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こんにちは、ももやまです。
またまた数3(解析学)の記事の紹介です。
今回は、倍角の公式・和積の公式を用いた三角関数の積分テクニックについてまとめました。
目次 [hide]
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1.三角関数の加法定理
皆さんは三角関数の加法定理を覚えていますか。
覚えてない人はすぐ思い出しましょう!!
積分で使う三角関数の加法定理はこの4つ!!
符号に気をつけよう!!(とくに
この公式は、他の三角関数の公式を導く上で必要なものとなるので必ず覚えて置きましょう。
(語呂合わせとかで覚える人が多いです。「幸子小林小林幸子……」のように…)
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2.倍角の公式を用いた積分
倍角の公式を忘れてしまった場合は、
導いた後は、
例えば、
例題1
不定積分
解説1
すると、
同様に
今回は練習問題を間に挟んでいくスタイルでやってみます。
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3.積和の公式を用いた積分
積分では、和の形のものは簡単に分解することができますが、積の形のものは簡単に分解することができません(部分積分が必要)。
そこで、三角関数が積で表された積分については、積和の公式で和の形にしてあげることで簡単に計算をすることができます。
積和の公式はあまり使用頻度が高くないので忘れてしまっているかもしれません。
できれば覚えてほしいですが、最低限導出過程だけは頭に入れておきましょう。
導出過程を下に示します。
積和公式の導出過程
それぞれの積和の公式は、
例題2
不定積分
解説2
三角関数の積の形を和の形にしてあげるために積和の公式を適用する。
4.練習問題
では練習してみましょう!
練習1
不定積分
練習2
不定積分
練習3
不定積分
練習4
不定積分
(1)
(2) 不定積分を計算しなさい。
練習5
不定積分
(1)
(2) 不定積分を計算しなさい。
5.練習問題の答え
解答1
すると、
解答2
和積の公式で和に直す。
解説3
和積の公式で和に直すが、このままだと
解説4
(1)
3倍角の公式は2倍角の公式と加法定理から示すことができる。
(2)
(1)の計算結果を使って計算をする。
(2)の別解(完全誘導無視)
解説5
(1)
加法定理と倍角の定理を使って計算をすればよい。
(2)
(1)の計算結果を使って計算をする。
(2)の別解(完全誘導無視)
3倍角の公式も下にまとめておきます。
変形をすると、
6.さいごに
今回は倍角の公式・積和の公式を用いた三角関数の積分テクニックについてまとめました。
加法定理を忘れてしまっている人は頭の中に必ず叩き込んでおきましょう。
また、倍角の公式・積和の公式の導出過程もちゃんと理解しておきましょう!!
主にこの積分は数3ではもちろんのこと、解析学でもよく使われます。
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