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工業大学生ももやまのうさぎ塾

うさぎでもわかるをモットーに大学レベルの数学・情報科目をわかりやすく解説! 数式が読み込まれない場合は1回再読み込みしてみてください。

うさぎ塾 微積分総復習 Part1 極限編

こんにちは、ももやまです。

今回から3回にわけて数3の中で特に重要な

の総復習問題を提供します。

 

Part1の今回は、極限に関する総復習問題を厳選して用意しました。

  • 数3で極限を一通り習った人
  • 模試・試験・入試前の直前演習
  • 大学で解析学を学ぶ前のリハビリ

などにご使用ください。

 

なお、問題のPDFはこちらからダウンロードできます。

解答は、この記事の後ろにまとめて用意しています。

 

 

全部で15問あり、100点満点となっております。

1時間以内に80点以上取ることができれば合格です。

 

数学が得意な人はタイムアタック(RTA)などをしてみるのもおすすめです。

 

[※注意]

なお、今回は数3の復習なので、ロピタルの定理やマクローリン展開を使った裏技を知ってたとしても使わないで解いてください

(高校生はロピタルの定理やマクローリン展開は知らなくてもOKです。)

 

それでも「俺はロピタルの定理やマクローリン展開を用いた極限の出し方に興味があるぜ!!」、もしくは大学生で「ロピタルの定理やマクローリン展開を使って極限を解いてみたい!」という人は下の記事をご覧ください。

www.momoyama-usagi.com

 

www.momoyama-usagi.com

問題1.極限計算

つぎの極限を求めなさい。(配点 72)[目安:30分]

 

(1) \[
\lim_{x \to 3} \frac{2x^2 - 3x - 9}{3x^2 - 7x - 6}
\]

(2) \[
\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x + 1}{2x^2 + x - 12}
\]

(3) \[
\lim_{x \to \infty} \left( x - \sqrt{x^2 + 6x} \right)
\]

(4) \[
\lim_{x \to 0} \frac{ \sin (3 \sin 2x) }{x}
\]

(5) \[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}
\]

(6) \[
\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x} }{x}
\]

(7) \[
\lim_{x \to \infty} \frac{ 2^{x+1} + 3^{x+1}  }{2^x + 3^x}
\]

(8) \[
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x
\]

(9) \[
\lim_{x \to 0} \frac{ \log (1+x) }{3 \sin x} 
\]

(10) \[
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log \left( 2^x + 4^x \right) 
\]

(11) \[
\lim_{x \to \infty} \frac{ \log x }{x}
\]

(12) \[
\lim_{x \to 0} \frac{ e^{-3x} - 1}{x} 
\]

解答1.

すべての問題が各6点。6点×12=72点満点。

1か所の計算ミスごとに3点減点(3点)。

(1)

そのまま  x \to 3 とすると、 \frac{0}{0} の不定形になってしまいます。

そこで、両辺を因数分解し、分子分母を  3x + 2 で割ることで不定形を解消し、最後に  x \to 3 とします。

\[\begin{align*}
\lim_{x \to 3} \frac{2x^2 - 3x - 9}{3x^2 - 7x - 6} & = \lim_{x \to 3} \frac{(2x+3)(x-3)}{(3x+2)(x-3)}
\\ & =  \lim_{x \to 3}  \frac{2x+3}{3x+2}
\\ & = \frac{9}{11}
\end{align*} \]

 

多項式/多項式の関数が 0/0 の不定形になる場合

分子分母がともに多項式となっており、 \frac{0}{0} となるタイプの極限は、分子分母を因数分解し、両辺を何かしらで約分することで不定形を解消する。

(2)

そのまま  x \to \infty とすると、 \frac{\infty}{\infty} の不定形になってしまいます。

この場合は、分母の最も次数が高い  x^2 で分子分母を割ります。

すると、\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x + 1}{2x^2 + x - 12} & = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{12}{x^2}}
\\ & =  \frac{3}{2}
\end{align*} \]と極限を求められます。

 

多項式/多項式関数が ∞/∞ になる場合

分子分母がともに多項式となっており、 \frac{\infty}{\infty} となるタイプの極限は、分母にある最も次数が高い項で分子分母を割る

 

(3)

有理化を行うタイプの極限です。\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \left( x - \sqrt{x^2 + 6x} \right) & = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( x - \sqrt{x^2 + 6x} \right) \left( x + \sqrt{x^2 + 6x} \right)}{x + \sqrt{x^2 + 6x} }
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 + 6x)}{ x + \sqrt{x^2 + 6x} }
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{-6x}{x + \sqrt{x^2 + 6x} }
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{-6}{1 + \sqrt{1 + \frac{6}{x} } }
\\ & = \frac{-6}{1 + \sqrt{1} }
\\ & = -3
\end{align*} \]

 

(4)

三角関数の極限公式を使う問題です。

 

三角関数の極限

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]

\[\begin{align*} &
\lim_{x \to 0} \frac{ \sin (3 \sin 2x) }{x} 
\\ = \ & \lim_{x \to 0} \frac{ \sin (3 \sin 2x) }{3 \sin 2x} \cdot  \frac{ 3 \sin 2x }{2x} \cdot \frac{2x}{2}
\\ = \ & 1 \cdot3 \cdot 2
\\ = \ 6
\end{align*} \]

 

(5)

再び三角関数の公式\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]に持ち込む極限です。\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x} & = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{ \frac{\sin x}{\cos x} }
\\ & =  \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{ 3x } \cdot \frac{3x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x
\\ & =  \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{ 3x } \cdot \frac{3x}{x} \cdot \frac{1}{ \frac{\sin x}{x} } \cdot \cos x
\\ & =  1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1
\\ & = 3
\end{align*} \]となる。

 

(6)

(3)の有理化+(4)の三角関数を組み合わせた極限\[\begin{align*}
& \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x} }{x}
\\ = \ & \frac{ \left( \sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x} \right) \left( \sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1 - \sin x} \right)  }{x \left( \sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x} \right)}
\\ = \ & \lim_{x \to 0} \frac{ 1 + \sin x - ( 1 - \sin x ) }{x \left( \sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x} \right)}
\\ = \ & \lim_{x \to 0} \frac{ 2 \sin x }{x \left( \sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x} \right)}
\\ = \ & \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}
\\ = \ & \lim_{x \to 0} 2  \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}
\\ = \ & \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{1}{2}
\\ = \ & 1
\end{align*} \]

 

(7)

両辺を  3^x で割ります。すると、\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{ 2^{x+1} + 3^{x+1}  }{2^x + 3^x} & = \lim_{x \to \infty} \frac{ 2 \cdot \frac{2^x}{3^x} + 3  }{ \frac{2^x}{3^x} + 1}
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{ 2 \left( \frac{2}{3} \right)^x + 3  }{ \left( \frac{2}{3} \right)^x + 1}
\\ & = 3
\end{align*} \]となる。

 

r^x の極限(収束)

\[
\lim_{x \to \infty} r^x = 0 \ \ \ \left( |r| < 1 \right) \\
\lim_{x \to \infty} r^x = 1 \ \ \ \left( |r| = 1  \right) \\
\lim_{x \to \infty} r^x = \infty \ \ \ \left( r > 1 \right)
\]となる。(それ以外の場合は極限が定まらない)

 

(8)

自然対数の底  e に関する問題です。

 

eの定義に関する極限公式

\[
\lim_{x \to \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \\
\lim_{x \to 0} \left( 1 + x \right)^{ \frac{1}{x} } = e
\]

ここで、 x = 2t とすると、\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x & = \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{2t} \right)^{2t} 
\\ & =  \lim_{t \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right)^2
\\ & =  e^2
\end{align*} \]となる。

 

(9)

自然対数の底  e \log が加わったタイプの問題です。 \[\begin{align*}
& \lim_{x \to 0} \frac{ \log (1+x) }{3x}
\\ \ & = \frac{1}{x} \log (1+x) \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{3}
\\ \ & = \log (1+x)^{ \frac{1}{x} } \cdot \frac{1}{ \frac{\sin x}{x} } \cdot \frac{1}{3}
\\ \ & = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}
\\ \ & = \frac{1}{3}
\end{align*} \]

 

eの定義に関する極限公式(応用)

\[
\lim_{x \to 0}  \frac{\log (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0}  \log (1+x)^{ \frac{1}{x} } = 1
\]

※覚えてなくても導出はできるようにしましょう。

(10)

はさみうちの原理に持ち込むタイプの極限。

 2^x \lt 4^x なので、\[
4^x < 2^x + 4^x < 2 \cdot 4^x
\]が成立する。ここで、\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log 4^x & = \lim_{x \to \infty} \log 4
\\ & = \log 4
\end{align*} \]\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log 2 \cdot 4^x & = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \left( \log 2 + x \log 4 \right)
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{\log 2}{x} + \log 4
\\ & = \log 4
\end{align*} \]となる。

よって、はさみうちの原理により、\[\begin{align*}
\frac{1}{x} \log \left( 2^x + 4^x \right) & = \log 4
\\ & = 2 \log 2
\end{align*} \]となる。

 

はさみうちの原理

十分大きい  x において、 g(x) \leqq f(x) \leqq h(x)(等号はなくてもOK)となっているとき、\[
\lim_{x \to \infty} g(x) =  \lim_{x \to \infty} h(x) = \alpha
\]が成立するとき、\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \alpha
\]も成立する。

(11)

こちらもはさみうちを使うタイプの極限。

 x = e^t とすると、\[
\lim_{x \to \infty} \frac{ \log x }{x} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t}
\]となる。

 

ここで、 0 \lt t \lt 2^t より、\[
0 < \frac{t}{e^t} < \frac{2^t}{e^t}
\]となる。

さらに、\[\begin{align*}
\lim_{t \to \infty} 0  = 0
\end{align*} \]\[\begin{align*}
\lim_{t \to \infty} \frac{2^t}{e^t} & = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{2}{e} \right)^t
\\ & = 0
\end{align*} \]となる。

 e \fallingdotseq 2.7 は理系であれば必ず頭に入れておきましょう。)

 

よって、はさみうちの原理により、\[\begin{align*}
\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = 0
\end{align*} \]となり、\[
\lim_{x \to \infty} \frac{ \log x }{x} = 0
\]と求められる。

 

[余談:無限大にしたときの関数の強さ(オーダー)]

 x を十分に大きくしたとき( x \to \infty)の主要な関数の無限大の強さ(無限大への発散しやすさ)は覚えておくと極限を求める際に役に立ちます。

 

無限大同士における関数の強さ(オーダー)

十分大きい  x において、右にいけばいくほどより強い無限大になる。\[
1 < \log x < x^a < x^b < c^x < d^x < x!
\]

※ただし、 0 \lt a \lt b 1 \lt c \lt d である。

なお、このような無限大同士の強さくらべ(強さの序列)のことをオーダーと呼びます。

オーダーについてのより詳しい内容を知りたい人は、下の記事をご覧ください。

www.momoyama-usagi.com

 

オーダーを知っておくことで、\[
\lim_{x \to \infty} \frac{ \log x }{x} = 0, \ \ \ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x} = 0
\]のような極限が簡単に求められます。

(オーダーが強い関数が分母にある場合は0、分子になる場合は無限大、同じ強さの場合は0以外の定数に収束する)

(i) 分母のほうがオーダーが強い場合の例

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{e^x} = 0
\]のように0に収束します。

(ii) 分子のほうがオーダーが強い場合の例

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{3^x}{e^x} = \infty
\]のように無限大に発散します。

(iii) どちらも同じ強さの場合

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2}{2x^2} = 2
\]のように0以外に収束します。

 

(12)

微分係数の定義から導かれる極限\[
\lim_{x \to a} \frac{ f(x) - f(a) }{x-a} = f'(a) 
\]を用いるタイプの問題です。

 f(x) = e^{-3x} とすると、 f'(x) = -3e^{-3x} なので、\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{e^{-3x} - 1}{x} & = \frac{ f(x) - f(0)  }{x-0}
\\ & = f'(0) 
\\ & = -3 e^0
\\ & = -3
\end{align*} \]と計算することができます。

 

 \[\begin{align*}
& \lim_{x \to 0} \frac{ \log (1+x) }{3x}
\\ \ & = \frac{1}{x} \log (1+x) \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{3}
\\ \ & = \log (1+x)^{ \frac{1}{x} } \cdot \frac{1}{ \frac{\sin x}{x} } \cdot \frac{1}{3}
\\ \ & = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}
\\ \ & = \frac{1}{3}
\end{align*} \]

 

微分係数の定義を使う極限公式(応用)

\[
\lim_{x \to a}  \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) \\
\lim_{h \to 0}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)
\]

 f(x) = e^x とすることで、公式\[
\lim_{x \to 0}  \frac{e^x - 1}{x} = 1
\]を導出できます*1。(この公式は頭に入れておいてもOK)

 

問題2.無限等比級数

つぎの(1), (2)の無限等比級数の和を求めなさい。(配点 18)[目安:15分]

(1)

初項1、公比  \frac{1}{4} の無限等比数列\[
S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots
\]

(2)

\[
\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{n(n+2)}
\]

 

解答2.

9点×2=18点。

部分点は問題ごとに書いています。

(1)

まずは等比数列の公式から、無限等比級数の公式を導きましょう。

初項  a_1、公比  r の等比数列の和は、\[
a_n = \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r}
\]となります。

ここで、 |r| \lt 1 のときに限り、\[
\lim_{n \to \infty} r^n = 0
\]となりますね。そのため、初項  a_1、公比  r の無限等比級数の和は、 |r| \lt 1 に限り、\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r} = \frac{a_1}{1 - r}
\]と導くことができます。

(この式があれば部分点4点。 a_1,  r を代入していてもOK)

 

今回は初項  a_1 = 1、公比  r = \frac{1}{4} の無限等比級数の和を求めればいいので、\[
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}
\]となります。

 

等比数列の和と無限等比級数の和

初項  a_1、公比  r の等比数列  a_n = a_1 r^{n-1} の和  S_n は\[
S_n = \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r}
\]となる。

 

また、初項  a_1、公比  r の無限等比級数の和は、 |r| \lt 1 のときに限り、\[
\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-r}
\]となる。

(無限等比級数の和は丸暗記するのではなく、等比数列の和から導けるようにしましょう!)

 

(2)

まず、部分分数分解を行います。\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)
\](ここまでできていれば2点)

すると、\[
\sum^{n}_{k = 1}  \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)
\]の隣同士の項がドミノ倒しのように消えていき、簡単に総和を求めることができます。

f:id:momoyama1192:20200412084523g:plain

 n を用いて総和(シグマを外した形)で求められていれば部分分数分解の2点に加えて3点追加(合計5点))

 

すると、

\[\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k = 1} & \frac{1}{k(k+2)}
\\ = \ & \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k = 1} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)
\\ = \ & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)
\\ = \ & \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}
\\ = \ & \frac{3}{4}
\end{align*}\]

と求めることができます。

 

問題3.無限等比級数

つぎの等式が成り立つように、定数  a,  b の値を求めなさい。(配点 10)[目安:15分]

\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^2 + 4x } - ax - b \right) = 5
\] 

解答3.

極限のちょっとした応用問題。

まずは、有理化をする。\[\begin{align*} &
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - ax  \right) - b
\\ = \ & \lim_{x \to \infty} \frac{ \left( \sqrt{x^2 + 4x} - ax  \right) \left( \sqrt{x^2 + 4x} + ax  \right) }{\sqrt{x^2 + 4x} + ax} - b
\\ = \ & \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 4x - a^2 x^2}{ \sqrt{x^2 + 4x} + ax} \right) - b
\end{align*}\]となるので、分数部分の分子分母を分母の最高位である  x で割ると、\[\begin{align*}
& \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 4x - a^2 x^2}{ \sqrt{x^2 + 4x} + ax} \right) - b
\\ = \ &  \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 4 - a^2x}{ \sqrt{1 + \frac{4}{x} } + a} \right) - b
\\ = \ &  \lim_{x \to \infty} \left( \frac{(1-a^2)x + 4}{ \sqrt{1 + \frac{4}{x} } + a} \right) - b
\end{align*} \]

ここで分母部分は、\[
\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{4}{x} } + a = 1 + a
\]なので、分子部分\[
\lim_{x \to \infty}  (1-a^2)x + 4 
\]が収束することが必要である。

よって、 1 - a^2 = 0 より、 a \pm 1。(これができていれば3点)

さらに  a \lt 0 のとき、\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - ax  \right) - b
\]は発散してしまうため、 a \geqq 0 も必要である。

 a = -1 のとき、分母部分が  1-1 =0 になるからダメというのもあり)

 

よって、 a = 1 となる。(aの値が求められて2点追加、合計5点)

このとき、\[\begin{align*} &
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{(1-a^2)x + 4}{ \sqrt{1 + \frac{4}{x} } + a} \right) - b
\\ = \ & \lim_{x \to \infty} \left( \frac{4}{ \sqrt{1 + \frac{4}{x} } + 1} \right) - b
\\ = \ & \frac{4}{ \sqrt{1+0} + 1} - b = 2-b 
\\ = \ & 5
\end{align*} \]となるので、 2-b = 5 より、 b = -3 となる。

よって、 a = 1,  b = -3 が答え。(bの値が求められてさらに5点、合計10点)

 

さいごに

今回は、微積分の計算総復習として、極限の計算演習を15問用意しました。

計算練習で間違えた問題は、必ず復習して解けるようにしておきましょう。

 

次回は、計算総復習の微分編を用意したいと思います。

 

*1: f'(x) = e^0 より、\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0}  \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} & = \lim_{x \to 0}  \frac{e^x - e^0}{x - 0}
\\ & = \lim_{x \to 0}  \frac{e^x - 1}{x}
\\ & = f'(0) \\ & = e^0 = 1
\end{align*} \]