うさぎでもわかる確率・統計　指数分布

こんにちは、ももやまです。

今日は、確率・統計分野の中で出てくる指数分布と、指数分布を使った確率を求める計算方法を紹介していきます。

※ 本記事では、確率・統計分野の確率密度関数、累積分布関数の知識を使用します。未学習の人や、復習したい人は、以下のリンク先の記事にて復習することをお勧めします。

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1. 指数分布とは

指数分布は、「つぎに事象が発生するまでの時間」をモデル化した分布です。

指数分布を使うことで、つぎのような問題を解くことができます。

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2. 指数分布の公式（累積分布関数）導出

ある事象が指数分布に従う（ことを仮定できる）場合、「つぎに事象が発生するまでの時間」を以下の公式で簡単に求めることができます。

累積分布関数の導出は、ポアソン分布を使って導出することができます。

※ ポアソン分布の復習は以下の記事から出来ます。まだ未履修な人や、ポアソン分布を忘れてしまった人はご覧ください。

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公式の導出

指数分布は「つぎに事象が発生するまでの時間が $t$ 以内となる確率」を表しています。

この表現を言い換えると、「ある時間 $t$ が経過するまでに、少なくとも事象が1回が発生する確率 $P(X\geqq 1)$」言えます。この確率は、ポアソン分布の公式から計算することができます。

この確率は、「ある時間 $t$ が経過するまでに、事象が1回も発生しない $P(X=0)$ 」の補集合に相当します。つまり、つぎのように表すことが出来ます。$$P(X\geqq 1)=1-P(X=0)$$

ここで、ある事象が単位時間あたりに平均して $\lambda$ 回発生するとします。このとき、$X$ がポアソン分布に従う場合、事象が単位時間以内に $k$ 回発生する確率は、次のように表されます。$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

ここで、単位時間 → 時間 $t$ におきかえてみましょう。すると、経過時間 $t$ において事象の発生する確率は $\lambda t$ となります。そのため、事象が $t$ 以内に $k$ 回発生する確率 $P(X=k)$ は、つぎのように表されます。$$P(X=k)=\frac{{\lambda t}^k}{k!}{e}^{-\lambda t}$$

事象が1回も発生しない確率 $P(X=0)$ が欲しいので、1つ前の式に $k=0$ を代入することで、つぎのように求められます。$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =\frac{{\lambda t}^0}{0!}{e}^{-\lambda t}\\ & =e^{-\lambda t}\end{array}$$

よって、「ある時間 $t$ が経過するまでに、少なくとも事象が1回が発生する確率 $P(X\geqq 1)$」がつぎのように導出できます。$$\begin{array}{rl}P(X\geqq 1)& =1-P(X=0)\\ & =1-e^{-\lambda t}\end{array}$$この式が、指数分布の累積分布関数となります。

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3. 例題で確認

ここからは、実際の問題例を通じて、指数分布の理解度を深めていきましょう。

(1)

まず、機械の故障までの平均日数が1,000日であることから、1,000日を1単位時間としましょう。

この場合、単位時間（＝1,000日）ごとに平均1回の故障が発生するので、$\lambda =1$ となります。

今回求めたい確率は、500日（＝0.5単位時間）以内に故障する確率なので、$t=0.5$ となります。

あとは、指数分布の累積分布関数$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$に、$\lambda =1$, $t=0.5$ を代入すればOKです。$$\begin{array}{rl}F(0.5)& =1-e^{-1\cdot 0.5}\\ & =1-e^{-0.5}\\ & =1-\frac{1}{e^{0.5}}\\ & \fallingdotseq 1-\frac{1}{1.649}\\ & =1-0.606\\ & =0.394\end{array}$$

したがって、機械が500日以内に故障する確率は 0.39 と求められます。

(2)

機械が少なくとも1,500日正常に稼働し続ける（＝故障しない）確率を求めていきます。

この確率は、1から「1,500日以内（＝1.5単位時間）に機械が壊れる確率」から引くことで求めることができます。（余事象）

1,500日以内に機械が壊れる確率は、指数分布の累積分布関数$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$に、$\lambda =1$, $t=1.5$ を代入すれば求めることが出来ます。$$\begin{array}{rl}F(1.5)& =1-e^{-1\cdot 1.5}\\ & =1-e^{-1.5}\\ & =1-\frac{1}{e^{1.5}}\end{array}$$※ 指数関数は、最後に近似します。

よって、少なくとも1,500日機械が稼働する確率は、次のように計算できます。$$\begin{array}{rl}1-F(1.5)& =1-(1-\frac{1}{e^{1.5}})\\ & =\frac{1}{e^{1.5}}\\ & \fallingdotseq \frac{1}{4.482}\\ & =0.223\end{array}$$

したがって、機械が少なくとも1,500日正常に稼働し続ける確率は 0.22 と求められます。

4. 指数分布の確率密度関数

指数分布の累積分布関数は、次のように表されるのでしたね。$$F(t)=1-e^{-\lambda t}(t\geqq 0)$$

確率密度関数 $f(t)$ は、この累積分布関数 $F(t)$ を時間 $t$ で微分することで求めることができます。

実際に微分すると、$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{d}{dt}F(t)\\ & =\frac{d}{dt}(1-e^{-\lambda t})\\ & =\lambda e^{-\lambda t}\end{array}$$と導出することができます。

5. 指数分布の期待値・分散

指数分布の確率密度関数$$\lambda e^{-\lambda t}(t\geqq 0)$$から、期待値と分散を導出していきましょう。

※ 導出の途中で、解析学の知識（部分積分、ロピタルの定理、広義積分）を使います。復習したい方は、以下の記事にて学習ができます。

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(1) 期待値

確率密度関数 $f(t)$ で表される確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は、次のように計算できるのでしたね。$$E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}tf(t)dt$$

実際に、指数分布をこの式に代入して計算してみましょう。$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}tf(t)dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}t\lambda e^{-\lambda t}dt\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{R}t\lambda e^{-\lambda t}dt\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-t{e}^{-\lambda t}]}_0^R-{\int }_0^R-e^{-\lambda t}dt\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-R{e}^{-\lambda R}-(0\cdot e^{-\lambda \cdot 0})-{\int }_0^R-e^{-\lambda t}dt\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-R{e}^{-\lambda R}-{\left[\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda t}\right]}_0^R\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-R{e}^{-\lambda R}-(\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda R}-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda \cdot 0})\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-R{e}^{-\lambda R}-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda R}+\frac{1}{\lambda }\cdot 1\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{R}{e^{\lambda R}}-\frac{1}{\lambda e^{\lambda R}}+\frac{1}{\lambda }\cdot 1\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{\lambda R+1}{\lambda e^{\lambda R}}+\frac{1}{\lambda }\\ & =\frac{1}{\lambda }-\underset{\mathrm{ロ}\mathrm{ピ}\mathrm{タ}\mathrm{ル}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{理}}{\underbrace{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\lambda R+1}{\lambda e^{\lambda R}}}}\\ & =\frac{1}{\lambda }-\underset{0}{\underbrace{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\lambda }{{\lambda }^2{e}^{\lambda R}}}}\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$と導出できます。

よって、指数分布の期待値を$$E(X)=\frac{1}{\lambda }$$と導出することができます。

(2) 分散

確率密度関数 $f(t)$ の分散は、次のように計算できるのでしたね。$$\begin{array}{rl}V(X)& =E(X^2)-{\{E(X)\}}^2\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{t}^{2}f(t)dt-{\{E(X)\}}^2\end{array}$$

実際に、$E(X^2)$ を計算してみましょう。$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{t}^{2}f(t)dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^2\lambda e^{-\lambda t}dt\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda \underset{\mathrm{微}\mathrm{分}}{\underbrace{t^2}}\underset{\mathrm{積}\mathrm{分}}{\underbrace{e^{-\lambda t}}}dt\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\lambda {[t^2(-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda t})-2t\left(\frac{1}{{\lambda }^2}{e}^{-\lambda t}\right)+2(-\frac{1}{{\lambda }^3}{e}^{-\lambda t})]}_0^R\\ & =\lambda \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-\frac{t^2{\lambda }^2+2t\lambda +2}{{\lambda }^3{e}^{\lambda t}}]}_0^R\\ & =\lambda \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{R^2{\lambda }^2+2R\lambda +2}{{\lambda }^3{e}^{\lambda R}}-(-\frac{0^2{\lambda }^2+2\cdot 0\lambda +2}{{\lambda }^3{e}^{\lambda \cdot 0}})\\ & =\lambda \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{R^2{\lambda }^2+2R\lambda +2}{{\lambda }^3{e}^{\lambda R}}+\frac{2}{{\lambda }^3}\\ & =\frac{2}{{\lambda }^3}\cdot \lambda -\lambda \underset{{}_{\mathrm{ロ}\mathrm{ピ}\mathrm{タ}\mathrm{ル}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{理}}}{\underbrace{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{R^2{\lambda }^2+2R\lambda +2}{{\lambda }^3{e}^{\lambda R}}}}\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}-\lambda \underset{\mathrm{ロ}\mathrm{ピ}\mathrm{タ}\mathrm{ル}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{理}}{\underbrace{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2R{\lambda }^2+2\lambda }{{\lambda }^4{e}^{\lambda R}}}}\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}-\lambda \underset{0}{\underbrace{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2{\lambda }^2}{{\lambda }^5{e}^{\lambda R}}}}\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$※ 部分積分をする際に、省略公式（ブンブン積分）を使用しています。

よって、確率密度関数 $f(t)$ の分散を、つぎの通りに導出できます。$$\begin{array}{rl}V(X)& =E(X^2)-{\{E(X)\}}^2\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

6. 練習問題にチャレンジ

最後に、練習問題を解いて理解が出来ているか確かめましょう。

7. 練習問題の答え

今回は、(3),(4)で [分] 単位で答える問題があるので、1単位時間を1分としましょう。

ここで、10分（＝10単位時間）あたり平均1人来店があるので、1単位時間あたりの来店人数は平均0.1人となります。つまり、$\lambda =0.1$ となります。

(1)

15分（＝15単位時間）に客が来店する確率は、指数分布の累積分布関数$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$に、$t=15$ を代入したときの値 $F(15)$ を求めればOKです。

実際に計算すると、つぎのように計算できます。$$\begin{array}{rl}F(15)& =1-e^{-0.1\cdot 15}\\ & =1-e^{1.5}\\ & =1-\frac{1}{e^{1.5}}\\ & \fallingdotseq 1-\frac{1}{4.482}\\ & =1-0.223\\ & =0.777\end{array}$$

よって、15分以内に客が来店する確率は 0.78 となります。

(2)

少なくとも30分間（＝30単位時間）、1人も客が来店しない確率は、$t=30$ での累積分布関数 $F(30)$ の補集合、つまり $1-F(30)$ で計算できます。

ここで、$\lambda =0.1$, $t=30$ を累積分布関数$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$に入れて計算してみましょう。

すると、つぎのように計算ができます。$$\begin{array}{rl}F(30)& =1-e^{-0.1\cdot 30}\\ & =1-e^{-3}\\ & =1-\frac{1}{e^3}\end{array}$$

よって、$$\begin{array}{rl}1-F(30)& =1-(1-\frac{1}{e^3})\\ & =\frac{1}{e^3}\\ & \fallingdotseq \frac{1}{20.086}\\ & =0.050\end{array}$$と計算できるため、少なくとも30分間、1人も客が来店しない確率は0.05と求められます。

(3)

確率変数 $X$ が指数分布に従う場合、期待値 $E(X)$, 分散 $V(X)$ は次のように計算ができます。$$E(X)=\frac{1}{\lambda },V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

この式に $\lambda =0.1$ を代入すると、つぎの客が来るまでの期待値と分散を求めることができます。

実際に代入すると、$$\begin{array}{rl}E(X)& =\frac{1}{\lambda }\\ & =\frac{1}{0.1}\\ & =10\end{array}$$$$\begin{array}{rl}V(X)& =\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{1}{{0.1}^2}\\ & =\frac{1}{0.01}\\ & =100\end{array}$$となるため、期待値は 10[分]、分散は100[分²]と求められます。

(4)

中央値

累積分布関数が以下の値となるときの $t$ の値を求めればOKです。$$F(t)=\frac{1}{2}$$

実際に、$\lambda =0.1$ を累積分布関数に入れて $t$ の値を計算していきましょう。$$1-e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}$$$$-e^{-\lambda t}=-\frac{1}{2}$$$$e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}$$$$\log e^{-\lambda t}=\log \frac{1}{2}$$$$-\lambda t=-\log 2$$$$\begin{array}{rl}t& =\frac{1}{\lambda }\log 2\\ & =\frac{1}{0.1}\log 2\\ & =10\log 2\\ & \fallingdotseq 10\cdot 0.693\\ & =6.93\end{array}$$

よって、中央値は6.93[分]となります。

第1四分位数

累積分布関数が以下の値となるときの $t$ の値を求めればOKです。$$F(t)=\frac{1}{4}$$

中央値のときと同じように、$\lambda =0.1$ を累積分布関数に入れて $t$ の値を計算していきましょう。$$1-e^{-\lambda t}=\frac{1}{4}$$$$-e^{-\lambda t}=-\frac{3}{4}$$$$e^{-\lambda t}=\frac{3}{4}$$$$\log e^{-\lambda t}=\log \frac{3}{4}$$$$-\lambda t=\log 3-\log 4$$$$\begin{array}{rl}t& =\frac{1}{\lambda }(\log 4-\log 3)\\ & =\frac{1}{0.1}(2\log 2-\log 3)\\ & =10(2\log 2-\log 3)\\ & \fallingdotseq 10(2\cdot 0.693-1.099)\\ & =10\cdot 0.287\\ & =2.87\end{array}$$

よって、第1四分位数は2.87[分]となります。

第3四分位数

累積分布関数が以下の値となるときの $t$ の値を求めればOKです。$$F(t)=\frac{3}{4}$$

同じように、$\lambda =0.1$ を累積分布関数に入れて $t$ の値を計算していきましょう。$$1-e^{-\lambda t}=\frac{3}{4}$$$$-e^{-\lambda t}=-\frac{1}{4}$$$$e^{-\lambda t}=\frac{1}{4}$$$$\log e^{-\lambda t}=\log \frac{1}{4}$$$$-\lambda t=-\log 4$$$$\begin{array}{rl}t& =\frac{1}{\lambda }\log 4\\ & =\frac{1}{0.1}2\log 2\\ & =20\log 2\\ & \fallingdotseq 20\cdot 0.693\\ & =13.86\end{array}$$

よって、第3四分位数は13.86[分]となります。