うさぎでもわかる線形代数 行列式の四則演算練習

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こんにちは、ももやまです!
今回は少し前に載せられなかった行列式の四則演算の練習問題をまとめてみました。

行列の四則演算の仕方はこちらに載せているのでわからなくなった人はこちらをご覧ください。

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1.練習問題

では少し練習してみましょう。

練習1

3つの行列 \( A, B, C \) を、\[ 
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2  \end{array} \right)  \ \ 
B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ -1 & 2  \end{array} \right)  \\
C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4  \end{array} \right) 
\]とし、3つの列ベクトル \( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \) を\[ 
\vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1  \end{array} \right)  \ \ 
\vec{y} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3   \end{array} \right) \ \
\vec{z} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3   \end{array} \right)
\]とする。このとき、次の(1)~(10)の計算をしなさい、ただし、定義されない計算の場合は「定義できない」と書くこと。

(1) \( A + B \)  (2) \( AC \)  (3) \( CA \) 
(4) \( ({}^t\!A + C) \) (5) \( B({}^t\!A + C) \)  (6) \( ({}^t\!A + C)B \)
(7) \( A \vec{z} \)  (8) \( C \vec{z} \)  (9) \( B \vec{y} \)  (10)  \( {}^t\! \vec{x} \vec{y} \)

解答1

行列 \( A \) は2行3列
行列 \( B \) は2行2列
行列 \( C \) は3行2列

(1) 行列 \( A \) と \( B \) の行の数は同じだが列の数が異なるので計算が定義されない。
(2) 23列×32列=22列 となる。\[
\begin{align*} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4   \end{array} \right) \\ = \ & \left(\begin{array}{ccc} 3+6+0 & 1-3+8 \\ -3+4+0 & -1 -2 +8   \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 9 & 6 \\ 1 & 5   \end{array} \right)
\end{align*}
\]

(3) 32列×23列=33列となる。\[
\begin{align*} & \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2   \end{array} \right) \\ = \ & \left(\begin{array}{ccc} 3-1 & 9 + 2 & 6 + 2 \\ 2 + 1 & 6 - 2 & 4 - 2 \\ 0 - 4 & 0 + 8 & 0 + 8   \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 11 & 8 \\ 3 & 4 & 2 \\ -4 & 8 & 8   \end{array} \right)
\end{align*}
\] 

(4)
(\(  {}^t\!A \) は3行2列、\( C \) も3行2列なので足し算の計算可能)\[{}^t\!A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2  \end{array} \right) \]より、\[\begin{align*}
 {}^t\!A + C = &   \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4   \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 1+3 & -1+1 \\ 3+2 & 2-1 \\ 2+0 & 2+4   \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 2 & 6   \end{array} \right) 
\end{align*} \]

(5) 2行2列×3行2列なので左の列と右の行が一致しておらず計算が定義されない。

(6) 32列×22列=32列 \[\begin{align*}
 ({}^t\!A + C)B = &  \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 2 & 6   \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ -1 & 2  \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 8+0 & 12+0 \\ 10-1 & 15+2 \\ 4-6 & 6 + 12   \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 8 & 12 \\ 9 & 17 \\ -2 & 18 \end{array} \right)
\end{align*} \]

(7) 23列×31列=21列 \[ \begin{align*}
A \vec{z} = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)
\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 1+6+6 \\ -1+4+6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 13 \\ 9 \end{array} \right)
\end{align*} \]

(8) 32列×31列なので左の列と右の行が一致しておらず計算が定義されない。

(9)  22列×21列=21列\[ \begin{align*}
A \vec{z} = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3 \end{array} \right)
\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 4 + 9 \\ -2 + 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 13 \\ 4 \end{array} \right)
\end{align*} \]

(10) 12列×21列=11列(内積)\[ \begin{align*}
{}^t\! \vec{x} \vec{y} = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3 \end{array} \right)
\\ = & 2 - 3 = -1 
\end{align*} \]

練習2

2次正方行列 \( A, B, C \) を、\[ 
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)  \ \ \ 
B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right)  \\
C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)  \ \ 
\]

とする。このとき、

(1) \( AB \)、\( BC \)、\( AC \) を求めなさい。
(2) \( A(BC) = (AB)C \) が成立することを確認しなさい。
(3) \( (A+B)C = AC + BC \) が成立することを確認しなさい。
(4) \(  {}^t\!A \)、\( {}^t\!B \) を求めなさい。
(5) \( {}^t\!(AB) = {}^t\!B {}^t\!A \) が成立することを確認しなさい。

解答2

(1) \[
\begin{align*} AB = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right) \\ = & \left(\begin{array}{ccc} 6+1 & 3-2 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{ccc} 7 & 1 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
\end{align*}
\]\[
 \begin{align*} AC = &  \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -4 & -3 \\ 2 & 6   \end{array} \right)
\end{align*}
\]\[
 \begin{align*}  BC = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 \\ 3 & 6   \end{array} \right)
\end{align*}
\]と計算できる。

(2) \[
 \begin{align*} A(BC) = &  \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 \\ 3 & 6  \end{array} \right) \\ = & \left(\begin{array}{ccc} 6+1 & 3-2 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{ccc} -6 & 3 \\ 6 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\] \[
 \begin{align*} (AB)C = & \left( \begin{array}{ccc} 7 & 1 \\ -2 & 4  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = & \left(\begin{array}{ccc} 6+1 & 3-2 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{ccc} -6 & 3 \\ 6 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]となり、確かに \( A(BC) = (AB)C \) である。

(3)\[
 \begin{align*} A+B = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right) 
\\ = &  \left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 \\ -1 & 4   \end{array} \right)
\end{align*}
\]より、\[
 \begin{align*} (A+B)C = & \left( \begin{array}{ccc} 5 & 0 \\ -1 & 4  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -5 & 0 \\ 5 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]\[
 \begin{align*} AC+BC = & \left( \begin{array}{ccc} -4 & -3 \\ 2 & 6  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 \\ 3 & 6 \end{array} \right) 
\\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -5 & 0 \\ 5 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]となり、確かに \( (A+B)C = AB +AC \) である。 
(4) \[ 
{}^t\!A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right)  \ \ 
{}^t\!B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 \\ 1 & 2  \end{array} \right)  \\
\](5)\[ 
{}^t\!(AB) = \left(\begin{array}{ccc} 7 & -2 \\ 1 & 4   \end{array} \right) \\
 \begin{align*} {}^t\!B {}^t\!A = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 \\ 1 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ -1 & 2  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} 7 & -2 \\ 1 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]となり、確かに \( {}^t\!(AB) = {}^t\!B {}^t\!A \) である。

練習3

次の行列 \( A \) の \( n \)乗、つまり \( A^n \) の推定をしたい。\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\](1) \( A^2 \), \( A^3 \), \( A^4 \), \( A^5 \) を求めなさい。
(2) \( A^n \) を推測し、それを数学的帰納法で示しなさい。

数学的帰納法についてはこちらにまとめているのでわからなければこちらをご覧ください。

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解答3

(1)

f:id:momoyama1192:20190518112903j:plain

[訂正]

\[
A^5 = \left( \begin{array}{ccc} 32 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\]です。申し訳ございません。

 

(2)

 

f:id:momoyama1192:20190514113443j:plain

(ii)の部分は丁寧に書いたバージョンと省略して書いたバージョンの2パターンをそれぞれ記します。

[丁寧なバージョン]

f:id:momoyama1192:20190514113447j:plain

[省略バージョン]

f:id:momoyama1192:20190514113449j:plain

省略バージョンは大学の教員はよく使う書き方です。

 

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3.さいごに

今回は行列の四則演算の練習問題をまとめました。
この問題が四則演算をスムーズに進めるための助けとなれば幸いです。

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