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工業大学生ももやまのうさぎ塾

うさぎでもわかるをモットーに大学レベルの数学・情報科目をわかりやすく解説!

うさぎでもわかる解析 Part1 ロピタルの定理

こんにちは、ももやまです。
数学系の記事は解析について書いていきたいと思います。

 

基本的な極限公式を用いた計算が理解できてきいることを前提に説明をしています。ロピタルの定理を理解する前に、基本的な極限公式を用いた計算を理解してからこちらの記事を読んでください。

 

※大学受験などでロピタルの定理を使う人へ

ロピタルの定理は使用条件が難しく、ロピタルの定理を使っている高校生の多くが条件を知らずに使っています。

ロピタルの定理を学ぶのであれば、中途半端な知識を叩きこむのではなく、使用条件などをしっかり確認してから使ってください。
特に使用条件を満たしていないにも関わらずロピタルの定理を使ってしまった場合は大量減点されます。

また、ロピタルの定理は国公立の入試ではほとんど役に立ちません。今までの国公立の入試問題を解いた限りではロピタルの定理で計算量が大幅に減るような問題に出くわした経験はありませんし、ロピタルの定理の有無で合否が決まるような問題を教授側が出すとは思えません(私立ではごくまれに見かけます)。

 

私の考えは、ロピタルの定理は、検算、マークシートなどの1問1答方式、数検の1次試験など、計算過程が求められない部分では使ってもいいかと思いますが、それ以外の場面では使えるような場面はそもそも来ないし、使えたとしてもロピタルを使わないほうが有利になることが多いと考えています。

それを理解したうえで、この記事を読んで下さい。

 

 

1.ロピタルの定理が使える条件

皆さんはロピタルの定理を単に分数関数を分子の分母を微分しても極限が変化しない定理だと思っていませんか? そう思っている人は今すぐその考えを改めてください

ロピタルの定理には、以下の4つの条件が揃っていない限り使用することができません。

条件1

関数  f(x),  g(x) x = a の近くで定義されていて、さらに微分可能であるとする。

条件2

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0  \]もしくは\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty  \]であること、つまり\[\frac{0}{0} \ もしくは \ \frac{\infty}{\infty}\]の不定形であること。

条件3(超重要!!)

この条件3がかなり重要です。\[\lim_{x \to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\]が収束する、もしくは  \pm \infty になること。

この条件3を忘れている人がかなりいます!!

条件4(重要!)

極限の公式、\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \ \ \ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1,
\ \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} \\ \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e 
\]などの基本公式ではないこと。
(上の基本公式から微分の公式が導かれているため。基本公式をロピタルの定理で示してはいけない。)

こちらも知らず知らずのうちに使ってしまっている人がいます。

 

以上4つの条件をすべて満たした場合のみ、\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\]が成立します。

 

この中で重要なのが条件2条件3です。
この条件2条件3を無視すると、つぎのような間違いをしてしまいます。

間違い例1

\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^ 2+ 2x + 1} \]の極限を求めなさい。

正しい解答例(ロピタル使わない)

\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^ 2+ 2x + 1} = 3\]

だめな解答例(ロピタル使う)

\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^ 2+ 2x + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + 4}{2x + 2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{2} = 1\]このように、0/0の不定形以外のときにはロピタルの定理は使えません*1

間違い例2

\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]の極限を求めなさい。

正しい解答例(ロピタルを使わない)

\[\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0 , \ \ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0  \]となる。さらに\[
-\frac{1}{x} \leqq \frac{\sin x}{x} \leqq \frac{1}{x}
\]なので、はさみうちの定理により\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0\]となる。

だめな解答例

ロピタルの定理より、\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} =
\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{1} = \lim_{x \to \infty} \cos x
\]となり、発散する。

こちらも0/0の不定形ではないため、このような形に対してロピタルの定理を使うと、正しくない答えが算出されてしまいます(しかも極限が存在しないので余計アウト)。

間違い例3

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x - \cos x}{x} \]の極限を求めなさい。

正しい解答例(ロピタルを使わない)

\[\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0 , \ \ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0  \]となる。さらに\[
-\frac{1}{x} \leqq \frac{\cos x}{x} \leqq \frac{1}{x}
\]なので、はさみうちの定理により\[\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0\]となる。

よって、\[\lim_{x \to \infty} \frac{x - \cos x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 - \frac{\cos x}{x} = 1\]となる。

だめな解答例

今回は  \frac{ \infty }{ \infty } なのでロピタルが使えそうに見えますね。

ロピタルの定理より、\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x - \cos x}{x} =
\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \sin x}{1} = \lim_{x \to \infty} 1 + \sin x
\]となり、発散する。

このように、極限が存在しないような形に対してロピタルの定理を使った場合にも、正しくない答えが算出されてしまいます。

 

2.例題

では、ロピタルの定理が使える問題の例題をいくつか紹介します。

例題1

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}\]を計算しなさい。

解答1

与式の分子、分母ともに0に収束し、0/0の不定形となる。\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}
= \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} }{\cos x}
= 2
\]よって、ロピタルの定理より2に収束する。

(このように、分子分母ともに微分し、収束(もしくは極限が存在)することを確認してからロピタルの定理の記述をすること。計算前にロピタルの定理の記述をすると、条件を確認せずにロピタルの定理を使っていると思われるのでよくない。)

 

例題2

\[ \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x^2}\]を計算しなさい。

解答2

与式の分子、分母ともに0に収束し、0/0の不定形となる。

\[
\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x^2}  & = 
\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-2x} \\ & = 
\lim_{x \to 1} \frac{1}{-2x^2} = - \frac{1}{2}
\end{align*}
\]よって、ロピタルの定理より1/2に収束する。

よくある誤答\[
\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x^2}  & = 
\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-2x} \\ & = 
\lim_{x \to 1} \frac{-\frac{1}{x^2}}{-2} \\ & = 
\lim_{x \to 1} \frac{-1}{-2}  =  \frac{1}{2}
\end{align*}
\]

途中で0/0の不定形が解消されているにもかかわらずロピタルを適用すると、このように誤った答えが導出されます。

例題3

\[ \lim_{x \to 0} x \log x \]を計算しなさい。

解答3

このように分数になっていないものでも、無理やり分数にすることでロピタルに持ち込むことができます。

\[
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} x \log x & = \lim_{x \to 0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^2}}
\\ & = \lim_{x \to 0} (-x) = 0
\end{align*} \]よってロピタルの定理により0に収束する。

例題4

\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{x}} \]を計算しなさい。

解答4

ロピタルの定理使用バージョン

対数を取る、つまり、\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log \left(\frac{1+x}{1-x} \right) \]とする。
\[
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log \left(\frac{1+x}{1-x} \right) & = 
\lim_{x \to 0} \frac{\log \left(\frac{1+x}{1-x} \right)}{x} 
\\ & =\lim_{x \to 0} \frac{  -\frac{2}{1-x^2} } {1} 
\\ & =\lim_{x \to 0} - \frac{2}{1-x^2} = 2
\end{align*} \]

となる*2。よってロピタルの定理により2に収束する。

対数を取っているので答えは  e^2 となる。

別解バージョン

\[
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{x}} & =
\lim_{x \to 0}  \frac{ (1+x)^{ \frac{1}{x} } }{(1-x)^{ \frac{1}{x} }  }
\\ & = \lim_{x \to 0}  \frac{ (1+x)^{ \frac{1}{x} } }{\left( (1-x)^{ \frac{1}{-x} } \right)^{-1}  } 
\\ & = \frac{e}{\frac{1}{e}} = e^2
\end{align*} \]

と計算でき、答えは  e^2 となる。

この問題はこの方法のほうが計算が早いです。

3.練習問題

では練習してみましょう。
余裕があればロピタル以外の方法でも極限を出す練習をするのがいいでしょう。

(1) \[ \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 3x)}{x} \]
(2) \[ \lim_{x \to 4} \frac{-x^2+3x+4}{x-4} \]
(3) \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x^3} \]
(4) \[ \lim_{x \to \infty} x \left( \log (3x+1) - \log 3x  \right) \]
(5) \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x^2} \]
(6) \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{3^x + 5^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} \]

4.練習問題の解答

(1) 0/0 の不定形なので分子分母を微分する。\[ \begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 3x)}{x} & = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+3x}}{1} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1+3x} = 3 
\end{align*} \]よって、ロピタルの定理より答えは3。

[別解] \[ \begin{align*} &
\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 3x)}{x} \\ = &
\lim_{x \to 0} \log (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} \\ = & \lim_{x \to 0} \left( \log (1 + 3x)^{\frac{1}{3 x}} \right)^3 
\\ = & \log e^3 = 3
\end{align*} \]

 

(2)  0/0の不定形。\[ \begin{align*}
\lim_{x \to 4} \frac{-x^2+3x+4}{x-4} & = \lim_{x \to 4} \frac{-2x+3}{1} \\ & = \lim_{x \to 4} (-2x+3) = -5
\end{align*} \]となる。

[別解] \[ \begin{align*}
\lim_{x \to 4} \frac{-x^2+3x+4}{x-4} & = \lim_{x \to 4} \frac{-(x-4)(x+1)}{x-4} \\ & = \lim_{x \to 4} -(x+1) = -5
\end{align*} \]と計算できる。こっちのほうがいいかも。

(3)  \frac{ \infty }{ \infty } の不定形。ロピタルを複数回用いるバージョン。
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{- \cos x}{3 x^2} \cdots \mathrm{(i)} \\
\lim_{x \to \infty} \frac{- \cos x}{3 x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{6 x} \cdots \mathrm{(ii)} \\
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{6 x} = \lim_{x \to \infty}  \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6} \cdots \mathrm{(iii)} \\
\]ロピタルの定理より、\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{6 x} = \lim_{x \to \infty}  \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}\]となる。さらに(ii)とロピタルの定理より、\[ \lim_{x \to \infty} \frac{- \cos x}{3 x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{6 x} = \frac{1}{6}\]となる。さらに(i)とロピタルの定理より、\[\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{- \cos x}{3 x^2}  = \frac{1}{6}\]となり、極限が1/6に収束することがわかる*3

(4) 変形して0/0形までもっていく。\[\begin{align*} &
\lim_{x \to \infty} x \left( \log (3x+1) - \log 3x  \right) \\ = &
\lim_{x \to \infty} x \log \left( \frac{3x+1}{3x} \right) \\  = &
\lim_{x \to \infty} x \log \left( 1 + \frac{1}{3x} \right) \\  = &
\lim_{x \to \infty} \frac{ \log \left( 1 + \frac{1}{3x} \right) }{\frac{1}{x}}
\end{align*} \]とすると0/0形となる。ここで、 t = \frac{1}{3x} とする。すると、極限は  x \to \infty から  t \to 0 となる。

\[\begin{align*} &
\lim_{x \to \infty} \frac{ \log \left( 1 + \frac{1}{3x} \right) }{\frac{1}{x}} \\ = &
\lim_{t \to 0} \frac{ \log (1 + t) }{3t} \\ = & \lim_{t \to 0} \frac{ \frac{1}{1+t} }{3} = \frac{1}{3}
\end{align*} \]となるのでロピタルの定理より、極限が  1/3 と求められる。

[別解] \[\begin{align*} &
\lim_{x \to \infty} x \left( \log (3x+1) - \log 3x  \right) \\ = &
\lim_{x \to \infty} x \log \left( \frac{3x+1}{3x} \right) \\  = &
\lim_{x \to \infty} x \log \left( 1 + \frac{1}{3x} \right) \\  = &
\lim_{x \to \infty} \log \left( 1 + \frac{1}{3x} \right)^x \\  = &
\lim_{x \to \infty} \log \left( \left( 1 + \frac{1}{3x} \right)^{3 x} \right)^{\frac{1}{3}}  \\  = &
\log e^{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{3} 
\end{align*} \]
(5) 0/0の不定形。\[\begin{align*} &
\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x^2} \\ = &
\lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin 2x + 3 \sin 3x}{2x} \\ = &
\lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos 2x + 9 \cos 3x}{2} \\ = &
\frac{-4+9}{2} = \frac{5}{2}
\end{align*} \]となる。よってロピタルの定理を2か所に適用して答えは  5/2 となる。

(6)  \frac{ 0 }{ 0 } の不定形。対数を取るバージョン。\[ \log \left( \frac{3^x + 5^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \log \left( \frac{3^x + 5^x}{2} \right) \]とする。\[ \begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{3^x + 5^x}{2} \right) & = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \frac{3^x + 5^x}{2} \right)}{x}
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{3^x \log 3+ 5^x \log 5}{2} }{\frac{3^x + 5^x}{2}}
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{3^x \log 3+ 5^x \log 5}{3^x + 5^x}
\\ & = \frac{\log 3+ \log 5}{2}
\end{align*}
\]となり、極限が収束したのでロピタルの定理が成立する。

よって、\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{3^x + 5^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\log 3+ \log 5}{2}} = \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}\]と計算できる。

5.さいごに

今回は、ロピタルの定理について説明しました。

もしいまサイトを見ているのが高校生以下で受験を控えている場合、ロピタルの定理はなるべく頼らないようにし、いざと言うときの最終手段 or 検算などで使ってください。

ロピタルの定理を理解するよりも、基本的な極限計算公式を用いた計算ができることが何倍も重要です。

もし大学生で解析学を習っているのであれば、ロピタルの定理の使える条件を正しく理解し、条件を満たしていないのにロピタルの定理を使わないようにしましょう。

6.引用など

きみは「ロピタルの定理」を本当に知っているか
[2019年6月17日アクセス]
(このサイトはブンブン法などと言われる部分積分の公式を生み出している素晴らしいサイトなのでぜひ1度見ることをおすすめします。)

受験数学最大最強!極限の裏技:ロピタルの定理 記述試験で無断使用できる?
[2019年6月17日アクセス]

*1:でもこのレベルでロピタルを使おうとは思いませんね…。

*2:途中の微分部分は、\[ f(x) = \frac{1+x}{1-x}\]とし、\[f^{\prime}(x) = \frac{1 \cdot (1-x) - (1+x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} = - \frac{2}{(1-x)^2}\]となる。\[ \frac{d}{dx} \ \log f(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\]なので、\[\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = - \frac{2}{(1-x)^2} \cdot \left( - \frac{1-x}{1+x} \right)= - \frac{2}{(1-x)(1+x)} = - \frac{2}{1-x^2} \]となる。

*3:本当はいちいちロピタルの定理を3回書かなくてもいいですが、念のために。 A \to B かつ  B \to C が成り立てば当然  A \to C なので(離散数学用語で推移性と言います)。