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こんにちは、ももやまです。
今回と次回で特殊な置換積分について説明したいと思います。

今回は、三角関数の中でも計算するのが特に大変な \( \tan \frac{x}{2} = t \) とおく積分について紹介します。

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1.三角関数の変形(復習)

まず、\( \tan \frac{x}{2} = t \) の変形の際に必要な三角関数の変換公式を紹介します。

忘れていた人は必ず思い出しましょう(数1で習います)。

tanの三角関数変換公式

\[\displaylines{ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \tan x = \frac{1}{\cos^2 x + 1} }\]

\( \tan \) の加法定理も忘れていませんか?

もし忘れていたらこちらも思い出しましょう。

(\( \sin \), \( \cos \) の加法定理は前回の積和型の積分の際にまとめたので忘れていた場合はこちらもご覧ください。)

www.momoyama-usagi.com

(復習)tanの加法定理

tanの加法定理は、分子と分母の正負に気をつけてください。

分子は元の符号と一緒、分母は元の符号と逆とおぼえておきましょう。

\[\displaylines{ \tan( \alpha + \beta ) = \frac{ \alpha + \beta }{1 -  \alpha \beta} \\
\tan( \alpha - \beta ) = \frac{ \alpha - \beta }{1 +  \alpha \beta}
}\]となる。

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2.例題

今回は例題を踏まえて説明をしていきましょう。

例題

不定積分\[ \int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} \ dx \]を求めなさい。

解説

\( t = \tan \frac{x}{2} \) とおきます。

まずは、\( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \) を \( t \) を用いて表します。

(1) tan x を tで表す

ポイントは \( x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \) と変形してあげるところです。

変形したら \( \tan \) の加法定理を思い出しましょう。\[\begin{align*} & \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) \\ = & \frac{ \tan \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} }{1 -  \tan \frac{x}{2} \tan \frac{x}{2}}
\\ = & \frac{ 2 \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}
\\ = & \frac{2t}{1-t^2}
\end{align*} \]と変形できます。

(2) cos x を tで表す

\( \tan x \) を導くことができたらあとは、三角関数の公式から導き出すだけです。

\( x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \) を使ってまた倍角を使います。

\[\begin{align*} \cos x = & \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right)
\\ = & \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}
\\ = & 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1
\\ = & \frac{2}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} - 1
\\ = & \frac{2}{1 + t^2} - 1
\\ = & \frac{2 - 1 - t^2}{1 + t^2}
\\ = & \frac{1 - t^2}{1 + t^2}
\end{align*} \]と変形できます。

(3) sin x を tで表す

\( \sin x \) は、\( \cos x \), \( \tan x \) と三角関数の基本公式で簡単に導出することができます。\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]なので、\[\begin{align*}\sin x & = \cos x \tan x
\\ & = \frac{1-t^2}{1+t^2} \cdot \frac{2t}{1-t^2} \\ & = \frac{2t}{1+t^2}
\end{align*} \]と変形できます。

それぞれの三角関数を \( t \) を用いて表すことができたら、最後は置換積分後の \( dx \) と \( dt \) の関係もtで表しておきましょう。

(4) dx = (    ) dt のカッコ内をtで表す

すると、\[ dt = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \ dx= \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}{2} \ dx\] と変形でき、\[  dx = \frac{2}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \ dt = \frac{2}{1 + t^2} \ dt  \]となります。

ここまでの変換をまとめると、以下のようになります。

tan(x/2) = t とおいた場合の各三角関数・dx,dtの関係

\[ \tan \frac{x}{2} = t \]とおいた場合、\[\displaylines{ \sin x =   \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \tan x = \frac{2t}{1-t^2} \\ dx =  \frac{2}{1 + t^2} \ dt  }\]と表せる。

これを踏まえて先程の例題を解いてみましょう。

\[ \begin{align*} &
\int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} \ dx
\\ = & \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{\frac{1 + t^2 + 2t + 1 - t^2 }{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{\frac{2t + 2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1+t^2}{2t + 2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{t + 1} \ dt
\\ = & \log \left| t + 1 \right| + C
\\ = & \log \left| \tan \frac{x}{2} + 1 \right| + C
\end{align*} \]と解くことができます。

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3.練習問題

では、何問か練習してみましょう。

つぎの(1)~(6)の不定積分を計算してください。

(1)(3パターン解き方があるうちの3つめです) \[ \int \frac{1}{\sin x} \ dx \]

(2) \[ \int \frac{\cos x}{1 + \cos x} \ dx \]

(3) \[ \int \frac{1}{1 + \sin x - \cos x} \ dx \]

(4) \[ \int \frac{\sin x}{1 + \sin x} \ dx \]

(5) \[ \int \frac{1 - \sin x}{1 + \cos x} \ dx \]

(6) \[ \int \frac{1 + \sin x}{\sin x \left( 1 +  \cos x \right) } \ dx \]

4.練習問題の答え

すべて \[ \tan \frac{x}{2} = t\] と置くタイプの積分です。

(1) \[ \begin{align*} &
\int \frac{1}{\sin x} \ dx
\\ = & \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1+t^2}{2t} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{t} \ dt
\\ = & \log | t | + C
\\ = & \log \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C
\end{align*} \]となる。

この積分は3パターンの方法で解くことができます。

1:部分分数分解
2:三角関数の公式で変形
3:tan(x/2) = t ← いまこれ

で解くことができます。

(2)

まずは \( \cos x \) の次数を下げることで計算を少し楽にする。 \[\begin{align*} \int \frac{\cos x}{1 + \cos x} \ dx & = \int 1 - \frac{1}{1 + \cos x} \ dx
\\ & = \int 1 \ dx - \int \frac{1}{1 + \cos x} \ dx
\\ & = x - \int \frac{1}{1 + \cos x} \ dx
\end{align*} \]とする。

あとは、\[ \int \frac{1}{1 + \cos x} \ dx \] を計算する。

\[ \begin{align*} &
\int \frac{1}{1 + \cos x} \ dx
\\ = & \frac{1}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \frac{1}{\frac{1 - t^2 + 1 + t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \frac{1+t^2}{2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & 1 \ dt
\\ = & t + C
\\ = & \tan \frac{x}{2} + C
\end{align*} \]となる。よって、\[\begin{align*} \int \frac{\cos x}{\cos x + 1} \ dx
= x - \tan \frac{x}{2} + C
\end{align*} \]と計算できる。

(3)\[ \begin{align*} &
\int \frac{1}{1 + \sin x - \cos x} \ dx
\\ = & \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{\frac{1 + t^2 + 2t - 1 + t^2 }{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{\frac{2 t^2 + 2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1+t^2}{2 t^2 + 2t} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{t^2 + t} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{t} \ dt - \int \frac{1}{t+1} \ dt
\\ = & \log \left|t \right| - \log \left|t+1 \right|  + C
\\ = & \log \left| \tan \frac{x}{2} \right| - \log \left|\tan \frac{x}{2} +1 \right|  + C
\\ = & \log \left| \frac{\tan \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2} +1}  \right|  + C
\end{align*} \]と解くことができます。

( \( \log \) を分数の形にはしなくてもOKだと思いますが念の為。)

(4)

(2)と同じく、まずは次数を下げる。 \[\begin{align*} \int \frac{\sin x}{1 + \sin x} \ dx & = \int 1 - \frac{1}{1 + \sin x} \ dx
\\ & = \int 1 \ dx - \int \frac{1}{1 + \sin x} \ dx
\\ & = x - \int \frac{1}{1 + \sin x} \ dx
\end{align*} \]とする。

あとは、\[ \int \frac{1}{1 + \sin x} \ dx \] を計算する。

\[ \begin{align*} &
\int \frac{1}{1 + \sin x} \ dx
\\ = & \frac{1}{1 + \frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \frac{1}{\frac{t^2 + 2t + 1}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \frac{1+t^2}{(t+1)^2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & 2(t+1)^{-2} \ dt
\\ = & - 2 (t+1)^{-1} + C
\\ = & - \frac{2}{t+1} + C
\\ = & - \frac{2}{\tan \frac{x}{2} +1} + C
\end{align*} \]となる。よって、\[\begin{align*} \int \frac{\sin x}{\sin x + 1} \ dx
= x + \frac{2}{\tan \frac{x}{2} +1} + C
\end{align*} \]と計算できる。

(5)\[ \begin{align*} &
\int \frac{1 - \sin x}{1 + \cos x} \ dx
\\ = & \int \frac{1 - \frac{2t}{1+t^2} }{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{1 - \frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int 1 - \frac{2t}{1+t^2} \ dt
\\ = & t - \log \left|1 + t^2 \right|+ C
\\ = & \tan \frac{x}{2} - \log \left|1 + \tan^2 \frac{x}{2} \right|+ C
\\ = & \tan \frac{x}{2} - \log \left|\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \right|+ C
\\ = & \tan \frac{x}{2} + 2 \log \left|\cos^2 \frac{x}{2} \right|+ C
\end{align*} \]と解くことができます。

※ \( \cos \) への変換はしなくてもOK

(6)\[ \begin{align*} &
\int \frac{1 + \sin x}{\sin x \left( 1 +  \cos x \right) } \ dx
\\ = & \int \frac{1 + \frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2} \left( 1 + \frac{1 - t^2}{1+t^2} \right) }   \cdot \frac{2}{1 + t^2} \ dt
\\ = & \int \frac{\frac{t^2 + 1 + 2t}{1+t^2}}{t \left( 1 + \frac{1 - t^2}{1+t^2} \right) } \ dt
\\ = & \int \frac{\frac{t^2 + 1 + 2t}{1+t^2}}{t \left(\frac{1 + t^2 1 - t^2}{1+t^2} \right) } \ dt
\\ = & \int \frac{\frac{t^2 + 1 + 2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}  } \ dt
\\ = & \int \frac{t^2 + 2t + 1}{2t} \ dt
\\ = & \int \frac{1}{2} t + 1 + \frac{1}{2t} \ dt
\\ = & \frac{1}{4} t^2 + t + \frac{1}{2} \log \left| t \right| + C
\\ = & \frac{1}{4} \tan^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}+ \frac{1}{2} \log \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C
\end{align*} \]と解くことができます。

5.さいごに

今回は、\( \tan \frac{x}{2} = t \) とおく特殊な積分についてのまとめと練習を行いました。

置換後のそれぞれの三角関数の値と \( dx \) と \( dt \) の関係式は覚えておいてもいいかもしれません。

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