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うさぎでもわかる離散数学 番外編3 差分方程式(漸化式) 後編

こんにちは! ももやまです!
前回に引き続き、差分方程式(漸化式)についてまとめてみました。

前回やった隣接3項間や隣接4項間の差分方程式は = 0 の形になっていましたよね。今回は = 0 のパターンではない右辺に残骸があるパターンについて説明していきたいとおもいます。

= 0 のパターンはもっと簡単に解くことができます。こちらを参考にしてください。

www.momoyama-usagi.com

 

1.基本パターン

例えば次のような差分方程式を考えてみましょう。

\[ a_{n} - 2a_{n-1} = 2n^2-4n-3, \ a_0 = 2\]

まずは、 = 0 のときの解、つまり

\[ a_{n} - 2a_{n-1} = 0\]

のときの解を出してみましょう。このような式を同次式(斉次式)といいます。微分方程式でも出てくる用語なので覚えておくと便利です。特性方程式  x - 2 = 0 となるので解は2となります。ここまではどのパターンでも同じです。ここからは、式の形によって4パターンにわかれます。それぞれで紹介していきましょう。

2.n 乗がないパターン

(1) 特性方程式の解に1が含まれないとき

このパターンの場合は  n最高次の項にそろえておきます。今回は最高次数は  n^2 なので、  a_n = an^2 + bn + c とおきます。すると、

\[an^2 + bn + c - 2(a(n-1)^2 + b(n-1) + c) =  -a n^2 + (4a-b)n - 2a +2b- c = 2n^2-4n-3\]

が成り立つ。 a = -2, b = -4, c = -1 が求まるので、 a_n = -2n^2 - 4n - 1 となる。
よって解は  a_n = A \cdot 2^n - 2n^2 -4n - 1 となる。

あとはいつもどおり  n に初期値加えて問題解くだけ。 n = 0 のとき、 A - 1 = 2 なので、特殊解は、

\[a_n = 3 \cdot 2^n - 2n^2 - 4n - 1 \]

と求められる。

(2) 特性方程式の解に1が含まれるとき

ただし、特性方程式の解に1が出たら強く警戒してください

\[ a_n - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} = 4n, \ a_0 = 1, \ a_1 = 2\]

普通に解いてみます。

\[x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\]

より解は1と3。よって同次解は  a_n = A \cdot 3^n + B となる。
ここで、 a_n = an + b とする。
\[ a_n - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} = an + b - 4(a(n-1) + b) + 3(a(n-2) + b) = -2]

となる。でも  -2 = 4n式が合わない……。

ということで、特殊解の置き方を少し変えます。 n(an + b) = an^2 + bn とします。

 a_n - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} \\= an^2 + bn - 4(a(n-1)^2 + b(n-1)) + 3(a(n-2)^2 + b(n-2)) \\= -4an + 8a -2b = 4n

なので、

\[\left\{ \begin{array}{l}  -4a\ \  \ \ \ \ \ \ = 4 \\ \ \ 8a - 2b = 0 \end{array}\right.\]

の連立方程式を解けばよい。これを解くと a = -1, b = -4 となる。

よって一般解は

\[a_n = A \cdot 3^n + B - n^2 -4n \]

となる。あとは初期値を使って連立方程式を解くだけ。

 n = 0 のとき、 A + B = a_0 = 1
 n = 1 のとき、 3A + B -5 = a_1 = 2

の2式が成立する。よって、

\left\{ \begin{array}{l} \ \ A + \ \ B = 1 \ \ \cdots (1) \\ 3A + \ \ B = 7 \ \   \cdots (2) \end{array}\right.

この式を解くと  A = 3, B = -2 となる。よって特殊解は、

\[a_n = 3 \cdot 3^n - n^2 -4n - 2 = 3^{n+1} -n^2 -4n - 2\]

と求められる。

3.a^n のように n 乗があるパターン

  2^n 3^n のような  a^n パターンが右辺に含まれている場合は特殊解を置く際に  a^n をかけた値を置きます。これもさらに2つのパターンに場合分けがあります。

(1) 特性方程式の解に  a が含まれないとき

具体例で1つ試してみましょう。

\[ a_{n} - 2a_{n-1} - 3a_{n-2} = 3 \cdot 2^n\]

の一般解を出してみます。まずは同次式  a_{n} - 2a_{n-1} - 3a_{n-2} =0 の解を出します。特性方程式は  x^2-2x-3=(x-3)(x+1) = 0 より解は-1と3となります。よって同次解は、

\[ a_{n} = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n \]

となります。ここで特殊解を  a_n = a \cdot 2^n とします。

 a_{n} - 2a_{n-1} - 3a_{n-2} \\= a2^n - 2(a (2^{n-1}) - 3(a (2^{n-2}) \\= 4a \cdot 2^{n-2} -4a \cdot 2^{n-2} - 3a  \cdot 2^{n-2} \\= -3a \cdot 2^{n-2} \\= 3 \cdot 2^n = 12 \cdot 2^{n-2}   

より  a = -4 となる。よって一般解は

\[a_n = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n - 4 \cdot 2^n \\=A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n - 2^{n+2} \]

となる。あとはいつものように初期値を代入して連立方程式を解くだけ。

 n = 0 のとき、 A + B = a_0 = 1
 n = 1 のとき、 3A + B -5 = a_1 = 2

の2式が成立する。よって、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ A + \ \ B = 1 \ \ \cdots (1) \\ 3A + \ \ B = 7 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

この式を解くと  A = 3, B = -2 となる。よって特殊解は、

\[a_n = 3 \cdot 3^n - n^2 -4n - 2 = 3^{n+1} -n^2 -4n - 2\]

と求められる。

(2) 特性方程式の解に  a が含まれるとき

この場合は、特性方程式の解に  a^n a が出てきた場合は警戒してください。

試しに1つ解いてみます。

\[a_{n} - 9a_{n-2} = 4n \cdot 3^n , \ a_0 = 3, \ a_1 = 6 \]

これでも解いてみましょう。今回は  3^n、つまり  a = 3 なので、解に3が出たら警戒してください。いつものようにまずは同次式 a_{n} - 9a_{n-2} = 0 の解を出します。特性方程式は  x^2-9=(x+3)(x-3) = 0 より解は3と-3となります。よって同次解は、

\[ a_{n} = A \cdot 3^n + B \cdot (-3)^n \]

となります。特性方程式の解に3がありますね! 警戒するパターンです!!

今回は1次式に指数関数である  3^n がかけられているので、特殊解を  a_n = (an + b) \cdot 3^n とおくのですが、今回3の解が1つ含まれているので特殊解を置く時に  n^1 = n 倍をし、

\[a_n = n(an + b) \cdot 3^n =(an^2 + bn) \cdot 3^n\]

としてやります。あとは計算です。

a_{n} - 9a_{n-2} \\= (an^2 + bn) \cdot 3^n - 9(a(n-2)^2 + b(n-2)) \cdot 3^{n-2} \\= 9(an^2 + bn) \cdot 3^{n-2} - 9(a(n^2-2n+1) + bn - b) \cdot 3^{n-2} \\ = (36an - 36a + 18b) \cdot 3^{n-2}  \\=36n \cdot 3^{n-2} \\= 4n \cdot 3^{n}

より、

\[\left\{ \begin{array}{l}  36a = 36 \\ -36a + 18b = 0 \end{array}\right. \]

の連立方程式を解けばよい。よって  a =  1, b = 2 となり一般解は、

\[ a_{n} = A \cdot 3^n + B \cdot (-3)^n +(n^2 + 2n) \cdot 3^n\]

となる。

あとは初期値を入れて特殊解を出しましょう。

 n = 0 のとき、 A + B = a_0 = 3
 n = 1 のとき、 3A - 3B + 9 = a_1 = 6

となる、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ A + \ \ B = 3 \ \ \cdots (1) \\ 3A -  3B = -3 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

の連立方程式を解けばよい。たまには逆行列で計算してみますか。

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1  \\ 3 & -3  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} A  \\ B  \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 3  \\ -3  \end{array} \right)\]

という行列を満たせばいい。ここで逆行列を求める。

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1  \\ 3 & -3  \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1  \\ 3 & -1  \end{array} \right)\]

なので、

\[\left( \begin{array}{ccc} A  \\ B  \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{ccc}1 & 1  \\ 3 & -3  \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 3  \\ -3  \end{array} \right)\ =  \frac{1}{6}  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1  \\ 3 & -1  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3  \\ -3  \end{array} \right)\ = \left( \begin{array}{ccc} 1  \\ 2  \end{array} \right)\ \]

となり、 A = 1, B = 2 となる。

よって特殊解は、

\[ a_{n} = 3^n + 2 \cdot (-3)^n +(n^2 + 2n) \cdot 3^n\]

となる。

ということで(右辺)= 0 でない場合の計算方法をまとめてみました。

計算方法まとめ 少し長いですが……

初項が a_0 で与えられていて、(右辺)= 0じゃないとき、
まず(右辺)= 0 (同次式)の特性方程式を求めて一般解を出す。

つぎに、(右辺)の形を( n の多項式)×( n の指数関数)に分解して場合分けをおこなう。

場合分けパターンは2つ

(1) 右辺が指数関数なしのパターン、つまり n の多項式だけで表されているパターン

この場合は、右辺の最高次数に合わせて特殊解を置く。右辺の例と特殊解の置き

右辺が  4 a_n = a とおく
右辺が  2x + 3 a_n = an + b とおく
右辺が  4x^2 a_n = an^2+ bn + c とおく
右辺が  x^3+5x a_n = an^3 + bn^2 + cn + d とおく

こんな感じに最高次数だけに注目して特殊解を設定し、それを左辺にぶち込みます。ぶちこんだもの=右辺で恒等式を解いて特殊解を決める。

ただし、同次式の特性方程式の解が1のときは注意! 特殊解を置くときに特性方程式で1の解が出た個数だけ  n 倍すること。

例1:特性方程式の解が1と3 → 特殊解は  n
右辺が  5x + 3 a_n = n(an + b) = an^2 + bn と置く
例2:特性方程式の解が1(2重解)→特殊解は  n^2
右辺が  1 a_n = an^2 と置く

(2) 右辺が指数関数ありのパターン、つまり a^n が含まれているパターン

この場合は右辺の指数関数部分と  n の多項式部分の2つを分離します。

まず、(1) と同じように  n の多項式部分に合わせて特殊解を置きます。
つぎに指数関数部分である  a^n をかけます。また例を用意しました。

例1:右辺が  4 \cdot 2^n a_n = a \cdot 2^n とおく
例2:右辺が  (x - 7) \cdot 4^n a_n = (an + b) \cdot 4^n とおく
例3:右辺が  2n^2 \cdot 3^n a_n = (an^2 + bn + c) \cdot 3^n とおく

あとは(1)と同じようにぶちこんだもの=右辺で恒等式を解いて特殊解を決める。

ただし、特性方程式の解に  a^n 部分の  a と同じものがあるときは要注意。 a の解の数だけ  n 倍すること。

例1:特性方程式の解が1と3 の場合で右辺が  3n^2 \cdot 4^n
解に4は含まれないので  n 倍は不要
 a_n = (an^2+bn + c) \cdot 2^n とおく
例2:特性方程式の解が2と-2 の場合で右辺が  3x \cdot 2^n
解に2が1つ含まれるので  n 倍が必要
 a_n = n(an + b) \cdot 2^n = (an^2 + bn) \cdot 2^n とおく
例3:特性方程式の解が3の2重解の場合で右辺が  5 \cdot 3^n
解に3が2つ含まれるので  n^2 倍が必要
 a_n = an^2 \cdot 3^n とおく

(おいた特殊解)+(同次解の一般解)が一般解となる。

あとは初期値を入れて連立方程式を解いて特殊解出すだけ。

※ (1) のパターンは (2) のパターンに指数関数  1^n が入っているものとして考えてもOKです。

 

4.練習

ということで1問だけですが練習してみましょう。

問題

次の差分方程式の一般解と与えられた初項による特殊解を求めなさい。

\[ a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = 6 \cdot 2^n , \ a_0 = 1, \ a_1 = 8 \]

 

解答

まずは a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = 0 の場合(同次式)の特性方程式を解いて、同次解を求めます。特性方程式は  x^2-4x+4=(x-2)^2 = 0 より、解は2の2重解となり、同次解は

\[ a_n = (An + B) \cdot 2^n \]

となります。今回は2の2重解なので特殊解を  a_n = an^2 \cdot 2^n と置きます。

 a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} \\= an^2 \cdot 2^n - 4a(n-1)^2 \cdot 2^{n-1} + 4a(n-2)^2 \cdot 2^{n-2} \\= 4an^2 \cdot 2^{n-2} - 8a(n-1)^2 \cdot 2^{n-2} + 4a(n-2)^2 \cdot 2^{n-2} \\ =  8a \cdot 2^{n-2} \\ = 24 \cdot 2^{n-2} = 6 \cdot 2^n

となる。よって  a = 3 となり、特殊解が  a_n = 3n^2 \cdot 2^n となるので一般解は

\[a_n = (An + B) \cdot 2^n + 3n^2 \cdot 2^n \]

 と求めることができる。また、

 n = 0 のとき、 \ \ \ \ \ \  B = a_0 = 1
 n = 1 のとき、 2A + 2B + 6 = a_1 = 8

となるので、、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = 1 \ \ \cdots (1) \\ 2A + 2B = 2 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

の連立方程式を解けばよい。解いた結果、 A = 0, B = 1 となり、特殊解は

\[ (2^n + 3n^2 \cdot 2^n = (1 + 3n^2) \cdot 2^n\]

となる。

5.さいごに

今回は右辺が0ではないパターンの差分方程式(漸化式)についてまとめてみました。
この記事を見て差分方程式の解き方がわかるようになったら非常にありがたいです。