うさぎでもわかる解析(高校数学・数3) Part08 倍角の公式・和積の公式を用いた三角関数の積分

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こんにちは、ももやまです。
またまた数3(解析学)の記事の紹介です。

 

今回は、倍角の公式・和積の公式を用いた三角関数の積分テクニックについてまとめました。

 

 

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1.三角関数の加法定理

皆さんは三角関数の加法定理を覚えていますか。

覚えてない人はすぐ思い出しましょう!!

 

(復習)三角関数の加法定理

積分で使う三角関数の加法定理はこの4つ!!

符号に気をつけよう!!(とくに cos の加法定理) 

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(αβ)=sinαcosβcosαsinβcos(α+β)=cosαcosβsinαsinβcos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβとなる。

この公式は、他の三角関数の公式を導く上で必要なものとなるので必ず覚えて置きましょう。

(語呂合わせとかで覚える人が多いです。「幸子小林小林幸子……」のように…)

 

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2.倍角の公式を用いた積分

cos の倍角の公式を使うことで、sincos の2乗(3乗)を外してあげることができます。

倍角の公式を忘れてしまった場合は、cos(α+β) の加法定理の α, β それぞれに x を代入し、導きましょう。

導いた後は、cos2xsin2x から、不要なほうを sin2x+cos2x=1 を用いて消去し、変形を行いましょう。

例えば、sin2x がほしければ、

cos2xsin2x(sin2x+cos2x1)=12sin2xと変形すれば導出ができます。

cos2x がほしければ、

cos2xsin2x+(sin2x+cos2x1)=2cos2x1と変形すれば導出ができます。

 

倍角の公式

cos の倍角の公式は、

cos2x=cos2xsin2x=2cos2x1=12sin2xとなるので、変形してsin2x=12(1cos2x)cos2x=12(1+cos2x)となる。

 

例題1

不定積分sin2x dx を求めなさい。 

解説1

sin2x の2乗が邪魔なので倍角の公式を適応する。

すると、sin2x dx=121cos2x dx=12(x12sin2x)+C=14(2xsin2x)+Cと計算できます。

 

同様に cosx の場合も練習してみましょう。

今回は練習問題を間に挟んでいくスタイルでやってみます。

 

 

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3.積和の公式を用いた積分

積分では、和の形のものは簡単に分解することができますが、積の形のものは簡単に分解することができません(部分積分が必要)。

そこで、三角関数が積で表された積分については、積和の公式で和の形にしてあげることで簡単に計算をすることができます。

 

積和の公式はあまり使用頻度が高くないので忘れてしまっているかもしれません。

できれば覚えてほしいですが、最低限導出過程だけは頭に入れておきましょう。

 

導出過程を下に示します。

積和公式の導出過程

sinαsinβ から和へ

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sinαcosβ から和へ

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cosαcosβ から和へ

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積和の公式

それぞれの積和の公式は、sinαsinβ=12(cos(αβ))(cos(α+β))cosαcosβ=12(cos(αβ))+(cos(α+β))sinαcosβ=12(sin(αβ))+(sin(α+β))となる。

sin 同士、cos 同士の積和の公式では α>β にしておいたほうが中身がマイナスにならないので少しいいかも。

例題2

不定積分sin5xcos3x dx を求めなさい。 

解説2

三角関数の積の形を和の形にしてあげるために積和の公式を適用する。sin5xcos3x dx=12sin(5x3x)+sin(5x+3x) dx=12sin2x+sin8x dx=12(12(cos2x)+18(cos8x))+C=14cos2x116cos8x+Cとなる。

 

 

 4.練習問題

では練習してみましょう!

練習1

不定積分cos2x dx を求めなさい。

 

練習2

不定積分sin3xsin2x dx を求めなさい。 

 

練習3

不定積分cos2xcos5x dx を求めなさい。 

 

練習4

不定積分sin3x dx を求めたい。

(1) sin3x を、sinx, sin3x を用いて表しなさい。
(2) 不定積分を計算しなさい。

 

練習5

不定積分cos3x dx を求めたい。

(1) cos3x を、cosx, cos3x を用いて表しなさい。
(2) 不定積分を計算しなさい。

  

5.練習問題の答え

解答1

cos2x の2乗が邪魔なので例題1と同じように倍角の公式を適応する。

すると、cos2x dx=121+cos2x dx=12(x+12sin2x)+C=14(2x+sin2x)+Cと計算できます。

 

解答2

和積の公式で和に直す。sin3xsin2x dx=12(cos(3x2x)cos(3x+2x)) dx=12(cosxcos5x) dx=12(sinx15sin5x)+C=12sinx110sin5x+C

 

解説3

和積の公式で和に直すが、このままだと cos の中身が負になるので、前後を入れ替えてあげるとややこしい計算がなくなる。

cos2xcos5x dx=cos5xcos2x dx=12cos(5x2x)+cos(5x+2x) dx=12cos3x+cos7x dx=12(13sin3x+17sin7x)+C=16sin3x+114sin7x+C

 

解説4

(1)

3倍角の公式は2倍角の公式と加法定理から示すことができる。sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcosxcosx+(12sin2x))sinx=2sinxcos2x+sinx2sin3x=2sinx(1sin2x)+sinx2sin3x=2sinxsin3x+sinx2sin3x=3sinx4sin3xより、sin3x=14(3sinxsin3x)となる。

(2)

(1)の計算結果を使って計算をする。sin3x dx=143sinxsin3x dx=14(3cosx+13cos3x)+C=34cosx+112cos3x+C

 

(2)の別解(完全誘導無視)

sin3x dx=sin2xsinx dx=(1cos2x)sinx dxとしてから、cosx=t とおく。すると、sinxdx=dt より、dx=1sinxdt となる。(1cos2x)sinx dx=(1t2)sinx(1sinx) dt=t21 dt=13t3t+C=13cos3xcosx+Cと計算できる(形が全然違うけど実は同じ答え)。

 

解説5

(1)

加法定理と倍角の定理を使って計算をすればよい。cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx+sin2xsinx=(2cos2x1)cosx2sinxcosxsinx=2cos3xcosx2sin2xcosx=2cos3xcosx2(1cos2x)cosx=2cos3xcosx+2cos3x2cosx=4cos3x3cosxより、cos3x=14(3cosx+cos3x)となる。

 

(2)

(1)の計算結果を使って計算をする。cos3x dx=143cosx+cos3x dx=14(3sinx+13sin3x)+C=34sinx+112sin3x+Cとなる。

 

(2)の別解(完全誘導無視)

cos3x dx=cos2xcosx dx=(1sin2x)cosx dxとしてから、sinx=t とおく。すると、cosxdx=dt より、dx=1cosxdt となる。(1sin2x)cosx dx=(1t2)cosx(1cosx) dt=1t2 dt=t13t3+C=sinx13sin3x+Cと計算できる(やはり形が全然違うけど実は同じ答え)。

 

3倍角の公式も下にまとめておきます。

 

 

3倍角の公式

sin3x, cos3x それぞれの3倍角の公式は、sin3x=3sinx4sin3xcos3x=4cos3x3cosxとなる。

変形をすると、sin3x=14(3sinxsin3x)cos3x=14(3cosx+cos3x)となる。

 

6.さいごに

今回は倍角の公式・積和の公式を用いた三角関数の積分テクニックについてまとめました。

加法定理を忘れてしまっている人は頭の中に必ず叩き込んでおきましょう。

また、倍角の公式・積和の公式の導出過程もちゃんと理解しておきましょう!!

 

主にこの積分は数3ではもちろんのこと、解析学でもよく使われます。

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