うさぎでもわかる解析　Part15　合成関数の偏微分

こんにちは、ももやまです。

今回は合成関数の偏微分についてまとめていきたいと思います。

前回の記事（Part14　偏微分）はこちら！
（偏微分がよくわかっていない人はこちらで復習をしてからご覧になるのをおすすめします。）

www.momoyama-usagi.com

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１．1変数関数と2変数関数における合成関数の偏微分公式

1変数関数同士ののバージョンの合成関数の微分公式\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}  \frac{du}{dx}
\]は数3、もしくは解析学などで習いましたね。

この1変数関数の合成関数を拡張し、2変数関数と1変数関数が混ざってても適用できるようにしたのが2変数関数 \( f(x,y) \) における合成関数の偏微分公式となります。

上の公式は、連鎖律(chain rule)とも呼ばれます。

覚え方としては、2変数関数 \( f(x,y) \) の \( x, y \) それぞれの \( t \) の微分を求め、それらをすべて足すと覚えておくといいと思います。

では、1問例題を解いてみましょう。

例題1

\( f(x,y) = x^3 + y^3 \) とする。\( x = \cos 2t \), \( y = \cos t \) のときの \( \frac{df}{dt} \) を求めなさい。

解説1

まずは \( f(x,y) \) の偏導関数を求める。\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x} = 3y^2
\]となる。また、\[
\frac{dx}{dt} = - 2 \sin 2t \ \ \ \frac{dy}{dt} = - \sin t
\]なので、\[\begin{align*}
\frac{df}{dt} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{dy}{dt}
\\ & = 3x^2 \cdot ( - 2 \sin 2t ) + 3y^2 ( - \sin t )
\\ & = -6 \cos^2 2t \sin 2t - 3 \cos^2 t \sin t
\end{align*} \]となる。

（最後に \( x = \cos 2t \), \( y = \cos t \) を代入して \( t \) だけのに変形するのを忘れずに）

※実際に \( x = \cos 2t \), \( y = \cos t \) を代入してから \( t \) で微分しても同じ結果が得られます。

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２．2変数関数同士の合成関数の偏微分公式

2変数関数同士の場合の合成関数 \( f(x,y) \) の偏微分公式も紹介したいとおもいます。

先ほどの1変数関数と2変数関数における偏微分公式をさらに拡張したものとなります。

こちらの公式も連鎖律(chain rule)と呼ばれます。（2変数の連鎖律）

覚え方としては、1変数関数＋2変数関数の合成関数の例と同じようにと2変数関数 \( f(x,y) \) における \( x, y \) それぞれの \( u \) の微分（もしくは \( v \) の微分）を求め、それらをすべて足すと覚えておくといいと思います。

2変数の連鎖律を適用させる問題も例題で1問練習してみましょう。

例題2

\( f(x,y) = \log (x^2 + y^2) \) とする。\( x = u + v \), \( y = u - v \) のときの \( \frac{df}{du} \), \( \frac{df}{dv} \) を求め、\( u,v \) の形で表しなさい。

解説2

まずは \( f(x,y) \) の偏導関数を求める。\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2+y^2} , \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^2+y^2}
\]となる。

ここで、\[
\frac{\partial x}{\partial u} = 1 \ \ \ \frac{\partial x}{\partial v} = 1 \]\[
\frac{\partial y}{\partial u} = 1 \ \ \ \frac{\partial y}{\partial v} = -1
\]なので、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial u} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial y}{\partial u}
\\ & = \frac{2x}{x^2+y^2} \cdot 1 + \frac{2y}{x^2+y^2} \cdot 1
\\ & = \frac{2(x+y)}{x^2+y^2}
\end{align*} \] \[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial v} & = \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial y}{\partial v}
\\ & = \frac{2x}{x^2+y^2} \cdot 1 + \frac{2y}{x^2+y^2} \cdot (-1)
\\ & = \frac{2(x-y)}{x^2+y^2}
\end{align*} \]と求められる。

ここで、\[
x^2 + y^2 = (u+v)^2 + (u-v)^2 = 2(u^2 + v^2) \]\[
x+y = 2u , \ \ \ x-y = 2v
\]なので、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial u} & = \frac{2(x+y)}{x^2+y^2}
\\ & = \frac{4u}{2(u^2 + v^2)}
\\ & = \frac{2u}{u^2 + v^2}
\end{align*} \] \[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial v} & = \frac{2(x-y)}{x^2+y^2}
\\ & = \frac{4v}{2(u^2 + v^2)}
\\ & = \frac{2v}{u^2 + v^2}
\end{align*} \]と求められる。

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３．2変数関数同士の合成関数の2回偏微分（参考）

先ほどは1回偏微分の合成関数の公式を紹介しましたね。

では合成関数の2回偏微分はどんな数式で表されるのでしょう。

一応紹介だけしておきます。\[
\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 x}{\partial u^2} + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}  \frac{\partial y}{\partial u} +  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{\partial^2 y}{\partial u^2} +  \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial^2 x}{\partial u^2} +  \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 y}{\partial u^2} \]

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \left( \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \right) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial^2 x}{\partial v \partial u} +  \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 y}{\partial v \partial u} \]

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial v^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 x}{\partial v^2} + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \frac{\partial x}{\partial v}  \frac{\partial y}{\partial v} +  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{\partial^2 y}{\partial v^2} +  \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial^2 x}{\partial v^2} +  \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 y}{\partial v^2}
\]別に覚えなくてOKです。
（\( v \) の2回微分は \( u \) の2回微分の式の \( u \) をすべて \( v \) に直しただけです。）

証明を書こうと思ったのですが想像以上に長かったのであきらめました……()

４．練習

では3問ほど練習してみましょう！

練習1　1変数関数と2変数関数における合成関数の偏微分

\( f(x,y) = 2 x^3 y^2 \) とする。

\( x = e^{2t} \), \( y = e^{-t} \) のときの \( \frac{df}{dt} \) を求め、\( t \) の形で表しなさい。

練習2　2変数関数同士の合成関数の偏微分

\[f(x,y) = \frac{2xy}{x+y} \] とする。

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) のときの \[\frac{\partial f}{\partial u} , \ \frac{\partial f}{\partial v} \] を求め、\( u,v \) の形で表しなさい。

練習3　合成関数の偏微分の応用

\[ f(x,y) = e^{\sin xy + \cos (x+y)} \]の偏導関数 \( \frac{\partial f}{\partial x} \), \( \frac{\partial f}{\partial y} \) を \( u = xy \), \( v = x+y \) と置換することで求めなさい。

５．練習問題の答え

解答1

\( f(x,y) \) の偏導関数は、\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x^2 y^2 \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^3 y
\]となる。また、\[
\frac{dx}{dt} = 2 e^{2t} \ \ \ \frac{dy}{dt} = - e^{-t}
\]なので、\[\begin{align*}
\frac{df}{dt} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{dy}{dt}
\\ & = 6 x^2 y^2 \cdot 2 e^{2t} + 4x^3 y \cdot ( -e^{-t} )
\\ & = 12 e^{4t} e^{-2t} e^{2t} - 4 e^{6t} e^{-t} e^{-t}
\\ & = 12 e^{4t} - 4e^{4t}
\\ & = 8 e^{4t}
\end{align*} \]と求められる。

解答2

まずは \( f(x,y) \) の偏導関数を求める。\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} & = \frac{2y \cdot (x+y) - 2xy \cdot  1}{(x+y)^2}
\\ & = \frac{2y^2}{(x+y)^2}
\end{align*}
\] \[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{2x \cdot (x+y) - 2xy \cdot  1}{(x+y)^2}
\\ & = \frac{2x^2}{(x+y)^2}
\end{align*}
\]となる。

ここで、上の2つを \( r \), \( \theta \) で表すと、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} & = \frac{2 r^2 \sin^2 \theta}{(r \cos \theta + r \sin \theta)^2}
\\ & = \frac{2 r^2 \sin^2 \theta}{r^2 ( \cos \theta + r \sin \theta)^2 }
\\ & = \frac{2 \sin^2 \theta}{ ( \cos \theta + r \sin \theta)^2 }
\end{align*}
\] \[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{2 r^2 \cos^2 \theta}{(r \cos \theta + r \sin \theta)^2}
\\ & = \frac{2 r^2 \cos^2 \theta}{r^2 ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 }
\\ & = \frac{2 \cos^2 \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 }
\end{align*}
\]と求められる。

また、\[
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta \ \ \ \frac{\partial x}{\partial \theta} = - r \sin \theta \]\[
\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta \ \ \ \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta
\]となるので、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial r} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial y}{\partial r}
\\ & = \frac{2 \sin^2 \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 } \cdot \cos \theta + \frac{2 \cos^2 \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 } \cdot \sin \theta
\\ & = \frac{2 \sin^2 \cos \theta + 2 \cos^2 \theta \sin \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 }
\\ & = \frac{2 \sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{ ( \cos \theta + \sin \theta)^2 }
\\ & = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ \cos \theta + \sin \theta }
\\ & = \frac{\sin 2 \theta }{ \cos \theta +  \sin \theta }
\end{align*} \]  \[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial \theta} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial y}{\partial\theta}
\\ & = \frac{2 \sin^2 \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 } \cdot (- r \sin \theta) + \frac{2 \cos^2 \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 } \cdot ( r \cos \theta)
\\ & = \frac{-2r \sin^3 \theta + 2 r \cos^3 \theta}{ ( \cos \theta +  \sin \theta)^2 }
\\ & = \frac{2r (\cos^3 \theta - \sin^3 \theta)}{ ( \cos \theta + \sin \theta)^2 }
\end{align*} \]と求められる。

解答3

\[ f(x,y) = e^{\sin xy + \cos (x+y)} = e^{\sin u + \cos v} \]と変形できる。

ここで、\[
\frac{\partial f}{\partial u} = \cos u \cdot e^{\sin u + \cos v} , \ \ \ \frac{\partial f}{\partial v} = - \sin v \cdot e^{\sin u + \cos v}
\]である。\( x,y \) の形で表すと、\[
\frac{\partial f}{\partial u} = \cos xy \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)} \ \ \ \frac{\partial f}{\partial v} = - \sin (x+y) \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)}
\]となる。

さらに、\[
\frac{\partial u}{\partial x} = y \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} = x \]\[
\frac{\partial v}{\partial x} = 1 \ \ \ \frac{\partial v}{\partial y} = 1
\]なので、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} & = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{ \partial v} \frac{\partial v}{\partial x}
\\ & = \cos xy \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)} \cdot y - \sin (x+y) \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)} \cdot 1
\\ & = y \cos xy \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)} - 1 \sin (x+y) \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)}
\\ & = \left\{ y \cos xy - \sin (x+y) \right\} e^{\sin xy + \cos (x+y)}
\end{align*} \]  \[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{ \partial v} \frac{\partial v}{\partial y}
\\ & = \cos xy \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)} \cdot x - \sin (x+y) \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)} \cdot 1
\\ & = x \cos xy \cdot  e^{\sin xy + \cos (x+y)} - 1 \sin (x+y) \cdot e^{\sin xy + \cos (x+y)}
\\ & = \left\{x \cos xy - \sin (x+y) \right\} e^{\sin xy + \cos (x+y)}
\end{align*} \] と求められる。

[※注意]

先ほどは 2変数関数 \( f(x,y) \) の \( \frac{\partial f}{\partial u} \), \( \frac{\partial f}{\partial v} \) を求める問題でしたが、今回は2変数関数 \( f(u,v) \) の \( \frac{\partial f}{\partial x} \), \( \frac{\partial f}{\partial y} \) を求める問題なので、連鎖律(chain rule)は\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{ \partial v }{ \partial x } \]\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{ \partial v }{ \partial y }
\]となるので要注意！

６．さいごに

今回は、合成関数の偏微分についてまとめました。

合成関数の連鎖律は分子分母でうまく \( dx \) などの形が相殺されているんだと考えると比較的簡単に理解する（覚える）ことができると思います。

また、複雑な関数を練習3のように \( u \), \( v \) とおいてから合成関数の計算を行うと比較的計算が楽にできるかもしれません。