければ線形写像ではない理由(反例)を1つあげなさい。

(配点 15)

 

 

解答:線形写像である [5点]

理由:[10点]

線形写像であることを示すためには、\[
f ( \vec{x} + \vec{y} ) = f ( \vec{x} ) = f ( \vec{y} ) \\
f( k \vec{x} )  = k f ( \vec{x} )
\]の2つを示せばよい。

 

ここで\[
\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \\ 8 & 1 & 0  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_1 + x_2 + 4 x_3 \\ 5 x_1 + x_2 + 4 x_3 \\ 8 x_1 + x_2 \end{array} \right)
\]となるので、\[
A = \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \\ 8 & 1 & 0  \end{array} \right) , \ \ \ \vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3  \end{array} \right)
\]とおくと、 A \vec{x} = f ( \vec{x} ) が成立する。

 

(1) 行列の計算法則より、\[
f ( \vec{x} + \vec{y} ) = A ( \vec{x} + \vec{y} ) = A \vec{x} + A \vec{y} \\
f ( \vec{x} ) + f ( \vec{y} ) = A \vec{x} + A \vec{y}
\]が成立するので  f ( \vec{x} + \vec{y} ) = f ( \vec{x} ) + f ( \vec{y} ) も成立する。

 

(2) 行列の計算法則より、\[
f ( k \vec{x} ) = A ( k \vec{x} ) = kA \vec{x} \\
k f( \vec{x} ) = kA \vec{x}
\]が成立するので、 f( k \vec{x} ) = k f (\vec{x} ) も成立する。

 

(1), (2) より写像  f は線形写像である。

 

線形写像について復習したい人はこちらの記事を御覧ください。

第7問B.行列の対角化

つぎの(1), (2) が対角化可能であるかを判定し、対角化可能であれば正則行列  P を用いて  P^{-1} AP が対角行列になるよう対角化をしなさい。(配点 25)

 

(1) \[
\left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 2 \\ -4 & -1 & 2  \end{array} \right) 
\](2) \[
\left( \begin{array}{cccc} 6 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 3  \end{array} \right) 
\] 

 

(1) [13点]

固有値を  t とする。

固有方程式は、\[\begin{align*}
|A-tE| & = \left| \begin{array}{ccc} 3-t & 0 & 0 \\ 8 & 5-t & 2 \\ -4 & -1 & 2-t \end{array} \right|
\\ & = (3-t) \left| \begin{array}{ccc} 5-t & 2 \\ -1 & 2-t \end{array} \right|
\\ & = (3-t) \left( (t-2)(t-5) + 2 \right)
\\ & = (3-t) \left( t^2 - 7t + 12 \right)
\\ & = (3-t) (t-3)(t-4)
\\ & = -(t-3)(t-3)(t-4)
\end{align*} \]より固有値は3, 3, 4となる。[固有値に2点×3=6点]

(重解がないので必ず対角化できることがわかる。)

 

つぎにそれぞれの固有値における固有ベクトルを求める。

(i) 固有値が3のときの固有ベクトルは、\[ \begin{align*}
(A-3E) = &
\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 2 \\ -4 & -1 & -1  \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0  \end{array} \right) 
\end{align*} \]となる。\[
4x + y + z = 0
\]を解くと、任意定数  s,t を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z  \end{array} \right) = s \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -4 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)
\]と表せるので、固有ベクトルは2本あり、固有ベクトル  \vec{p}_1 \vec{p}_2  は、\[
\vec{p}_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -4   \end{array} \right) \\
\vec{p}_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ -1   \end{array} \right)
\]となる。

 

(ii) 固有値が4のときの固有ベクトルは、\[ \begin{align*}
(A-4E) = &
\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 2 \\ -4 & -1 & -2  \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\  0 & -1 & -2  \end{array} \right)  \\ \to \ &
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\  0 & 0 & 0  \end{array} \right) 
\end{align*} \]となる。\[
\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y + 2z = 0 \end{array}\right. 
\]を解くと、任意定数  k を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z  \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) 
\]と表せるので、固有ベクトル  \vec{p}_3  は、\[
\vec{p}_3 = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 2 \\ -1   \end{array} \right) 
\]となる。

 

よって、\[ P = \left( \vec{p}_1, \vec{p}_2 , \vec{p}_3\right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -4 & -1 & -1 \end{array} \right)  \]とすると、\[ \begin{align*}
AP & = A \left( \vec{p}_1, \vec{p}_2, \vec{p}_3 \right) \\ & = \left( 3 \vec{p}_1, 3 \vec{p}_2, 4 \vec{p}_3 \right)  \\ & =   \left( \vec{p}_1, \vec{p}_2 , \vec{p}_3 \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) \\ & = P \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)
\end{align*} \]となるので、\[
D = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)
\]とすると、\[
AP = PD \\ 
P^{-1} AP = D = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)
\]と対角化ができる。

[それぞれの固有ベクトルに2点×3、対角化の結果に1点]

 

(2) [12点]

固有値を  t とする。

固有方程式は、\[\begin{align*}
|A-tE| & = \left| \begin{array}{ccc} 6-t & -1 & 1 \\ 2 & 3-t & 1 \\ -2 & 1 & 3-t \end{array} \right|
\\ & =\left| \begin{array}{ccc} 6-t & -1 & 1 \\ 2 & 3-t & 1 \\ 0 & 4-t & 4-t \end{array} \right|
\\ & = (4-t) \left| \begin{array}{ccc} 6-t & -1 & 1 \\ 2 & 3-t & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right|
\\ & =(4-t) \left| \begin{array}{ccc} 6-t & -2 & 0 \\ 2 & 2-t & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right|
\\ & = (4-t) \left| \begin{array}{ccc} 6-t & -2 \\ 2 & 2-t  \end{array} \right|
\\ & = (4-t) \left( (t-2)(t-6) + 4 \right)
\\ & = (4-t) (t^2 - 8t + 16)
\\ & = - (t-4)^3
\end{align*} \]より固有値は4(3重解)となる。[固有値に2点×3=6点]

(3次正方行列に対して3重解なので対角化できるか怪しそう……)

 

ここで固有値4に対する固有ベクトルは、\[ \begin{align*}
(A-4E) = &
\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1  \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0  \end{array} \right) 
\end{align*} \]となる。\[
2x - y + z = 0
\]を解くと、任意定数  s,t を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z  \end{array} \right) = s \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right) 
\]と表せるので、固有ベクトルは2本あり、固有ベクトル  \vec{p}_1 \vec{p}_2  は、\[
\vec{p}_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 0   \end{array} \right) \\
\vec{p}_2 = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -2   \end{array} \right)
\]となる。

 

よって3重解に対し、2つの固有ベクトルしか算出できないので対角化できない。

[固有ベクトルが2本出せていれば4点、対角化ができないことを示せて7点]

 

対角化について復習したい方はこちらの記事をご覧ください。

第8問B.2次曲線

つぎの2次曲線  C が\[
4x^2 + 2xy + 4y^2 - 2x -8y + 3 = 0
\]で与えられるとき、以下の(1)〜(3)の設問に答えなさい。(配点 20)

 

(1) 2次形式  4x^2 + 2xy + 4y^2 を標準形に直しなさい。

(2) 2次曲線  4x^2 + 2xy + 4y^2 - 2x -8y + 3 = 0 を標準形になおしなさい。

(3) 2次曲線  C のグラフを書きなさい。

グラフを描く問題です。

2次形式を利用したグラフの描き方を復習したい人はこちらの記事で復習しましょう。

 

(1) [6点]

主要部分の2次形式を表現する行列を考える。

行列  A 、ベクトル  \vec{x} をそれぞれ\[
A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 \\ 1 & 4  \end{array} \right) \ \ \ \vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right)
\]とすると2次形式の主要部分を\[
4x^2 + 2xy + 4y^2 =  {}^t\! \vec{x} A \vec{x} 
\]と変形できます。[ここまでできていれば3点]

 

つぎに、行列  A を直交行列で対角化することにより、 4x^2 + 2xy + 4y^2 の標準形を求めます。

行列  A の固有値を  t とすると、固有方程式は、\[\begin{align*}
|A-tE| & = \left| \begin{array}{ccc} 4-t & 1 \\ 1 & 4-t  \end{array} \right|
\\ & = (4-t)^2 - 1
\\ & = t^2 - 8t + 15
\\ & = (t-3)(t-5) = 0
\end{align*} \]より固有値は3, 5となる。

 

(i) 固有値が3のとき\[ \begin{align*}
(A-3E) = &
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1  \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 0 & 0  \end{array} \right)
\end{align*} \]となる。\[
x + y = 0
\]を解くと、任意定数  k を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\]と表せる。

固有ベクトル  \vec{p}_1 は大きさを1に正規化したベクトル、\[
\vec{p}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1  \end{array} \right)
\]となる。

 

(ii) 固有値が6のとき\[ \begin{align*}
(A-6E) = &
\left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & -1  \end{array} \right) \\ \to \ & 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 0 & 0  \end{array} \right)
\end{align*} \]となる。\[
x - y = 0
\]を解くと、任意定数  k を用いて\[
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\]と表せる。

固有ベクトル  \vec{p}_2 は大きさを1に正規化したベクトルなので、\[
\vec{p}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1  \end{array} \right)
\]となる。

 

 \vec{p_1},  \vec{p_2} は正規直交基底となるので、直交行列\[
P = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) 
\]を用いて、\[
P^{-1} AP = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ 0 & 5  \end{array} \right) = D
\]と対角化できる。

 

よって、  X,  Y を\[
\vec{y} = \left( \begin{array}{ccc} X \\ Y  \end{array} \right) =   {}^t\! P \left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) = {}^t\! P \vec{x}
\]とおくことで、\[
3 X^2 + 5 Y^2
\]と標準形を求められる。[ここまでで6点満点]

 

※注意

(3)のグラフを書くために  P を回転変換\[
\left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & - \sin \theta \\  \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)
\]の形にしておきましょう。 |P| = 1 になれば回転変換となります。

 

(2) [8点]

主要部分を  X,  Y で表現することができたので、残りの - 2x -8y + 3 X,  Y に直していきます。

 \vec{x} = P \vec{y} なので、\[\begin{align*}
\left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} X \\ Y  \end{array} \right)
\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} X + Y \\ - X + Y  \end{array} \right)
\end{align*} \]

となるので、\[
x = \frac{ \sqrt{2} }{2} ( X + Y) \\
y = \frac{ \sqrt{2} }{2} ( -X + Y)
\]となる。[ここまでできていれば3点]

 

よって、\[ \begin{align*} &
4x^2 + 2xy + 4y^2 - 2x -8y + 3
\\ = & 3 X^2 + 5 Y^2 - 2 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} ( X + Y) - 8 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} ( -X + Y) + 3
\\ = & 3 X^2 + 5 Y^2 - \sqrt{2} ( X + Y ) - 4 \sqrt{2}  ( -X + Y) + 3
\\ = & 3 X^2 + 5 Y^2 + 3 \sqrt{2} X - 5 \sqrt{2} Y + 3
\\ = & 3 \left( X + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 5 \left( Y - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 -1
\end{align*}\]と変形できる。[ここまでできていれば6点]

 

よって、\[
3 \left( X + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 5 \left( Y - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 -1 = 0
\]と変換できるので標準形(= 1の形)は、\[
3 \left( X + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 5 \left( Y - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1
\]となる。[ここで8点]

 

(3) [6点]

この標準形\[
3 \left( X + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 5 \left( Y - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1 \\
\frac{ \left( X + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 }{\left( \frac{ \sqrt{3} }{3} \right)^2} + \frac{\left( Y - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}{\left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2}
\]は、 X 軸方向の長さ(長軸)が  \frac{\sqrt{3}}{3} \times 2 Y 軸方向の長さ(短軸)が  \frac{\sqrt{5}}{5} \times 2 の楕円(中心  ( -\frac{ \sqrt{2} }{2},\frac{ \sqrt{2} }{2}) ですね。[標準形の概形が分かっていれば3点]

 

Step6:変換P(回転変換)を使い、グラフを図示する

ここで  X,Y で表された式から  x,y の式に変換するためには行列  P を使いましたね。(  \vec{x} = P \vec{y}

この行列  P は\[
P = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
\]でしたね。

この行列  P の変換、実は回転行列\[
\left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & - \sin \theta \\  \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)
\]の  \theta = -45^{\circ} と同じ値*1になるので、行列  P は原点中心に図形を反時計回りに-45°回転(つまり時計回りに45°回転)させる変換とわかります。

 

また、回転変換をすると図形の中心の位置も変わりますね。変換後の図形の中心は\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) 
\]と計算できるので、\[
4x^2 + 2xy + 4y^2 - 2x -8y + 3 =0
\]は、中心が (0,1) の長軸が  \frac{2 \sqrt{3}}{3}、短軸が  \frac{2 \sqrt{5}}{5} を時計回りに45°傾けた楕円となります。

 

よって、グラフを図示すると下のようになります。

 概形に5点、概形がかけていなくても標準形からどのように変換したものが曲線  C になるのかがわかっていれば3点加点。

さいごに(問題の感想など)

スタンダート用問題なので比較的難なくこなせる問題が多かったかと思います。

(グラフは少しむずかしいですが……)

 

問題6は線形写像の定義を理解しているかの確認でした。

線形写像の判定だけでなく、線形写像であることを定義にそって示す問題は期末試験などでもよくでるので必ず確認しておきましょう。

 

問題7は期末や院試でおなじみ対角化の問題でした。3次正方行列の固有値、固有ベクトルを出し、対角化する問題は頻出です。

スタンダートコースなので基本的に対角化以外については聞いていません。

(アドバンストコースでは行列のべき乗  A^n なども聞いています)

 

問題8は2次形式の知識を利用してグラフを書く問題です。

この問題は直交行列の対角化、回転変換、2次形式、2次曲線など様々な分野が詰まった問題となっています。

(この問題が解ければ線形代数の試験に関しては問題なくクリアできるかとおもいます。)

 

3問を30分〜35分ほどで解くことができれば上出来だと思います。

 

*1:一応計算すると、\[
\left( \begin{array}{ccc} \cos \left( - 45^{\circ} \right) & - \sin \left( - 45^{\circ} \right) \\ \sin \left( - 45^{\circ} \right) & \cos \left( - 45^{\circ} \right) \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) = P
\]となり、たしかに一致する。