今回が双曲線関数としては最終回となります。なので、もうひと踏ん張りです。

最終回となる今回は、逆双曲線関数（双曲線関数の逆関数）について勉強していきましょう。

過去の双曲線関数の記事の内容を読みたい方は、下のリンクをご覧ください。

[双曲線関数の1回目] 双曲線関数のいろは

うさぎでもわかる解析　補充編1-1　双曲線関数のいろは

こんにちは、ももやまです。 今回から3回に分けて双曲線関数についてみていきましょう。 双曲線関数の初回となる今回は、下の赤い

[双曲線関数の2回目] 双曲線関数の微分・積分、極限、マクローリン展開

(1) 双曲線の逆三角関数とは

三角関数の場合、逆関数（逆三角関数）を \( \sin^{-1} x \), \( \cos^{-1} x \), \( \tan^{-1} x \) のように-1乗表記で表すことができるのでしたね^[1] \( ( \sin x )^{-1} \) と間違えないために \( \arcsin x \), \( \arccos x \), \( \arctan x \) のように arc 表記で逆三角関数を表記することもあります。。

例えば、\( y = \sin^{-1} x \) は、\( x = \sin y \) と同じ式を表します。

同じように双曲線関数 \( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) の逆関数も、三角関数のときと同じように \( \sinh^{-1} x \), \( \cosh^{-1} x \), \( \tanh^{-1} x \) と-1乗表記で表現され、逆双曲線関数と呼ばれます。

表記例を見てみましょう。\[\begin{align*}
y = \sinh^{-1} x \ \ \ & \Leftrightarrow \ \ \ x = \sinh y \\
y = \cosh^{-1} x \ \ \ & \Leftrightarrow \ \ \ x = \cosh y \\
y = \tanh^{-1} x \ \ \ & \Leftrightarrow \ \ \ x = \tanh y
\end{align*}\]

※ \( ( \sinh x)^{-1} \) などと読み間違えを防ぐために \( \sinh^{-1} x \), \( \cosh^{-1} x \), \( \tanh^{-1} x \) を \( \arcsin x \), \( \arccos x \), \( \arctan x \) などと表記することもあります。

(2) 逆双曲線関数の定義域・値域

逆三角関数のときと同じように、逆双曲線関数でも定義域、値域の範囲を考える必要があります^[2]例えば \( \sinh^{-1} x \) であれば、\( x \) が取りうる値の範囲を定義域、\( \sinh^{-1} x \) が取りうる値の範囲が値域となります。。

そのために、まずは双曲線関数の定義域と値域を考えましょう。

まず双曲線関数の定義域ですが、これは\[\begin{align*}
\sinh x & = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{2} \\
\cosh x & = \frac{ e^{x} + e^{-x} }{2} \\
\tanh x & = \frac{ \sinh x }{ \cosh x }
\\ & = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
\end{align*}\]であることから、（実数範囲の）どのような \( x \) でも双曲線関数 \( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) の値が定義されることがわかりますね^[3]\( \tanh x \) は分母が0になる \( x \) がないかを確かめる必要がありますが、\( e^{x} + e^{-x} \) が0になることはないので \( \tanh x \) … Continue reading。

ただし、\( y = \cosh^{-1} x \), つまり \( x = \cosh y \) については \( y \geqq 0 \), \( y \leqq 0 \) で場合分けをしないと、\( y \) の値が1つに確定しません。

ここで、\( x = \cosh y \) のグラフを描写してみました。このグラフで「\( y \) の値が1つに確定しない例」を見てみましょう。

例えば、\( x = 6 \) の場合、\( x = \cosh y \) を満たす \( y \) は \( y \geqq 0 \) に1つ、\( y \leqq 0 \) に1つ、合計2つありますね。

そのため、\( \cosh^{-1} x \) だけは定義域を \( x \geqq 0 \) と制限します。制限することにより、\( x \) と対応する \( y \) の値を1つにすることができます。

つぎに、逆双曲線関数の値域はグラフを考えると非常にわかりやすいです。
（\( \sinh^{-1} x \) がピンク色、 \( \cosh^{-1} x \) が水色、\( \tanh^{-1} x \) が緑色です。）

グラフより、\( \sinh x \) の値域は実数範囲すべて、\( \cosh x \), \( \tanh x \) の値域はそれぞれ\[
1 \leqq \cosh x
\]\[
-1 < \tanh x < 1
\]となることがわかります。

よって、逆双曲線関数\[\begin{align*}
y = \sinh^{-1} x \ \ \ & \Leftrightarrow \ \ \ x = \sinh y \\
y = \cosh^{-1} x \ \ \ & \Leftrightarrow \ \ \ x = \cosh y \\
y = \tanh^{-1} x \ \ \ & \Leftrightarrow \ \ \ x = \tanh y
\end{align*}\]の定義域、値域は下の表の通りになります。

(3) 逆双曲線関数の書き換え

つぎに、逆双曲線関数 \( \sinh^{-1} x \), \( \cosh^{-1} x \), \( \tanh^{-1} x \) を皆さんが知っている他の関数で書きかえてみましょう。

\( \sinh^{-1} x \) の書き換え

\( y = \sinh^{-1} x \) とおきましょう。

すると、\( x = \sinh y \) となりますね。つまり、\[\begin{align*}
x & = \sinh y
\\ & = \frac{ e^y - e^{-y} }{2}
\end{align*}\]となります。

この式を、\[\begin{align*}
x & = \frac{e^y - e^{-y}}{2} \\
2e^{y} \cdot x & = 2e^{y} \cdot \frac{e^y - e^{-y}}{2} \\
2 x e^{y} & = e^{2y} - 1 \\
e^{2y} - 2x e^{y} + 1 & = 0
\end{align*}\]としたうえで、\( t = e^y \) とおきます。
（ \( t > 0 \) に注意 ）

すると、\[
t^2 - 2x t + 1 = 0
\]となり、\( t \) に関する2次方程式になりますね。
（ \( x \) は2次方程式を解き終わるまで定数だと思ってください）

あとはこれを解の公式^[4]連立方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) の解を\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac} }{2a}
\]と機械的に求められる公式。で解くことで\[
t = x \pm \sqrt{x^2 + 1}
\]と求められますね。さらに \( t > 0 \) より、\[\begin{align*}
t & = x + \sqrt{x^2 + 1} \\
e^y & = x + \sqrt{x^2 + 1} \\
y & = \log (x + \sqrt{x^2 + 1} )
\end{align*}\]となるため、\[\begin{align*}
y & = \sinh^{-1} x
\\ & = \log (x + \sqrt{x^2 + 1} )
\end{align*}\]と書き変えることができます。

\( \cosh^{-1} x \) の書き換え

※ 基本的な導出手順は \( \sinh^{-1} \) のときと同じですが、\( \cosh^{-1} x \) の定義域が \( x \geqq 1 \)、値域が \( y \geqq 0 \) であることに注意しましょう。

\( y = \cosh^{-1} x \) とおくと、\( x = \cosh y \) となりますね。

つまり、\[\begin{align*}
x & = \cosh y
\\ & = \frac{ e^y + e^{-y} }{2}
\end{align*}\]と変形できますね。

この式を、\[\begin{align*}
x & = \frac{e^y + e^{-y}}{2} \\
2e^{y} \cdot x & = 2e^{y} \cdot \frac{e^y + e^{-y}}{2} \\
2 x e^{y} & = e^{2y} + 1 \\
e^{2y} + 2x e^{y} + 1 & = 0
\end{align*}\]としたうえで、\( t = e^y \) とおきます。
（ \( y \geqq 0 \) より、\( t \geqq 1 \) である。）

すると、\[
t^2 + 2x t + 1 = 0
\]となり、\( t \) に関する2次方程式になりますね。
（ \( x \) は2次方程式を解き終わるまでは定数）

あとはこれを解の公式で解くことで\[
t = x \pm \sqrt{x^2 - 1}
\]と求められますね。

ここで、\( x - \sqrt{x^2 - 1 } \) が解であると仮定しましょう。すると、\[\begin{align*}
x - \sqrt{x^2 - 1} & \geqq 1 \\
x - 1 & \geqq \sqrt{x^2 - 1 } \\
(x-1)^2 & \geqq x^2 - 1 \\
x^2 - 2x + 1 & \geqq x^2 - 1 \\
-2x & \geqq -2 \\
x & \leqq 1
\end{align*}\]となり、\( x \leqq 1 \) を満たしている必要がありますね。

しかし、\( x \leqq 1 \) の場合、\( x = 1 \) のときを除き、定義域 \( x \geqq 1 \) を満たしておりません^[5]\( x = 1 \) のときも、最後に \( \log 0 \) が出てきてしまうため、どっちにしろ \( x - \sqrt{x^2 - 1 } \) は解になりえません。。そのため、\( x - \sqrt{x^2 - 1} \) は解ではありません。（仮定が誤り）

したがって、\( t = x + \sqrt{x^2 - 1} \) となり、\[\begin{align*}
t & = x + \sqrt{x^2 - 1} \\
e^y & = x + \sqrt{x^2 - 1} \\
y & = \log (x + \sqrt{x^2 - 1} )
\end{align*}\]となるため、\[\begin{align*}
y & = \cosh^{-1} x
\\ & = \log (x + \sqrt{x^2 - 1} )
\end{align*}\]と書き変えることができます。

\( \tanh^{-1} x \) の書き換え

\( y = \tanh^{-1} x \) とおくと、\( x = \tanh y \) となりますね。

つまり、\[\begin{align*}
x & = \tanh y
\\ & = \frac{ e^y - e^{-y} }{e^y + e^{-y}}
\\ & = \frac{ e^{2y} - 1 }{ e^{2y} + 1 }
\end{align*}\]と変形できますね。

この式を、\[\begin{align*}
x & =\frac{ e^{2y} - 1 }{ e^{2y} + 1 } \\
(e^{2y} + 1)x & = e^{2y} - 1\\
e^{2y} x - e^{2y} & = -1 - x \ \ \ (e^{2y} \ \mathrm{の項を左辺、それ以外を右辺に}) \\
(x - 1) e^{2y} & = -1 - x \\
e^{2y} & = \frac{-1 - x}{x - 1 }
\\ & = \frac{1+x}{1-x}
\end{align*}\]となりますね。

よって、\[\begin{align*}
2y & = \log \frac{1+x}{1-x} \\
y & = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}
\end{align*}\]となり、\[\begin{align*}
y & = \tanh^{-1} x
\\ & = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}
\end{align*}\]を導出することができます。

(4) 実際に例題を解いてみよう

それでは、実際に例題を解くことで逆双曲線関数に慣れていきましょう。

[解説1]

(1)

\[
\sinh x = \log \left( x + \sqrt{ x^2 + 1 } \right)
\]で \( \log \) の形に直す。

\[\begin{align*}
\sinh 3 & = \log \left( 3 + \sqrt{ 3^2 + 1 } \right)
\\ & = \log \left( \textcolor{red}{3 + \sqrt{10}} \right)
\end{align*}\]※ 赤色の部分が [　　] となる。

(2)

\[
\cosh x = \log \left( x + \sqrt{ x^2 - 1 } \right)
\]で \( \log \) の形に直す。

\[\begin{align*}
\cosh 3 & = \log \left( 3 + \sqrt{ 3^2 - 1 } \right)
\\ & = \log \left( 3 + \sqrt{8} \right)
\\ & = \log \left( \textcolor{red}{3 + 2 \sqrt{2}} \right)
\end{align*}\]※ 赤色の部分が [　　] となる。

(3)

\[
\tanh x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}
\]で \( \log \) の形に直す。

\[\begin{align*}
\tanh 3 & = \frac{1}{2} \log \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}
\\ & = \frac{1}{2} \log \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}
\\ & = \frac{1}{2} \log 3
\\ & = \log \textcolor{red}{ \sqrt{3} }
\end{align*}\]※ 赤色の部分が [　　] となる。

2. 逆双曲線関数の微分

それでは、逆双曲線関数の微分公式を見ていきましょう。

（逆三角関数と比較も載せています。）

(1) 逆双曲線関数の微分公式

(2) 公式の導出

\( \sinh^{-1} f(x) \) の導出

まずは、\( \sinh^{-1} x \) の微分を求める。

\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x & = \frac{d}{dx} \log \left( x + \sqrt{ x^2 + 1 } \right)
\\ & = \frac{1 + \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } }{x + \sqrt{ x^2 + 1 }}
\\ & = \frac{\frac{x + \sqrt{x^2 + 1} }{ \sqrt{x^2+1} } }{x + \sqrt{ x^2 + 1 }}
\\ & = \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }
\end{align*}\]

つぎに \( \sinh^{-1} f(x) \) の微分を求めるために、\( t = f(x) \) とおく。

すると、\( y = \sinh^{-1} t \) となり、\[
\frac{dt}{dx} = f'(x) , \ \ \ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{ \sqrt{t^2 + 1} }
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sinh^{-1} f(x) & = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = f'(x) \cdot \frac{1}{ \sqrt{t^2 + 1} }
\\ & = \frac{f'(x)}{ \sqrt{ t^2 + 1 } }
\\ & = \frac{f'(x)}{ \sqrt{ \left\{ f(x) \right\}^2 + 1 } }
\end{align*}\]と求められる。

\( \cosh^{-1} f(x) \) の導出

\( \sinh^{-1} x \) のときと同じく、まずは、\( \cosh^{-1} x \) の微分を求める。

\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \cosh^{-1} x & = \frac{d}{dx} \log \left( x + \sqrt{ x^2 - 1 } \right)
\\ & = \frac{1 + \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{1}{ \sqrt{x^2-1} } }{x + \sqrt{ x^2 - 1 }}
\\ & = \frac{\frac{x + \sqrt{x^2 - 1} }{ \sqrt{x^2-1} } }{x + \sqrt{ x^2 - 1 }}
\\ & = \frac{1}{ \sqrt{x^2-1} }
\end{align*}\]※符号以外は計算過程は \( \sinh^{-1} x \) のときと全く同じ

つぎに \( \cosh^{-1} f(x) \) の微分を求めるために、\( t = f(x) \) とおく。

すると、\( y = \cosh^{-1} t \) となり、\[
\frac{dt}{dx} = f'(x) , \ \ \ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{ \sqrt{t^2 - 1} }
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \cosh^{-1} f(x) & = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = f'(x) \cdot \frac{1}{ \sqrt{t^2 - 1} }
\\ & = \frac{f'(x)}{ \sqrt{ t^2 - 1 } }
\\ & = \frac{f'(x)}{ \sqrt{ \left\{ f(x) \right\}^2 - 1 } }
\end{align*}\]と求められる。

\( \tanh^{-1} f(x) \) の導出

今までと同じように \( \tanh^{-1} x \) の微分を求める。

\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \tanh^{-1} x & = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}
\\ & = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} \log (1+x) - \frac{1}{2} \log (1-x)
\\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{1-x}
\\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x) + (1+x)}{(1+x)(1-x)}
\\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1-x^2}
\\ & = \frac{1}{1-x^2}
\end{align*}\]

つぎに \( \tanh^{-1} f(x) \) の微分を求めるために、\( t = f(x) \) とおく。
（ここからは \( \sinh^{-1} x \), \( \cosh^{-1} x \) と同じ流れ）

すると、\( y = \tanh^{-1} t \) となり、\[
\frac{dt}{dx} = f'(x) , \ \ \ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{ 1 - t^2 }
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \tanh^{-1} f(x) & = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = f'(x) \cdot \frac{1}{ \sqrt{1 - t^2} }
\\ & = \frac{f'(x)}{ \sqrt{1 - t^2} }
\\ & = \frac{f'(x)}{ \sqrt{1 - \left\{ f(x) \right\}^2} }
\end{align*}\]と求められる。

(3) 例題で実際に計算してみよう

それでは、実際に例題で実際に計算練習をしてみましょう。

[解説2]

(1)

公式\[
\frac{d}{dx} \tanh^{-1} g(x) = \frac{g'(x)}{1- \left\{ g(x) \right\}^2}
\]に、\( f(x) = 3x \) を代入すればOK。
（問題文の \( f(x) \) と紛らわしくなるので、公式内は \( g(x) \) で表記しています。）

ここで、\( g'(x) = 3 \) なので、\[\begin{align*}
f(x) & = \tanh^{-1} 3x
\\ & = \frac{3}{1- \left( 3x \right)^2}
\\ & = \frac{3}{1 - 9x^2}
\end{align*}\]と計算できる。

(2)

公式\[
\frac{d}{dx} \sinh^{-1} g(x) = \frac{g'(x)}{ \sqrt{ \left\{ g(x) \right\}^2 + 1} }
\]に \( f(x) = x^2 \) を代入すればOK。
（問題文の \( f(x) \) と紛らわしくなるので、公式内は \( g(x) \) で表記しています。）

ここで、\( g'(x) = 2x \) なので、\[\begin{align*}
f'(x) & = \sinh^{-1} x^2
\\ & = \frac{2x}{ \sqrt{ \left( x^2 \right)^2 + 1 } }
\\ & = \frac{2x}{ \sqrt{ x^4 + 1 } }
\end{align*}\]と計算できる。

3. 逆双曲線関数の積分

(1) 積分すると逆双曲線関数になる関数

2章「逆双曲線関数の微分」の公式から、逆双曲線関数を使うことで、高校数学では非常に難しい積分であった\[
\int \frac{1}{ \sqrt{x^2 + a^2} } \ dx , \ \ \ \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - a^2} } \ dx
\]を瞬時に計算できるようになります。

[導出]

微分公式\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x & = \frac{1}{ \sqrt{x^2 + 1} } \\
\frac{d}{dx} \cosh^{-1} x & = \frac{1}{ \sqrt{x^2 - 1} } \\
\frac{d}{dx} \tanh^{-1} x & = \frac{1}{1-x^2}
\end{align*}\]より、積分定数 \( C \) を用いた次の2つの式も成立する。\[\begin{align*}
\int \frac{1}{ \sqrt{x^2 + 1} } \ dx & = \sinh^{-1} x + C
\\ & = \log \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right) \\
\int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - 1 } } \ dx & = \cosh^{-1} x + C
\\ & = \log \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right) \\
\int \frac{1}{1-x^2} \ dx & = \tanh^{-1} x + C
\\ & = \log \frac{1+x}{1-x}
\end{align*}\]

ここで、\( x = ay \), つまり \( y = \frac{x}{a} \) とおく。すると、\( dx = a \ dy \) が成立する。

よって、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{ \sqrt{x^2 + a^2} } \ dx & = \int \frac{1}{ \sqrt{(ax)^2 + a^2} } \cdot a \ dy
\\ & = \int \frac{a}{ \sqrt{ a^2 (x^2 + 1) } } \ dy
\\ & = \int \frac{a}{ a \sqrt{ x^2 + 1 } } \ dy
\\ & = \int \frac{1}{ \sqrt{ y^2 + 1 } } \ dy
\\ & = \sinh^{-1} y + C
\\ & = \sinh^{-1} \frac{x}{a} + C
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - a^2} } \ dx & = \int \frac{1}{ \sqrt{(ax)^2 - a^2} } \cdot a \ dy
\\ & = \int \frac{a}{ \sqrt{ a^2 (x^2 - 1) } } \ dy
\\ & = \int \frac{a}{ a \sqrt{ x^2 - 1 } } \ dy
\\ & = \int \frac{1}{ \sqrt{ y^2 - 1 } } \ dy
\\ & = \cosh^{-1} y + C
\\ & = \cosh^{-1} \frac{x}{a} + C
\end{align*}\] と導出できる。

\[\begin{align*}
\int \frac{a}{ a^2 - x^2 } \ dx & = \int \frac{a}{ a^2 - (ay)^2 } \cdot a \ dy
\\ & = \int \frac{a^2}{ a^2 (1 - y^2) } \ dy
\\ & = \int \frac{1}{ 1-y^2 } \ dy
\\ & = \tanh^{-1} y + C
\\ & = \tanh^{-1} \frac{x}{a} + C
\end{align*}\] と導出できる。

次に、計算結果を \( \log \) の形に変える。

\[\begin{align*}
\sinh^{-1} \frac{x}{a} + C & = \log \left( \frac{x}{a} + \sqrt{ \left( \frac{x}{a} \right)^2 + 1} \right) + C
\\ & = \log \left( \frac{ x }{ a } + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} + 1 } \right)
\\ & = \log \left( \frac{ x }{ a } + \frac{1}{a} \sqrt{a^2 \left( \frac{x^2}{a^2} + 1 \right) } \right) + C
\\ & = \log \left( \frac{ x }{ a } + \frac{1}{a} \sqrt{ x^2 + a^2 } \right) + C
\\ & = \log \frac{ x + \sqrt{x^2 + a^2} }{a} + C
\\ & = \log ( x + \sqrt{x^2 + a^2} ) - \underbrace{ \log a + C }_{ - C' \ \mathrm{とおく} }
\\ & = \log ( x + \sqrt{x^2 + a^2} ) + C'
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\cosh^{-1} \frac{x}{a} + C & = \log \left( \frac{x}{a} + \sqrt{ \left( \frac{x}{a} \right)^2 - 1} \right) + C
\\ & = \log \left( \frac{ x }{ a } + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} - 1 } \right)
\\ & = \log \left( \frac{ x }{ a } + \frac{1}{a} \sqrt{a^2 \left( \frac{x^2}{a^2} - 1 \right) } \right) + C
\\ & = \log \left( \frac{ x }{ a } + \frac{1}{a} \sqrt{ x^2 - a^2 } \right) + C
\\ & = \log \frac{ x + \sqrt{x^2 - a^2} }{a} + C
\\ & = \log ( x + \sqrt{x^2 - a^2} ) - \underbrace{ \log a + C }_{ - C' \ \mathrm{とおく} }
\\ & = \log ( x + \sqrt{x^2 - a^2} ) + C'
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\tanh^{-1} \frac{x}{a} + C & = \log \frac{1 + \frac{x}{a}}{1 - \frac{x}{a}} + C
\\ & = \log \frac{\frac{a+x}{a}}{\frac{a-x}{a}} + C
\\ & = \log \frac{a+x}{a-x} + C
\end{align*}\]※ 積分定数 \( C \) をおきなおしていないため、\( C' \) は出てこない。

よって、2つの積分定数 \( C \), \( C' \) を用いて積分公式\[\begin{align*}
\int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 + a^2} } \ dx & = \sinh^{-1} \frac{x}{a} + C
\\ & = \log \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) + C'
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\int \frac{1}{ \sqrt{ x^2 - a^2} } \ dx & = \cosh^{-1} \frac{x}{a} + C
\\ & = \log \left( x + \sqrt{x^2 - a^2} \right) + C'
\int \frac{a}{ a^2 - x^2 } \ dx & = \tanh^{-1} \frac{x}{a} + C
\\ & = \log \frac{a+x}{a-x} + C
\end{align*}\]を導出できる。

(2) \( \sqrt{ x^2 \pm a^2} \) の積分公式導出

逆双曲線関数は、高校数学最難関の公式\[\begin{align*}
\int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx & = \frac{1}{2} \left\{ x \sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \log \left( x + \sqrt{ x^2 + a^2 } \right) \right\} \\
\int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx & = \frac{1}{2} \left\{ x \sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \log \left( x + \sqrt{ x^2 - a^2 } \right) \right\}
\end{align*}\]と大きなつながりを持ちます^[7]厳密には、\( x + \sqrt{x^2 + a^2} \), \( x + \sqrt{x^2 - a^2} \) が負になる可能性があるので\[\begin{align*}\int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx & = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 + a^2} … Continue reading。

実際に導出することで確認していきましょう。

\( \sqrt{ x^2 + a^2 } \) の積分

\[\begin{align*}
\int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx & = x \sqrt{x^2 + a^2} - \int x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{ \sqrt{x^2 + a^2}}
\\ & = x \sqrt{x^2 + a^2} - \int \frac{x^2}{ \sqrt{ x^2 + a^2 } } \ dx
\\ & = x \sqrt{x^2 + a^2} - \int \frac{(x^2 + a^2) - a^2}{ \sqrt{ x^2 + a^2 } } \ dx
\\ & = x \sqrt{x^2 + a^2} - \left( \int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx - \int \frac{a^2}{ \sqrt{x^2 + a^2} } \ dx \right)
\\ & = x \sqrt{x^2 + a^2} - \int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx + a^2 \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 + a^2} } \ dx
\end{align*}\]となるので、積分定数 \( C \), \( C' \) を用いて\[\begin{align*}
2 \int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx & = x \sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 + a^2} } \ dx
\\ & = x \sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \sinh^{-1} \frac{x}{a} + C
\\ & = x \sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \log \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) + C'
\end{align*}\]の関係式が導ける。

最後に積分定数を \( C'' \), \( C''' \) とつけかえたら\[\begin{align*}
\int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx & = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \sinh^{-1} \frac{x}{a} \right) + C''
\\ & = \frac{1}{2} \left\{ x \sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \log \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) \right\} + C'''
\end{align*}\]となり、導出完了。

\( \sqrt{ x^2 - a^2 } \) の積分

\[\begin{align*}
\int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx & = x \sqrt{x^2 - a^2} - \int x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{ \sqrt{x^2 - a^2}}
\\ & = x \sqrt{x^2 - a^2} - \int \frac{x^2}{ \sqrt{ x^2 - a^2 } } \ dx
\\ & = x \sqrt{x^2 - a^2} - \int \frac{(x^2 - a^2) + a^2}{ \sqrt{ x^2 - a^2 } } \ dx
\\ & = x \sqrt{x^2 - a^2} - \left( \int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx + \int \frac{a^2}{ \sqrt{x^2 - a^2} } \ dx \right)
\\ & = x \sqrt{x^2 - a^2} - \int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx - a^2 \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - a^2} } \ dx
\end{align*}\]となるので、積分定数 \( C \), \( C' \) を用いて\[\begin{align*}
2 \int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx & = x \sqrt{x^2 + a^2} - a^2 \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - a^2} } \ dx
\\ & = x \sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \cosh^{-1} \frac{x}{a} + C
\\ & = x \sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \log \left( x + \sqrt{x^2 - a^2} \right) + C'
\end{align*}\]の関係式が導ける。

最後に積分定数を \( C'' \), \( C''' \) とつけかえたら\[\begin{align*}
\int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx & = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \cosh^{-1} \frac{x}{a} \right) + C''
\\ & = \frac{1}{2} \left\{ x \sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \log \left( x + \sqrt{x^2 - a^2} \right) \right\} + C'''
\end{align*}\]となり、導出完了。

\( \sqrt{ x^2 \pm a^2 } \) の積分の計算練習

\[
\int \frac{1}{ \sqrt{x^2 \pm a^2} } \ dx , \ \ \ \int \sqrt{x^2 \pm a^2} \ dx
\]の計算練習を実際にやってみたい人は、下の記事をご覧ください。

(3) 逆双曲線関数の積分

つぎは、逆双曲線関数の積分を見ていきましょう。

いつも通り、公式を紹介してから導出方法を解説していきます。

[導出]

(1) \( \sinh^{-1} x \), \( \sinh^{-1} ax \) の積分

まずは、\( \sinh^{-1} x \) の積分を求める。\[\begin{align*}
\int \sinh^{-1} x \ dx & = x \sinh^{-1} x - \int \frac{x}{ \sqrt{x^2+1} } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{2}{ \sqrt{x^2+1} } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} x - \frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{x^2 + 1} + C
\\ & = x \sinh^{-1} x - \sqrt{x^2 + 1} + C
\end{align*}\]

同じように \( \sinh^{-1} ax \) も\[\begin{align*}
\int \sinh^{-1} ax \ dx & = x \sinh^{-1} ax - \int x \cdot \frac{a}{ \sqrt{(ax)^2+1} } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} ax - \int \frac{ax}{ \sqrt{a^2 x^2+1} } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} ax - \frac{1}{2a} \int \cdot \frac{2a^2 x}{ \sqrt{a^2 x^2+1} } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} ax - \frac{1}{2a} \cdot 2 \sqrt{a^2 x^2 + 1} + C
\\ & = x \sinh^{-1} ax - \frac{1}{a} \sqrt{(ax)^2 + 1} + C
\end{align*}\]と部分積分で求められる。

(2) \( \cosh^{-1} x \), \( \cosh^{-1} ax \) の積分

まずは、\( \cosh^{-1} x \) の積分を求める。\[\begin{align*}
\int \cosh^{-1} x \ dx & = x \cosh^{-1} x - \int \frac{x}{ \sqrt{x^2-1} } \ dx
\\ & = x \cosh^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{ \sqrt{x^2-1} } \ dx
\\ & = x \cosh^{-1} x - \frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{x^2 - 1} + C
\\ & = x \cosh^{-1} x - \sqrt{x^2 - 1} + C
\end{align*}\]

同じように \( \cosh^{-1} ax \) も\[\begin{align*}
\int \cosh^{-1} ax \ dx & = x \cosh^{-1} ax - \int x \cdot \frac{a}{ \sqrt{(ax)^2-1} } \ dx
\\ & = x \cosh^{-1} ax - \int \frac{ax}{ \sqrt{a^2 x^2-1} } \ dx
\\ & = x \cosh^{-1} ax - \frac{1}{2a} \int \cdot \frac{2a^2 x}{ \sqrt{a^2 x^2-1} } \ dx
\\ & = x \cosh^{-1} ax - \frac{1}{2a} \cdot 2 \sqrt{a^2 x^2 - 1} + C
\\ & = x \cosh^{-1} ax - \frac{1}{a} \sqrt{(ax)^2 - 1} + C
\end{align*}\]と部分積分で求められる。

(3) \( \tanh^{-1} x \), \( \tanh^{-1} ax \) の積分

まずは \( \tanh^{-1} x \) から。\[\begin{align*}
\int \tanh^{-1} x \ dx & = x \tanh^{-1} x - \int \frac{x}{1 - x^2} \ dx
\\ & = x \tanh^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{-2x}{1 - x^2} \ dx
\\ & = x \tanh^{-1} x + \frac{1}{2} \log ( 1 - x^2 ) + C
\end{align*}\]

同じように \( \tanh^{-1} ax \) も\[\begin{align*}
\int \tanh^{-1} ax \ dx & = x \tanh^{-1} ax - \int x \cdot \frac{a}{1 - (ax)^2} \ dx
\\ & = x \tanh^{-1} ax - \int \frac{ax}{1 - a^2 x^2 } \ dx
\\ & = x \tanh^{-1} ax + \frac{1}{2a} \int \frac{- 2a^2 x }{ 1 - a^2 x^2} \ dx
\\ & = x \tanh^{-1} ax + \frac{1}{2a} \log (1 - a^2 x^2 ) + C
\\ & = x \tanh^{-1} ax + \frac{1}{2a} \log \left\{ 1 - (ax)^2 \right\} + C
\end{align*}\]と部分積分で求められる。

※ \( -1 < x < 1 \) なので、\( \log \) の中身は必ず正。なので絶対値は不要。

(3) 例題で実際に計算してみよう

[解説]

(1)\[\begin{align*}
\frac{x^2}{x^2-1} \ dx & = \frac{(x^2-1)+1}{x^2-1}
\\ & = 1 + \frac{1}{x^2-1}
\end{align*}\]に気づけるかがポイント。

気づけてしまえば、あとは\[
\int \frac{1}{1 - x^2} \ dx = \tanh^{-1} x + C
\]の形に楽勝で持ち込める。

よって、積分定数を \( C \) として\[\begin{align*}
\frac{x^2}{x^2-1} \ dx & = \int 1 \ dx + \int \frac{1}{x^2 - 1} \ dx
\\ & = x - \int \frac{1}{1 - x^2} \ dx
\\ & = x - \tanh^{-1} x + C
\\ & \left( = x - \log \frac{1+x}{1-x} \right)
\end{align*}\]となる。

(2)

逆双曲線関数の積分は、部分積分をすればOK。
せっかくなので、公式を使わずに自力で計算してみましょう。

\[\begin{align*}
\sinh^{-1} 3x \ dx & = x \sinh^{-1} 3x - \int x \cdot \frac{3}{ \sqrt{(3x)^2 + 1 } } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} 3x - \int \frac{3x}{ \sqrt{9x^2 + 1 } } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} 3x - \frac{1}{6} \int \frac{18x}{ \sqrt{9x^2 + 1 } } \ dx
\\ & = x \sinh^{-1} 3x - \frac{1}{6} \cdot 2 \sqrt{ 9x^2 + 1 } + C
\\ & = x \sinh^{-1} 3x - \frac{1}{3} \sqrt{ 9x^2 + 1 } + C
\end{align*}\]となる。

4. さいごに

今回、前回、前々回と3回に分けて、逆双曲線関数の様々な内容

• 双曲線関数ってなに？
• 双曲線関数のグラフ
• 双曲線関数の基本変形公式
• 双曲線関数の加法定理
• 双曲線関数の2倍角・3倍角公式
• 双曲線関数の積和公式
• 双曲線関数の微分
• 双曲線関数の積分
• 双曲線関数の極限
• 双曲線関数のマクローリン展開
• 双曲線関数の逆関数

を説明していきました。

分量が多めだったので、双曲線関数について復習する場合は、

1. ピンク色の単元
2. 水色の単元
3. 黒色の単元

の順番に復習していくことをおすすめします。

3回にわたり、双曲線関数の記事をお読みいただきありがとうございました！

（3回中）2回目では、双曲線関数の中でも微分、積分、極限およびマクローリン展開に関する内容について説明していきます。

• 双曲線関数ってなに？
• 双曲線関数のグラフ
• 双曲線関数の基本変形公式
• 双曲線関数の加法定理
• 双曲線関数の2倍角・3倍角公式
• 双曲線関数の積和公式
• 双曲線関数の微分
• 双曲線関数の積分
• 双曲線関数の極限
• 双曲線関数のマクローリン展開
• 双曲線関数の逆関数

※ 下の赤い部分について解説をしていきます

↓↓ 1回目（双曲線関数のいろは）についての記事はこちら！↓↓

うさぎでもわかる解析　補充編1-1　双曲線関数のいろは

こんにちは、ももやまです。 今回から3回に分けて双曲線関数についてみていきましょう。 双曲線関数の初回となる今回は、下の赤い

[復習] 双曲線関数の定義式

まずは、今回の内容で使う双曲線関数の定義式や基本公式を復習しましょう。

1. 双曲線関数の微分

(1) 公式一覧

まずは、双曲線関数の微分公式を見てみましょう。

教科書では \( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) の形で表示されていることが多いですが、計算速度を早めるために \( \sinh ax \), \( \cosh ax \), \( \tanh ax \) の形で覚えましょう。

(2) 公式の導出

[1] \( \sinh f(x) \) の微分

まずは、\( \sinh x \) の微分を求める。

\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sinh x & = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} ( e^{x} - e^{-x} )
\\ & = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} ( e^{x} - e^{-x} )
\\ & = \frac{1}{2} \cdot ( e^{x} + e^{-x} )
\\ & = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
\\ & = \cosh x
\end{align*}\]

つぎに、\( \sinh f(x) \) の微分を求めるために、\( y = \sinh t \), \( t = f(x) \) とおく。

すると、\( y = \sinh t \) となり、\[
\frac{dy}{dt} = \cosh t , \ \ \ \frac{dt}{dx} = f'(x)
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sinh f(x) & = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = \cosh t \cdot f'(x)
\\ & = f'(x) \cosh f(x)
\end{align*}\]と求められる。

[2] \( \cosh f(x) \) の微分

[1]と同じく、まずは \( \cosh x \) の微分を求める。\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \cosh x & = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} ( e^{x} + e^{-x} )
\\ & = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} ( e^{x} + e^{-x} )
\\ & = \frac{1}{2} \cdot ( e^{x} - e^{-x} )
\\ & = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}
\\ & = \sinh x
\end{align*}\]

つぎに、\( \cosh f(x) \) の微分を求めるために、\( y = \cosh t \), \( t = f(x) \) とおく。

すると、\( y = \cosh t \) となり、\[
\frac{dy}{dt} = \sinh t , \ \ \ \frac{dt}{dx} = f'(x)
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \cosh f(x) & = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = \sinh t \cdot f'(x)
\\ & = f'(x) \sinh f(x)
\end{align*}\]と求められる。

[3-1] \( \tanh f(x) \) の微分（素直に計算）

[1], [2]と同じく、まずは \( \tanh x \) の微分を求める。\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \tanh ax & = \frac{d}{dx} \frac{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
\\ & = \frac{ (e^{x} - e^{-x})' (e^{x} + e^{-x}) - (e^{x} - e^{-x}) (e^{x} + e^{-x})' }{ (e^{x} + e^{-x})^2 }
\\ & = \frac{ ( e^{x} + e^{-x} ) (e^{ax} + e^{-ax}) - (e^{x} - e^{-x}) (e^{x} - e^{-x} ) }{ (e^{x} + e^{-x})^2 }
\\ & = \frac{ ( e^{x} + e^{-x} )^2 - (e^{x} - e^{-x})^2 }{ (e^{x} + e^{-x})^2 }
\\ & = \frac{ ( e^{2x} + 2 + e^{-2x} ) - ( e^{2x} - 2 + e^{-2x} ) }{ (e^{x} + e^{-x})^2 }
\\ & = \frac{ 4 }{ (e^{x} + e^{-x})^2 }
\\ & = \frac{ \frac{1}{4} \cdot 4 }{ \frac{1}{4} (e^{x} + e^{-x})^2 }
\\ & = \frac{ 1 }{ (\frac{e^{x} + e^{-x}}{2})^2 }
\\ & = \frac{ 1 }{ \cosh^2 x}
\end{align*}\]

つぎに、\( \tanh f(x) \) の微分を求めるために、\( y = \tanh t \), \( t = f(x) \) とおく。

すると、\( y = \tanh t \) となり、\[
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{ \cosh^2 t} , \ \ \ \frac{dt}{dx} = f'(x)
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \tanh f(x) & = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = \frac{1}{ \cosh^2 t} \cdot f'(x)
\\ & = \frac{f'(x)}{ \cosh^2 t}
\end{align*}\]と求められる。

[3-2] \( \tanh f(x) \) の微分（双曲線関数の公式をうまく利用）

\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \tanh f(x) & = \frac{d}{dx} \frac{ \sinh f(x) }{ \cosh f(x) }
\\ & = \frac{ (\sinh f(x))' \cosh f(x) - \sinh f(x) ( \cosh f(x) )' }{ \cosh^2 f(x) }
\\ & = \frac{ f'(x) \cosh^2 f(x) - f'(x) \sinh^2 f(x) }{ \cosh^2 f(x) }
\\ & = \frac{ f'(x) \left\{ \cosh^2 f(x) - \sinh^2 f(x) \right\} }{ \cosh^2 f(x) }
\\ & = \frac{ f'(x) }{ \cosh^2 f(x) }
\end{align*}\]

(3) 例題で計算練習

[解説1]

(1)

公式\[
\frac{d}{dx} \tanh g(x) = \frac{g'(x)}{\cosh^2 g(x)}
\]に \( g(x) = 3x \) を代入すればOK。
（問題に \( f(x) \) が出てくるので、紛らわしくないように公式の方は \( g(x) \) にしています）

よって、\[
f'(x) = \frac{3}{ \cosh^2 3x }
\]となる。

(2) 公式\[
\frac{d}{dx} \sinh g(x) = f'(x) \cosh g(x)
\]に \( g(x) = x^2 -3x + 1 \) を代入すればOK。
（(1)と同じく、問題に \( f(x) \) が出てくるので、紛らわしくないように公式の方は \( g(x) \) にしています）

よって、\[
f'(x) = (2x - 3) \cosh (x^2-3x+1)
\]となる。

(3)

\( t = \cosh^5 x \) とおいてから合成関数の微分公式を使う。

すると、\( f(t) = t^5 \) となる。

\[\begin{align*}
\frac{df}{dx} & = \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
\\ & = 5t^4 \cdot \sinh x
\\ & = 5 \cosh^4 x \sinh x
\end{align*}\]

よって、\[
f'(x) = 5 \cosh^4 x \sinh x
\]となる。

(4)

[解法1] 素直に計算

\[\begin{align*}
f'(x) & = (\sinh x)' \cosh x + \sinh x ( \cosh x )'
\\ & = \cosh x \cdot \cosh x + \sinh x \cdot \sinh x
\\ & = \cosh^2 x + \sinh^2 x
\end{align*}\]

[解法2] 倍角の公式を使ってから計算

\[
\sinh x \cosh x = \frac{1}{2} \sinh 2x
\]なので、\[\begin{align*}
f'(x) & = \frac{1}{2} \cdot 2 \cosh 2x
\\ & = \cosh 2x ( = \cosh^2 x + \sinh^2 x )
\end{align*}\]と計算してもOK。

2. 双曲線関数の積分

(1) 公式一覧

まずは公式を見ていきましょう。微分のときと同じく、\( \sinh ax \), \( \cosh ax \), \( \tanh ax \) と定数 \( a \) を付けたバージョンで表示しています。

(2) 公式の導出

3番目の\[
\int \tanh (ax+b) \ dx = \frac{1}{a} \log \left\{ \cosh (ax+b) \right\} + C
\]以外は、1-(1)の「三角関数の微分公式」に \( f(x) = ax + b \) を代入してから逆に適用する（微分したものを元に戻す）だけで導出できます。

3番目の公式だけは、導出をしておきましょう。

\[\begin{align*}
\int \tanh (ax+b) \ dx & = \int \frac{ \sinh (ax+b) }{ \cosh (ax+b) } \ dx
\\ & = \frac{1}{a} \int \frac{ a \sinh (ax+b) }{ \cosh (ax+b) } \ dx
\\ & = \frac{1}{a} \int \frac{ (\left\{ \cosh (ax+b) \right\}' }{ \cosh (ax+b) } \ dx
\\ & = \frac{1}{a} \log \left\{ \cosh (ax+b) \right\} + C
\end{align*}\]

(3) 例題で計算練習

公式を頭に入れるために、実際に計算練習をしましょう。

[解説2]

(1)

公式\[
\int \sinh ax \ dx = \frac{1}{a} \cosh ax + C
\]に \( a = 2 \) を代入すればOK。

よって、積分定数 \( C \) を用いることで\[\begin{align*}
\int \sinh 2x \ dx & = \frac{1}{2} \cosh 2x
\end{align*}\]と計算できる。

(2)

多項式 ( \( x^a \) ) × 双曲線関数 ( \( \sinh x \), \( \cosh x \) ) の形を見かけたら部分積分をすることを考えましょう^[1]\( x^2 \sin x \) … Continue reading。

\[\begin{align*}
\int x^2 \sinh x & = x^2 \cosh x - 2x \sinh x + 2 \cosh + C
\\ & = (x^2 - 2 ) \cosh x - 2 x \sinh x + C
\end{align*}\]

※ 部分積分は連鎖公式（ブンブン積分・瞬間部分積分）を使うのがおすすめです。詳しくは下の記事から。

うさぎでもわかる解析（高校数学・数3）　Part06　部分積分（部分積分の連鎖公式：ブンブン・瞬間部分積分）

数3の微積、解析学の中でも特に計算量が多くなる部分積分についてまとめました。部分積分の基本公式、部分積分を素早く行う計算

(3)

今回のように \( \sinh ax \) もしくは \( \cosh ax \) が2つ掛け合わされたような形の関数を積分する場合は、逆双曲線関数の積和の公式が非常に便利です。

まずは、積和の公式を確認しましょう。
（積和の公式の導出手順はこちらで確認できます。）

今回は、\[
\sinh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sinh ( \alpha + \beta ) + \sinh ( \alpha - \beta ) \right\}
\]に、\( \alpha = 4x \), \( \beta = 6x \) を代入することで2つの双曲線関数の和に分解することができます。

よって、\[\begin{align*}
\int \sinh 4x \cosh 6x \ dx & = \int \frac{1}{2} \left\{ \sinh ( 4x + 6x ) + \sinh ( 4x - 6x ) \right\} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \int \sinh 10x \ dx + \frac{1}{2} \sinh (-2x) \ dx
\\ & = \frac{1}{20} \cosh 10x - \frac{1}{4} \cosh (-2x) + C
\\ & = \frac{1}{20} \cosh 10x - \frac{1}{4} \cosh 2x + C
\end{align*}\]と計算できる。

3. 双曲線関数の極限

双曲線関数の極限ですが、極限のために覚えなければいけない公式は基本的にありません。

というのも、双曲線関数の極限は

• 定義式（\( e \) を使った形）に変形する
• ロピタルの公式を適用する

ことでなんとかなるからです。

ということで、この章では「例題による問題演習」で双曲線関数の極限を見ていきましょう。

(1) sinh x, cosh x, tanh x の極限

まずは、\( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) の極限を見てみましょう。

※ グラフの形を頭に入れておけば自然に

[導出]

[ \( \sinh x \) の極限 ]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \sinh x & = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{0} - \underbrace{ e^{-x} }_{ \infty } ) \\ & = \infty \\
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to - \infty} \sinh x & = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2} ( e^x + e^{-x} )
\\ & = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^{-t} }_{0} - \underbrace{ e^{t} }_{ \infty } ) \ \ \ ( x \to - t )
\\ & = - \infty
\end{align*}\]

[ \( \cosh x \) の極限 ]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \cosh x & = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{0} + \underbrace{ e^{-x} }_{ \infty } )
\\ & = \infty
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to - \infty} \cosh x & = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{0} + \underbrace{ e^{-x} }_{ \infty } )
\\ & = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^{-t} }_{0} + \underbrace{ e^{t} }_{ \infty } ) \ \ \ ( x \to - t )
\\ & = \infty
\end{align*}\]

[ \( \tanh x \) の極限 ]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \tanh x & = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sinh x }{ \cosh x }
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \overbrace{ e^{-2x} }^{0} }{1 + \underbrace{ e^{-2x} }_{0} }
\\ & = 1
\end{align*}\]と4パターンの式に変形できることを思い出す。

\[\begin{align*}
\lim_{x \to - \infty} \tanh x & = \lim_{x \to - \infty} \frac{ \sinh x }{ \cosh x }
\\ & = \lim_{x \to - \infty} \frac{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
\\ & = \lim_{t \to \infty} \frac{ e^{-t} - e^{t} }{ e^{-t} + e^{t} } \ \ \ ( x \to -t )
\\ & = \lim_{t \to \infty} \frac{ \overbrace{ e^{-2t} }^0 - 1 }{ \underbrace{ e^{-2t} }_{0} + 1 }
\\ & = -1
\end{align*}\]

(2) 定義式に変形するパターン

まずは、定義式に変形するパターンを見てみましょう。

[解説3]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{ \sinh x }{ e^x } & = \frac{ \frac{ e^x + e^{-x} }{2} }{e^x}
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{ e^x + e^{-x} }{ 2 e^x}
\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} ( 1 + \underbrace{ e^{-2x} }_{0} )
\\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\]

(3) ロピタルの定理を使うパターン

ロピタルの定理を使って計算するパターンも見てみましょう。

[解説4]

(1)

与式の分子、分母がともに0に収束し、0/0の不定形となる。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{ \sinh x }{ x } & = \lim_{x \to 0} \frac{ \cosh x }{ 1 }
\\ & = 1
\end{align*}\]

よって、ロピタルの定理より、\[
\lim_{x \to 0} \frac{ \sinh x }{ x } = 1
\]と求められる。（1に収束する）

(2)

与式の分子、分母がともに0に収束し、0/0の不定形となる。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{ \tanh x }{ x } & = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{ \cosh^2 x } }{ 1 }
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{1}{ \cosh^2 x }
\\ & = 1
\end{align*}\]

よって、ロピタルの定理より、\[
\lim_{x \to 0} \frac{ \tanh x }{ x } = 1
\]と求められる。（1に収束する）

(3)

与式の分子、分母がともに0に収束し、0/0の不定形となる。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{ \cosh x - 1 }{ x^2 } & = \lim_{x \to 0} \frac{ \sinh x }{ 2x }
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{ \cosh x }{ 2 }
\\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\]

よって、ロピタルの定理より、\[
\lim_{x \to 0} \frac{ \cosh x - 1 }{ x^2 } = \frac{1}{2}
\]と求められる。（1/2に収束する）

4. 双曲線関数のマクローリン展開（x = 0のテイラー展開）

(1) 公式一覧

(2) 公式の導出

ひたすら微分をし、微分をしたものに \( x = 0 \) を代入していけばOKです。

今回は、5次のマクローリン展開まで求めてみましょう。

[導出] sinh x のマクローリン展開

\( f(x) = \sinh x \) とする。

\[\begin{align*}
f(x) & = \sinh x , \ \ \ f(0) = 0 \\
f'(x) & = \cosh x , \ \ \ f'(0) = 1 \\
f''(x) & = \sinh x , \ \ \ f''(0) = 0 \\
f'''(x) & = \cosh x , \ \ \ f'''(0) = 1 \\
f^{(4)} (x) & = \sinh x , \ \ \ f^{(4)} (0) = 0 \\
f^{(5)} (x) & = \cosh x , \ \ \ f^{(5)} (0) = 1
\end{align*}\]

となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。

\[\begin{align*}
f(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac{ f'(0) }{1!} x + \frac{ f''(0) }{2!} x^2 + \frac{ f'''(0) }{3!} x^3 + \frac{ f^{(4)} (0) }{4!} x^4 + \frac{ f^{(5)} (0) }{5!} x^5
\\ & = x + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5
\end{align*}\]

[導出] cosh x のマクローリン展開

\( f(x) = \cosh x \) とする。

\[\begin{align*}
f(x) & = \cosh x , \ \ \ f(0) = 1 \\
f'(x) & = \sinh x , \ \ \ f'(0) = 0 \\
f''(x) & = \cosh x , \ \ \ f''(0) = 1 \\
f'''(x) & = \sinh x , \ \ \ f'''(0) = 0 \\
f^{(4)} (x) & = \cosh x , \ \ \ f^{(4)} (0) = 1 \\
f^{(5)} (x) & = \sinh x , \ \ \ f^{(5)} (0) = 0
\end{align*}\]

となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。

\[\begin{align*}
f(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac{ f'(0) }{1!} x + \frac{ f''(0) }{2!} x^2 + \frac{ f'''(0) }{3!} x^3 + \frac{ f^{(4)} (0) }{4!} x^4 + \frac{ f^{(5)} (0) }{5!} x^5
\\ & = 1 + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4
\end{align*}\]

[導出] tanh x のマクローリン展開

\( \frac{1}{ \cosh^2 x } \) を微分していくのは少しつらいので、\[
\frac{1}{ \cosh^2 x } = 1 - \tanh^2 x
\]の公式をうまく使おう。

\( f(x) = \tanh x \) とする。

\[\begin{align*}
f(x) & = \tanh x \\
f'(x) & = \frac{1}{ \cosh^2 x }
\\ & = 1 - \tanh^2 x \\
f''(x) & = - 2 \tanh x \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x }
\\ & = -2 \tanh x ( 1 - \tanh^2 x )
\\ & = 2 \tanh^3 x - 2 \tanh x \\
f'''(x) & = 6 \tanh^2 x \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x } - 2 \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x }
\\ & = 6 \tanh^2 x ( 1 - \tanh^2 x ) - 2 ( 1 - \tanh^2 x )
\\ & = -6 \tanh^4 x + 8 \tanh^2 x - 2 \\
f^{(4)} & = - 24 \tanh^3 x \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x } + 16 \tanh x \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x }
\\ & = - 24 \tanh^3 x (1 - \tanh^2 x) + 16 \tanh x (1 - \tanh^2 x)
\\ & = 24 \tanh^5 - 40 \tanh^3 x + 16 \tanh x \\
f^{(5)} & = 120 \tanh^4 \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x } - 120 \tanh^2 x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} + 16 \cdot \frac{1}{ \cosh^2 x}
\\ & = 120 \tanh^4 x (1 - \tanh^2 x) - 120 \tanh^2 x (1 - \tanh^2 x) + 16 (1 - \tanh^2x )
\\ & = - 120 \tanh^6 x + 240 \tanh^4 x - 136 \tanh^2 x + 16
\end{align*}\]

つぎに、\( x = 0 \) を代入する。

\[\begin{align*}
f(0) & = 0 \\
f'(0) & = 1 \\
f''(0) & = 0 \\
f'''(0) & = -2 \\
f^{(4)} & = 0 \\
f^{(5)} & = 16
\end{align*}\]

となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。

\[\begin{align*}
f(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac{ f'(0) }{1!} x + \frac{ f''(0) }{2!} x^2 + \frac{ f'''(0) }{3!} x^3 + \frac{ f^{(4)} (0) }{4!} x^4 + \frac{ f^{(5)} (0) }{5!} x^5
\\ & = \frac{1}{1!} x - \frac{2}{3!} x^3 + \frac{16}{5!} x^5
\\ & = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5
\end{align*}\]

(3) 例題で計算練習

では、実際に例題で双曲線関数のマクローリン展開の問題を解いてみましょう。

[解説4-1] 解法1 … ごり押しで解く

\[\begin{align*}
f(x) & = \sinh 3x , \ \ \ f(0) = 0 \\
f'(x) & = 2 \cosh 3x , \ \ \ f'(0) = 2 \\
f''(x) & = 4 \sinh 3x , \ \ \ f''(0) = 0 \\
f'''(x) & = 8 \cosh 3x , \ \ \ f'''(0) = 8 \\
f^{(4)} (x) & 16 = \sinh 3x , \ \ \ f^{(4)} (0) = 0 \\
f^{(5)} (x) & 32 = \cosh 3x , \ \ \ f^{(5)} (0) = 32
\end{align*}\]

となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。

\[\begin{align*}
f(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac{ f'(0) }{1!} x + \frac{ f''(0) }{2!} x^2 + \frac{ f'''(0) }{3!} x^3 + \frac{ f^{(4)} (0) }{4!} x^4 + \frac{ f^{(5)} (0) }{5!} x^5
\\ & = 2x + \frac{8}{3!} x^3 + \frac{32}{5!} x^5
\\ & = 2x + \frac{4}{3} x^3 + \frac{4}{15} x^5
\end{align*}\]

[解説4-2] 解法2 … sinh x の公式をうまく使う

\( \sinh x \) の5次までのマクローリン展開は\[
\sinh x \fallingdotseq x + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5
\]で計算できる。

この \( x \) を \( x \to 2x \) とすればOK。

よって、\[\begin{align*}
f(x) & = (2x) + \frac{1}{3!} (2x)^3 + \frac{1}{5!} (2x)^5
\\ & = 2x + \frac{4}{3} x^3 + \frac{4}{15} x^5
\end{align*}\]と \( f(x) \) の5次の項までのマクローリン展開を求められる。

5. さいごに

今回は、双曲線関数の中でも

• 微分・積分
• 極限
• マクローリン展開

など、微積に関わる分野を中心に解説をしていきました。

次回は、双曲線関数の逆関数についてみていきましょう。
（双曲線関数に関するラスト記事になる予定です）

今回から3回に分けて双曲線関数についてみていきましょう。

双曲線関数の初回となる今回は、下の赤い部分について解説をしていきます。

• 双曲線関数ってなに？
• 双曲線関数のグラフ
• 双曲線関数の基本変形公式
• 双曲線関数の加法定理
• 双曲線関数の2倍角・3倍角公式
• 双曲線関数の積和公式
• 双曲線関数の微分
• 双曲線関数の積分
• 双曲線関数のマクローリン展開
• 双曲線関数の逆関数

1. 双曲線関数ってなに？？

(1) 双曲線関数が出てくるまで

[復習] 三角関数の定義

三角関数の \( \cos \theta \), \( \sin \theta \) は、下のように単位円 \( x^2 + y^2 = 1 \) 上のある点 \( (x,y) \) を \( (x,y) = ( \cos \theta , \sin \theta ) \) と定義することができます。

ここで、\( \theta \) は「\( x \) 軸」と「原点から \( (x,y) \) への線分」がなす角度に対応しています。さらに、「\( x \) 軸」、「原点から \( (x,y) \) への線分」、および「単位円の円周」に囲まれる部分の面積（オレンジ色部分）が \( \frac{ \theta }{2} \) になるのも特徴です。

また、\( \cos \theta \), \( \sin \theta \) から \( \tan \theta \) を\[
\tan \theta = \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta }
\]とすることができます。

双曲線関数の定義

ここからが大学数学で出てくる新たな概念、双曲線関数の定義の説明に入ります。

まず、双曲線の中でも最も基本的な形 \( x^2 - y^2 = 1 \) を考えます。この双曲線のことを単位双曲線と名付けましょうか。

この単位双曲線上のある点 \( (x,y) \) を1つの変数 \( \theta \) で\[
(x,y) = ( \cosh \theta , \sinh \theta )
\]と対応づけるような関数 \( \cosh \theta \), \( \sinh \theta \) のことを双曲線関数と呼びます。

さらにこの \( \theta \) ですが、\( x \) 軸、原点と \( (x,y) \) のなす線分、双曲線 \( x^2 - y^2 = 1 \) が囲まれる部分が \( \frac{ \theta }{2} \) になる特徴があります。

ただし、三角関数のように \( \theta \) が角度に対応しているわけではないことに要注意です。

また、双曲線関数には \( \sinh \theta \), \( \cosh \theta \) のほかに \( \tanh \theta \) もあり、\[
\tanh \theta = \frac{ \sinh \theta }{ \cosh \theta }
\]で定義されます。

三角関数の公式\[
\tan \theta = \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta }
\]にそっくりですね。

※ これ以降双曲線関数は \( \theta \) ではなく、\( x \) を用いて書くことにします。つまり、\( \cosh \theta \), \( \sinh \theta \) ではなく \( \sinh x \), \( \cosh x \) で書きます。

(2) 定義式の書き変え（この形で覚えよう）

\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \) を満たすように \( \sinh x \), \( \cosh x \) を定義する、と言われても少し難しいですよね。

そこで、双曲線関数 \( \sinh x \), \( \cosh x \) ネイピア数 \( e \) を使うことで、次のように定義することもできます。

さらに、\[
\tanh x = \frac{ \sinh x }{ \cosh x }
\]であることを利用して、\( \tanh x \) はつぎのように定義されます。

(3) 練習問題にチャレンジ

ここで、双曲線関数に関する練習問題を1問解いてみましょう。

[解説1]

定義式\[\begin{align*}
\sinh x & = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{2} \\
\cosh x & = \frac{ e^{x} + e^{-x} }{2} \\
\tanh x & = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{e^x + e^{-x}}
\end{align*}\]に \( x = 1 \) を代入してひたすら計算するだけ。

\[\begin{align*}
\sinh 1 & = \frac{ e^1 - e^{-1} }{2}
\\ & = \frac{ 2.72 - 0.37 }{2}
\\ & = \frac{ 2.35}{2}
\\ & = 1.175
\\ & \fallingdotseq 1.18
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\cosh 1 & = \frac{ e^1 + e^{-1} }{2}
\\ & = \frac{ 2.72 + 0.37 }{2}
\\ & = \frac{ 3.09 }{2}
\\ & = 1.545
\\ & \fallingdotseq 1.55
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\tanh 1 & = \frac{ e^1 - e^{-1} }{e^1 + e^{-1}}
\\ & = \frac{1.175}{1.545}
\\ & \fallingdotseq 0.76
\end{align*}\]

2. 双曲線関数のグラフ

次に、双曲線関数 \( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) がどのような値を取るかを見てみましょう。

赤色 → \( y = \sinh x \) のグラフ（奇関数）
青色 → \( y = \cosh x \) のグラフ（偶関数）
緑色 → \( y = \tanh x \) のグラフ（奇関数）

※ 偶関数は、\( y \) 軸対称のグラフで、\( f(x) = f(-x) \) が成立する関数。
　 奇関数は、原点対称のグラフで、\( f(x) =- f(-x) \) が成立する関数。

グラフの形の導出方法

微分をし、増減表を書くことで \( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) のグラフを導出してみましょう。

sinh x のグラフ

\( f(x) = \sinh x \) とする。

[極限計算]

\[\begin{align*}
f(x) & = \sinh x
\\ & = \frac{1}{2} (e^x - e^{-x} )
\end{align*}\]である。よって、\[\begin{align*}
\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{0} - \underbrace{ e^{-x} }_{ \infty } ) & = - \infty \\
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{ \infty } - \underbrace{ e^{-x} }_{ 0 } ) & = \infty
\end{align*}\]となるので、\( x \to - \infty \) では \( f(x) \) は負の無限大、\( x \to \infty \) では \( f(x) \) は正の無限大を取る。

[\( f'(x) \) を計算し、グラフの傾きを求める]

\[
f(x) = \frac{1}{2} ( e^x - e^{-x} )
\]を微分する。

\[\begin{align*}
f'(x) = \frac{1}{2} ( e^x + e^{-x} )
\end{align*}\]となるので、常に \( f'(x) > 0 \)。よって、このグラフは単調増加。

[\( f''(x) \) を計算し、グラフの凹凸を求める]

\( f'(x) \) をさらにもう1回微分する。

\[\begin{align*}
f''(x) = \frac{1}{2} ( e^x - e^{-x} )
\end{align*}\]となる。ここで、両辺を \( 2 e^{x} \) 倍、つまり\[
2e^{x} f''(x) = e^{2x} -1
\]としても \( f''(x) \) の正負は変わらないため、\( e^{2x} - 1 \) の正負からグラフの凹凸を求める。

すると、

• \( e^{2x} - 1 = 0 \) を満たすような \( x \) は、\( x = 0 \) となる。よって、\( x = 0 \) は変曲点。
• \( x > 0 \) のとき、\( e^{2x} - 1 > 0 \) を満たす。よって、\( f''(x) > 0 \) も満たすため、下に凸となる。
• \( x < 0 \) のとき、\( e^{2x} - 1 < 0 \) を満たす。よって、\( f''(x) < 0 \) も満たすため、上に凸となる。

となる。

また、\( x = 0 \) のとき、\[\begin{align*}
f(0) & = \sinh 0
\\ & = \frac{1}{2} ( e^0 - e^0 )
\\ & = 0
\end{align*}\]となる。

よって、増減表は下のようになる。

増減表より、\( \sinh x \) のグラフを下のように導出ができる。

cosh x のグラフ

\( f(x) = \cosh x \) とする。

[極限計算]

\[\begin{align*}
f(x) & = \cosh x
\\ & = \frac{1}{2} (e^x + e^{-x} )
\end{align*}\]である。よって、\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{0} + \underbrace{ e^{-x} }_{ \infty } ) & = \infty \\
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} ( \underbrace{ e^x }_{ \infty } - \underbrace{ e^{-x} }_{ 0 } ) & = \infty
\end{align*}\]となるので、\( x \to - \infty \) では \( f(x) \) は正の無限大、\( x \to \infty \) でも \( f(x) \) は正の無限大を取る。

[\( f'(x) \) を計算し、グラフの傾きを求める]

\[
f(x) = \frac{1}{2} ( e^x + e^{-x} )
\]を微分する。

\[\begin{align*}
f'(x) = \frac{1}{2} ( e^x - e^{-x} )
\end{align*}\]となる。ここで、両辺を \( 2 e^{x} \) 倍、つまり\[
2e^{x} f'(x) = e^{2x} -1
\]としても \( f'(x) \) の正負は変わらないため、\( e^{2x} - 1 \) の正負からグラフの傾きを求める。

すると、

• \( e^{2x} - 1 = 0 \) を満たすような \( x \) は、\( x = 0 \) となる。よって、\( x = 0 \) は極値。
• \( x > 0 \) のとき、\( e^{2x} - 1 > 0 \) を満たす。よって、\( f'(x) > 0 \) も満たすため、この部分では単調増加。
• \( x < 0 \) のとき、\( e^{2x} - 1 < 0 \) を満たす。よって、\( f'(x) < 0 \) も満たすため、この部分では単調減少。

となる。

[\( f'’(x) \) を計算し、グラフの凹凸を求める]

\[\begin{align*}
f''(x) = \frac{1}{2} ( e^x + e^{-x} )
\end{align*}\]となるので、常に \( f''(x) > 0 \)。よって、このグラフは常に下に凸。

また、\( x = 0 \) のとき、\[\begin{align*}
f(0) & = \cosh 0
\\ & = \frac{1}{2} ( e^0 + e^0 )
\\ & = 1
\end{align*}\]となる。

よって、増減表は下のようになる。

増減表より、\( \cosh x \) のグラフを下のように導出ができる。

tanh x のグラフ

\( f(x) = \tanh x \) とする。

ここで、\[\begin{align*}
f(x) & = \frac{ \sinh x}{ \cosh x }
\\ & = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
\\ & = \frac{e^{2x} - 1}{ e^{2x} + 1}
\\ & = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}
\end{align*}\]と4パターンの式に変形できることを思い出す。

[極限計算]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to - \infty} f(x) & = \lim_{x \to - \infty} \frac{\textcolor{magenta}{e^{2x}} - 1}{ \textcolor{magenta}{e^{2x}} + 1}
\\ & = \frac{\textcolor{magenta}{0} - 1}{ \textcolor{magenta}{0} + 1}
\\ & = -1
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} f(x) & = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \textcolor{magenta}{e^{-2x}} }{ 1 + \textcolor{magenta}{e^{-2x}} }
\\ & = \frac{1 - \textcolor{magenta}{0} }{ 1 + \textcolor{magenta}{0} }
\\ & = 1
\end{align*}\]

となるので、\( x \to - \infty \) では \( f(x) \) は-1、\( x \to \infty \) では \( f(x) \) は1を取る。

[\( f'(x) \) を計算し、グラフの傾きを求める]

\[
f(x) = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
\]を微分する。

\[\begin{align*}
f'(x) & = \frac{ (e^{x} - e^{-x})' \cdot ( e^{x} + e^{-x} ) - (e^{x} - e^{-x}) \cdot ( e^{x} + e^{-x} )' }{ ( e^{x} + e^{-x} )^2 }
\\ & = \frac{ (e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2 }{ ( e^{x} + e^{-x} )^2 }
\\ & = \frac{ (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) }{ ( e^{x} + e^{-x} )^2 }
\\ & = \frac{ 4 }{ ( e^{x} + e^{-x} )^2 }
\end{align*}\]となる。

ここで、\( x \) の値にかかわらず、常に \( ( e^{x} + e^{-x} )^2 > 0 \) なので、\( f'(x) \) も常に \( f'(x) > 0 \) となる。よって、このグラフは単調増加である。

[\( f'’(x) \) を計算し、グラフの凹凸を求める]

\( f'(x) \) をさらにもう1回微分する。

\[\begin{align*}
f''(x) & = \frac{ (4)' \cdot ( e^{x} + e^{-x} )^2 - 4 \cdot \left( (e^x + e^{-x})^2 \right)' }{ ( e^{x} + e^{-x} )^4 }
\\ & = \frac{ - 8 \cdot (e^x - e^{-x}) (e^x + e^{-x}) }{ ( e^{x} + e^{-x} )^4 }
\\ & = \frac{ - 8 (e^x - e^{-x}) }{ ( e^{x} + e^{-x} )^3 }
\end{align*}\]となる。

ここで、\( x \) の値にかかわらず、常に \( ( e^{x} + e^{-x} )^3 > 0 \) なので^[2]\( e^x + e^{-x} > 0 \) となるため。、\( f''(x) \) の正負を判定するためには \( - 8 (e^x - e^{-x}) \) の正負を考えればよい。

• \( - 8 (e^x - e^{-x}) = 0 \) を満たすような \( x \) は、両辺を \( -\frac{1}{8} e^{x} \) 倍し、\( e^{2x} - 1 = 0 \) とすることで \( x = 0 \) と求められる。よって、\( x = 0 \) は変曲点。
• \( x > 0 \) のとき、\( e^x - e^{-x} > 0 \) となるので \( - 8 (e^x - e^{-x}) < 0 \) を満たす。よって、\( f'(x) < 0 \) となるため、この部分では上に凸。
• \( x < 0 \) のとき、\( e^x - e^{-x} < 0 \) となるので \( - 8 (e^x - e^{-x}) > 0 \) を満たす。よって、\( f'(x) > 0 \) となるため、この部分では下に凸。

また、\( x = 0 \) のとき、\[\begin{align*}
f(0) & = \tanh 0
\\ & = \frac{e^0 - e^0}{e^0 + e^0}
\\ & = 0
\end{align*}\]となる。

よって、増減表は下のようになる。

増減表より、\( \tanh x \) のグラフを下のように導出ができる。

3. 双曲線関数の基本変形公式

ここでは、双曲線関数 \( \sinh x \), \( \cosh x \), \( \tanh x \) の変形公式を三角関数の公式と比較していきながら見ていきましょう。

※ 色がついている部分が三角関数と微妙に違う部分です。

3番目の公式のみ、導出方法を載せておきます。

\[\begin{align*}
1 - \tanh^2 x & = 1 - \left( \frac{ \sinh x }{ \cosh x } \right)^2
\\ & = 1 - \frac{ \sinh^2 x }{ \cosh^2 x }
\\ & = \frac{ \cosh^2 - \sinh^2 x }{ \cosh^2 x }
\\ & = \frac{ 1 }{ \cosh^2 x }
\end{align*}\]

練習問題にチャレンジ

ここで、双曲線関数の基本変形についての練習問題を解いてみましょう。

[解答]

(1)

基本公式 \( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \) を変形すると、\( \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x \) となる。

この式に \( \sinh x = 3 \) を代入すればOK。

よって、\[\begin{align*}
\cosh^2 x & = 1 + \sinh^2 x
\\ & = 1 + 3^2
\\ & = 10
\end{align*}\]

ここで、\( \cosh x > 0 \) なので、\( \cosh x = \sqrt{10} \) となる。

また、\[\begin{align*}
\tanh x & = \frac{ \sinh x }{ \cosh x }
\\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{10} }
\\ & = \frac{ 3 \sqrt{10} }{10}
\end{align*}\]と求められる。

(2)

基本公式 \( 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{ \cosh^2 x } \) を変形すると、\[
\cosh^2 x = \frac{1}{1 - \tanh^2 x}
\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\cosh^2 x & = \frac{1}{1 - \tanh^2 x}
\\ & = \frac{1}{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 }
\\ & = \frac{1}{1 - \frac{1}{4} }
\\ & = \frac{1}{ \frac{3}{4} }
\\ & = \frac{4}{3}
\end{align*}が成立。

ここで、\( \cosh x > 0 \) なので、\[\begin{align*}
\cosh & = \frac{2}{ \sqrt{3} }
\\ & = \frac{ 2 \sqrt{3} }{3}
\end{align*}\]と求められる。

さらに、基本公式 \( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \) を変形すると、\( \sinh^2 x = \cosh^2 x - 1 \) となる。よって、\[\begin{align*}
\sinh^2 x & =\frac{4}{3} - 1
\\ & = \frac{1}{3}
\end{align*}\]となる。

ここで、\( \tanh x > 0 \) なので、\( \sinh x > 0 \) となる^[3]\( \sinh x \) は \( \cosh x \) と異なり、\( x \) の値によっては負の値を取ることもある。そのため、\( \tanh x \) の正負（グラフより \( \tanh x \) と \( \sinh x … Continue reading。よって、\[\begin{align*}
\sinh x & = \frac{1}{ \sqrt{3} }
\\ & = \frac{ \sqrt{3} }{3}
\end{align*}\]となる。

4. 双曲線関数の加法定理

続いて加法定理を見ていきましょう。

加法定理は、この後の公式（2倍角、3倍角、半角）などのベースとなる公式の上に、導出がめんどくさいので覚えてしまいましょう。

ただし、三角関数と基本的には似ていますが一部符号が異なる部分があるので注意です。

[証明]

[1] \( \sinh ( \alpha + \beta ) = \sinh \alpha \cosh \beta + \cosh \alpha \sinh \beta \) の証明

\[\begin{align*}
\mathrm{ (左辺) } & = \frac{ e^{\alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta } }{2}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\mathrm{ (右辺) } & = \left( \frac{ e^{\alpha} - e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{ e^{\beta} + e^{- \beta} }{2} \right) + \left( \frac{ e^{\alpha} + e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{ e^{\beta} - e^{- \beta} }{2} \right)
\\ & = \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} + e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta}) + \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} - e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta})
\\ & = \frac{2}{4} (e^{\alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta} )
\\ & = \frac{ e^{\alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta} }{2}
\\ & = \mathrm{(左辺)}
\end{align*}\]

[2] \( \sinh ( \alpha - \beta ) = \sinh \alpha \cosh \beta - \cosh \alpha \sinh \beta \) の証明　

\[\begin{align*}
\mathrm{ (左辺) } & = \frac{ e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta } }{2}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\mathrm{ (右辺) } & = \left( \frac{ e^{\alpha} - e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{ e^{\beta} + e^{- \beta} }{2} \right) + \left( \frac{ e^{\alpha} + e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{ e^{\beta} - e^{- \beta} }{2} \right)
\\ & = \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} + e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta}) - \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} - e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta} - e^{- \alpha - \beta})
\\ & = \frac{2}{4} (e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta} )
\\ & = \frac{ e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta } }{2}
\\ & = \mathrm{(左辺)}
\end{align*}\]

[3] \( \cosh ( \alpha + \beta ) = \cosh \alpha \cosh \beta \textcolor{red}{+} \sinh \alpha \sinh \beta \) の証明

\[\begin{align*}
\mathrm{ (左辺) } & = \frac{ e^{\alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta } }{2}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\mathrm{ (右辺) } & = \left( \frac{ e^{\alpha} + e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{ e^{\beta} + e^{- \beta} }{2} \right) + \left( \frac{e^{\alpha} - e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{e^{\beta} - e^{- \beta} }{2} \right)
\\ & = \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} + e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta}) + \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} - e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta})
\\ & = \frac{2}{4} (e^{\alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta} )
\\ & = \frac{ e^{\alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta} }{2}
\\ & = \mathrm{(左辺)}
\end{align*}\]

[4] \( \cosh ( \alpha - \beta ) = \cosh \alpha \cosh \beta \textcolor{red}{-} \sinh \alpha \sinh \beta \) の証明

\[\begin{align*}
\mathrm{ (左辺) } & = \frac{ e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta } }{2}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\mathrm{ (右辺) } & = \left( \frac{ e^{\alpha} + e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{ e^{\beta} + e^{- \beta} }{2} \right) + \left( \frac{e^{\alpha} - e^{- \alpha} }{2} \right) \left( \frac{e^{\beta} - e^{- \beta} }{2} \right)
\\ & = \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} + e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta}) - \frac{1}{4} ( e^{\alpha + \beta} - e^{\alpha - \beta} - e^{- \alpha + \beta} + e^{- \alpha - \beta})
\\ & = \frac{2}{4} (e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta} )
\\ & = \frac{ e^{\alpha - \beta} + e^{- \alpha + \beta } }{2}
\\ & = \mathrm{(左辺)}
\end{align*}\]

[5] \[
\tanh ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tanh \alpha + \tanh \beta }{ 1 \textcolor{red}{+} \tanh \alpha \tanh \beta }
\]の証明

\[\begin{align*}
\mathrm{ (左辺) } & = \tanh ( \alpha + \beta )
\\ & = \frac{ \sinh ( \alpha + \beta ) }{ \cosh ( \alpha + \beta ) }
\\ & = \frac{ \sinh \alpha \cosh \beta + \cosh \alpha \sinh \beta }{ \cosh \alpha \cosh \beta + \sinh \alpha \sinh \beta }
\\ & = \frac{ (\sinh \alpha \cosh \beta + \cosh \alpha \sinh \beta) \cdot \frac{1}{ \cosh \alpha \cosh \beta } }{ (\cosh \alpha \cosh \beta + \sinh \alpha \sinh \beta) \cdot \frac{1}{ \cosh \alpha \cosh \beta } }
\\ & = \frac{ \frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha} + \frac{\sinh \beta}{\cosh \beta} }{ 1 + \frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha} \cdot \frac{\sinh \beta}{\cosh \beta} }
\\ & = \frac{ \tanh \alpha + \tanh \beta }{ 1 + \tanh \alpha \tanh \beta }
\\ & = \mathrm{(右辺)}
\end{align*}\]

手順としては、

1. \( \tanh x = \frac{\sinh x }{ \cosh x } \) の公式を適用
2. 加法定理で \( \sinh ( \alpha + \beta ) \), \( \cosh ( \alpha + \beta ) \) を分解する
3. 分子分母 \( \cosh \alpha \cosh \beta \) で割る

で証明が可能です。

[6] \[
\tanh ( \alpha - \beta ) = \frac{ \tanh \alpha - \tanh \beta }{ 1 \textcolor{red}{-} \tanh \alpha \tanh \beta }
\]の証明

\[\begin{align*}
\mathrm{ (左辺) } & = \tanh ( \alpha - \beta )
\\ & = \frac{ \sinh ( \alpha - \beta ) }{ \cosh ( \alpha - \beta ) }
\\ & = \frac{ \sinh \alpha \cosh \beta - \cosh \alpha \sinh \beta }{ \cosh \alpha \cosh \beta - \sinh \alpha \sinh \beta }
\\ & = \frac{ (\sinh \alpha \cosh \beta - \cosh \alpha \sinh \beta) \cdot \frac{1}{ \cosh \alpha \cosh \beta } }{ (\cosh \alpha \cosh \beta - \sinh \alpha \sinh \beta) \cdot \frac{1}{ \cosh \alpha \cosh \beta } }
\\ & = \frac{ \frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha} - \frac{\sinh \beta}{\cosh \beta} }{ 1 - \frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha} \cdot \frac{\sinh \beta}{\cosh \beta} }
\\ & = \frac{ \tanh \alpha - \tanh \beta }{ 1 - \tanh \alpha \tanh \beta }
\\ & = \mathrm{(右辺)}
\end{align*}\]※ 符号が変わる以外は \( \tanh ( \alpha + \beta ) \) のときと証明過程は全く同じです。

5. 双曲線関数の2倍角公式

加法定理から簡単に導けるので覚える必要はありません。聞かれたら加法定理からその場で導出しましょう。

[1] \( \sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x \) の導出

加法定理\[
\sinh ( \alpha + \beta ) = \sinh \alpha \cosh \beta + \cosh \alpha \sinh \beta
\]に、\( \alpha = x \), \( \beta = x \) を代入。

すると、\[\begin{align*}
\sinh 2x & = \sinh (x+x)
\\ & = \sinh x \cosh x + \cosh x \sinh x
\\ & = 2 \sinh x \cosh x
\end{align*}\]と導出できる。

[2] \( \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x \) の導出

加法定理\[
\cosh ( \alpha + \beta ) = \cosh \alpha \cosh \beta + \sinh \alpha \sinh \beta
\]に、\( \alpha = x \), \( \beta = x \) を代入。

すると、\[\begin{align*}
\cosh 2x & = \cosh (x+x)
\\ & = \cosh x \cosh x + \sinh x \sinh x
\\ & = \cosh^2 x + \sinh^2 x
\end{align*}\]と導出できる。

さらに、\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \) を使うことで、残り2種類の公式も導出可能。

\[\begin{align*}
\cosh 2x & = \cosh^2 x + \sinh^2 x
\\ & = \cosh^2 x + \sinh^2 x - 1 + (\cosh^2 x - \sinh^2 x )
\\ & = 2 \cosh^2 x - 1
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\cosh 2x & = \cosh^2 x + \sinh^2 x
\\ & = \cosh^2 x + \sinh^2 x + 1 - (\cosh^2 x - \sinh^2 x )
\\ & = 1 + 2 \sinh^2 x
\end{align*}\]

[3] \( \tanh 2x = \frac{ 2 \tanh x }{1 + \tanh^2 x} \) の導出

加法定理\[
\tanh ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tanh \alpha + \tanh \beta }{ 1 \textcolor{red}{+} \tanh \alpha \tanh \beta }
\]に、\( \alpha = x \), \( \beta = x \) を代入。

\[\begin{align*}
\tanh 2x & = \tanh (x+x)
\\ & = \frac{ \tanh x + \tanh x }{ 1 + \tanh x \tanh x }
\\ & = \frac{ 2 \tanh x }{ 1 + \tanh^2 x }
\end{align*}\]

6. 双曲線関数の3倍角公式

加法定理と2倍角の公式から導ける上に出てくる頻度がめったにないので覚える必要はありません。聞かれたら加法定理からその場で導出しましょう。

[1] \( \sinh 3x = 3 \sinh x \textcolor{red}{+} 4 \sinh^3 x \) の導出

加法定理\[
\sinh ( \alpha + \beta ) = \sinh \alpha \cosh \beta + \cosh \alpha \sinh \beta
\]に、\( \alpha =2x \), \( \beta = x \) を代入。

さらに、倍角の公式、双曲線関数の基本変形公式\[\begin{align*}
\sinh 2x & = 2 \sinh x \cosh x \\
\cosh 2x & = 1 \textcolor{red}{+} 2 \sinh^2 x \\
\cosh^2 x & = 1 + \sinh^2 x \ \ \ (\because \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1)
\end{align*}\]を利用。

すると、\[\begin{align*}
\sinh 3x & = \sinh (2x+x)
\\ & = \sinh 2x \cosh x + \cosh2x \sinh x
\\ & = ( 2 \sinh x \cosh x ) \cosh x + (1 + 2 \sinh^2 x) \sinh x
\\ & = 2 \sinh x \cosh^2 x + \sinh x + 2 \sinh^3 x
\\ & = 2 \sinh x (1 + \sinh^2 x) + \sinh x + 2 \sinh^3 x
\\ & = 2 \sinh x + 2 \sinh^3 x + \sinh x + 2 \sinh^3 x
\\ & = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x
\end{align*}\]と導出できる。

[2] \( \cosh 3x = 4 \cosh^3 x - 3 \cosh x \) の導出

加法定理\[
\cosh ( \alpha + \beta ) = \cosh \alpha \cosh \beta + \sinh \alpha \sinh \beta
\]に、\( \alpha =2x \), \( \beta = x \) を代入。

さらに、倍角の公式、双曲線関数の基本変形公式\[\begin{align*}
\sinh 2x & = 2 \sinh x \cosh x \\
\cosh 2x & = 2 \cosh^2 x - 1 \\
\sinh^2 x & = \cosh^2 x - 1 \ \ \ (\because \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1)
\end{align*}\]を利用。

すると、\[\begin{align*}
\cosh 3x & = \cosh (2x+x)
\\ & = \cosh 2x \cosh x + \sinh 2x \sinh x
\\ & = \cosh 2x \cosh x + \sinh 2x \sinh x
\\ & = (2 \cosh^2 x - 1) \cosh x + (2 \sinh x \cosh x) \sinh x
\\ & = 2 \cosh^3 x - \cosh x + 2 \sinh^2 x \cosh x
\\ & = 2 \cosh^3 x - \cosh x + 2 (\cosh^2 x - 1) \cosh x
\\ & = 2 \cosh^3 x - \cosh x + 2 \cosh^3 x - 2 \cosh x
\\ & = 4 \cosh^3 - 3 \cosh x
\end{align*}\]と導出できる。

[3] \( \tanh 3 x = \frac{ 3 \tanh x \textcolor{red}{+} \tanh^3 x }{1 \textcolor{red}{+} 3 \tanh^2 x} \) の導出

加法定理\[
\tanh ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tanh \alpha + \tanh \beta }{ 1 \textcolor{red}{+} \tanh \alpha \tanh \beta }
\]に、\( \alpha =2x \), \( \beta = x \) を代入。

さらに、倍角の公式\[\begin{align*}
\tanh 2x = \frac{ 2 \tanh x }{1 + \tanh^2 x}
\end{align*}\]を利用。

すると、\[\begin{align*}
\tanh 3x & = \tanh (2x+x)
\\ & = \frac{ \tanh 2x + \tan x }{ 1 + \tanh 2x \tanh x }
\\ & = \frac{ \frac{ 2 \tanh x }{1 + \tanh^2 x} + \tanh x }{ 1 + \frac{ 2 \tanh x }{1 + \tanh^2 x} \cdot \tanh x }
\\ & = \frac{ \frac{ 2 \tanh x + \tanh x (1 + \tanh^2 x) }{1 + \tanh^2 x} }{ \frac{ 1 + \tanh^2 x + 2 \tanh^2 x }{1 + \tanh^2 x} }
\\ & = \frac{ 2 \tanh x + \tanh x (1 + \tanh^2 x) }{ 1 + \tanh^2 x + 2 \tanh^2 x }
\\ & = \frac{ 2 \tanh x + \tanh + \tanh^3 x }{ 1 + 3 \tanh^2 x }
\\ & = \frac{ 3 \tanh x + \tanh^3 x }{ 1 + 3 \tanh^2 x }
\end{align*}\]と導出できる。

7. 双曲線関数の積和公式

積分をするときにもしかしたら使うかもしれない公式ですが、加法定理から導出できるので導出方法だけ確認しておきましょう。

[1]\[
\sinh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sinh ( \alpha + \beta ) + \sinh ( \alpha - \beta ) \right\}
\]の導出

[2]\[
\cosh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sinh ( \alpha + \beta ) - \sinh ( \alpha - \beta ) \right\}
\]の導出

[3]\[
\cosh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2} \left\{ \cosh ( \alpha + \beta ) + \cosh ( \alpha - \beta ) \right\}
\]の導出

[4]\[
\sinh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2} \left\{ \cosh ( \alpha + \beta ) - \cosh ( \alpha - \beta ) \right\}
\]の導出

※ 練習問題は、補充編1-2（双曲線関数の微分積分編）で積分と共に出したいと思います。

8. さいごに

今回は、双曲線関数の中でも定義や基本的な公式を中心に解説をしていきました。

色々と説明しましたが、特に覚えていてほしいのは、

• 双曲線関数の定義式（\( e \) を用いた形）
• 双曲線関数のグラフの概形
• 双曲線関数の基本公式
• 双曲線関数の加法定理

の4つです。

この4種類の式は下にまとめているので、テスト前に見返す際などにご利用ください。

次回（補充編1-2）では、双曲線関数の微分、積分、マクローリン展開について解説をしていきたいと思います。それではまた次回。

前編の「うさぎ模試　1年後期解析学　フォーム編」にて、解析学で使う知識の確認はできましたでしょうか。

後編ではより実践的な解析学の力をつけるために、記述型の問題を5問用意しました！

※ まだ前編（フォーム式）にチャレンジしていない方は、前編からすることをおすすめします！

時間がある人はじっくり、時間がない人は素早くこの記事にて1年後期で習う解析学の復習をしましょう！

本記事では、前編と同じく練習問題の解説を載せております。さらに、要点を

• 試験で必要な知識：青色の枠
• 試験で必要な解き方：赤色の枠

などでまとめております。

※ 採点は各自でお願いします。

問題1. 2変数関数の極値

[解答]

 (1) (0,0), (-1,-2)  [2点+3点=5点]
 (2) 極小値をもつ（極小値：-1）[5点]

[解説]

(1) 2変数関数 \( f(x,y) \) が点 \( (a,b) \) において、\[
f_{x} (a,b) =f_{y} (a,b) = 0
\]を満たす点が停留点となる。

まず、2変数関数 \( f(x,y) \) を \( x \), \( y \) それぞれで偏微分する。\[
f_{x} = 4x^3 + 12x - 8y \]\[
f_{y} = 4y - 8x
\]ここで、停留点であれば、\[
f_{y} = 4y - 8x = 0
\]が成り立つので、\( 4y = 8x \)、つまり \( y = 2x \) が成立する。

また、停留点であれば\[\begin{align*}
f_{x} & = 4x^3 + 12x - 8y
\\ & = 4x^3 + 12x - 16x
\\ & = 4x^3 - 4x
\\ & = 4x (x^2 - 1)
\\ & = 4x (x + 1)(x - 1) = 0
\end{align*}\]も成立する。

よって停留点の \( x \) 座標は \( x = -1, 0, 1 \) の3つにしぼられる。

また、\( y = 2x \) より、それぞれの停留点は \( (0,0) \), \( (1,2) \), \( (-1,-2) \) となる。

よって \( (1,2) \) 以外の停留点は \( (-1,-2) \), \( (0,0) \) となる。

(2) \( f(x,y) \) の2次導関数を求めると、\[
f_{xx} = 12x^2 + 12 \]\[
f_{xy} = -8 \]\[
f_{yy} = 4
\]となる。\( (x,y) = (1,2) \) のとき、ヘッセ行列 \( H \) は\[\begin{align*}
H & = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{array} \right|
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} 24 & -8 \\ -8 & 4 \end{array} \right|
\\ & = 8 \cdot 4 \left| \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{array} \right|
\\ & = 32 \cdot (3-2)
\\ & = 32 > 0
\end{align*} \]なので、\( (1,2) \) は極値となることがわかる。さらに \( (1,2) \) のとき、\[
f_{xx} = 24 > 0
\]なので、点 \( (1,2) \) は極小値を持つ。

前編でも公式を紹介しましたが、念のためもう1度確認しておきましょう。

2変数関数の極値を求める方法についての更なる復習はこちらをご覧ください。

問題2. 条件付き2変数関数の極値

[解答]

極値：1/2, -1/2

[解説]

\( g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 \) とする。すると、\[
f_{x} = y ,  \ \ \ f_{y} = x \]\[
g_{x} = 2x, \ \ \ g_{y} = 2y
\]となるのでラグランジュの未定乗数法により\[\begin{align*}
H & = \left| \begin{array}{ccc} f_{x} & g_{x} \\ f_{y} & g_{y} \end{array} \right|
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} y & 2x \\ x & 2y \end{array} \right|
\\ & = 2y^2 - 2x^2
\\ & = 2(y^2 - x^2)
\\ & = 2(y-x)(y+x)
\\ & = 0
\end{align*} \]つまり \( y - x = 0 \) or \( y + x = 0 \) が成立する。

よって、\( y = \pm x \) も成立するので、\( g(x,y) = 0 \) に代入して候補点を求める。\[\begin{align*} 
g(x) & =
x^2 + (\pm x)^2 - 1
\\ & = x^2 + x^2 - 1
\\ & = 2x^2 - 1
\\ & = 0
\end{align*} \]となるので、\( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) が候補点の \( x \) 座標。

ここで \( y = \pm x \) より、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}, \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)
\]が極値の候補点（全部で4点）となる。ただし符号は複号任意。

あとは4点を \( f(x,y) \) に代入することで極値を求める。

(i) \( (x,y) = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} ,\pm \frac{ \sqrt{2} }{2}  \right) \) のとき（複号同順）

\[\begin{align*}
f(x,y) & = xy  \\ & = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \cdot \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\] 

(ii) \( (x,y) = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} ,\mp \frac{ \sqrt{2} }{2}  \right) \) のとき（複号同順）

\[\begin{align*}
f(x,y) & = xy  \\ & = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \cdot \left( \mp \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \\ & = - \frac{1}{2}
\end{align*}\] となるので、

極値は、1/2, -1/2 となる。（極大値は1/2、極小値は-1/2）

条件付きの2変数関数の極値（ラグランジュの未定乗数法）についてさらなる復習をしたい人はこちら！

問題3. 2重積分の基礎

[解答]

(1) 下の解説を参照
(2) 2

[解説]

(1) 下の図のようになる。

ついでに積分範囲も交換する。

(2) \( y \) 側の積分領域に文字が含まれているため、\( y \) から先に積分しなければならない。

しかし、積分 \[ \int \frac{ \sin y }{ y } \ dy \] の不定積分は求められない。

そこで、積分順序を入れ替えることで、\( x \) から積分できるようにする。積分範囲を入れ替えると、\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq x \leqq y, \ 0 \leqq y \leqq \pi \ \}
\]となる。よって、\[
\iint_{D} \frac{ \sin y }{ y} \ dxdy = \int^{\pi}_0 \left( \int^{y}_0 \frac{ \sin y }{ y } \ dx \right) \ dy
\]の計算をすればよい。

ここで、\[\begin{align*}
\int^{y}_0 \frac{ \sin y }{ y } \ dx & =
\frac{ \sin y }{ y } \int^{y}_0 1 \ dx \\ & =
\frac{ \sin y }{ y } \left[ x \right]^{y}_0  \\ & =
\frac{ \sin y }{ y } \cdot y \\ & =
\sin y
\end{align*}\]となるので、\[\begin{align*}
\iint_{D} \frac{ \sin y }{ y} \ dxdy & = \int^{\pi}_0 \left( \int^{y}_0 \frac{ \sin y }{ y } \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{\pi}_0 \sin y \ dy
\\ & = \left[ - \cos y \right]^{\pi}_0
\\ & = 1 + 1
\\ & = 2
\end{align*}\]と計算できる。

積分範囲の交換、および2重積分の基本的な問題を解く練習をさらにしたい方はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part23　2重積分の基礎・積分範囲の交換

今回は2重積分の基礎部分、および積分範囲の交換方法についてまとめています。2重積分とはどのようなものなのかを図などでわかり

問題4. 2重積分と変数変換

[解答]

(1) 変数変換：\( x + y = 2p \), \( x - y = 2q \)、ヤコビアン：2  [5点]
(2) \( \frac{9}{2} (e^4 - 1) \)  [5点]

[解説] 

(1) \( x + y = 2p \), \( x - y = 2q \) とする。すると、\[
2x = 2p + 2q, \ \ \ 2y = 2p - 2q 
\]より、\[
\left\{ \begin{array}{l} x = p + q \\ y = p - q \end{array}\right. 
\]となる。よってヤコビアン \( J \) は\[\begin{align*}
J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial p} & \frac{\partial x}{\partial q} \\ \frac{\partial y}{\partial p} & \frac{\partial y}{\partial q} \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| 
\\ = & -2
\end{align*}\]の絶対値となるので、\[
dxdy = 2 \ dpdq \]\[
D'= \{ (p,q) \mid 0 \leqq p \leqq 3, \ 0 \leqq q \leqq 1 \ \}
\]となる。

(2) (1)より、\[\begin{align*}
\iint_{D} (x^2 - y^2) e^{ (x-y)^2 } \ dxdy & = 
\iint_{D'} 2 \cdot 4pq e^{ 4q^2 } \ dpdq \\ & =
\int^{3}_{0} p \ dp \cdot \int^{1}_{0} 8 qe^{ 4q^{2} } \ dq
\end{align*}\]を計算すればよい。

それぞれの積分を求めると、\[\begin{align*}
\int^{3}_{0} p \ dp & = \left[ \frac{1}{2} p^2 \right]^{3}_{0}
\\ & = \frac{1}{2} \cdot 3^2
\\ & = \frac{9}{2}
\end{align*} \]、\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} 8 qe^{ 4q^{2} } \ dq & = \left[ e^{ 4q^{2} } \right]^{1}_{0}
\\ & = e^4 - 1
\end{align*} \]となるので、\[\begin{align*}
\iint_{D} (x^2 - y^2) e^{ (x-y)^2 } \ dxdy & = 
\iint_{D'} 2 \cdot 4pq e^{ 4q^2 } \ dpdq \\ & =
\int^{3}_{0} p \ dp \cdot \int^{1}_{0} 8 qe^{ 4q^{2} } \ dq \\ & =
\frac{9}{2}(e^4 - 1)
\end{align*}\]となる。

変数変換（ヤコビアン）を用いた2重積分の練習をさらにしたい方はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part24　変数変換を用いた2重積分の求め方・ヤコビアン

今回は置換積分の2重積分バージョンである変数変換を用いた2重積分の求め方、および置換する際に必要なヤコビアンについて例題や

問題5. 2重積分と変数変換

[解答]

(1) \( a \gt 1 \)  [5点]
(2) \( \frac{\pi}{a-1} \)  [5点]

[解説]

(1) \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) とすると、ヤコビアンは \( r \) となるので、\[
dxdy = r \ dr d \theta
\]となる。また、積分領域 \( D' \) は、\[\begin{align*}
D' = \{ (r, \theta ) \mid 0 \leqq r , \ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \ \}
\end{align*}\]となる。よって、\[\begin{align*}
\iint_{D} \frac{1}{ (x^2 + y^2 + 1)^a } \ dxdy & = \iint_{D'} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr
\end{align*}\]を求めればよい（広義積分に注意）。

ここで広義積分となっている \( r \) の積分について考える。\[\begin{align*}
\int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr & = \frac{1}{2} \int^{R}_{0} 2r (r^2+1)^{-a} \ dr
\\ & = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1-a} \cdot (r^2+1)^{-a+1} \right]^{R}_{0}
\\ & = \frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( (R^2+1)^{1-a}  - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( (R^2+1)^{1-a}  - 1 \right)
\end{align*} \]となる。

よって\( R \to \infty \) のときに \(  (R^2+1)^{1-a} \) を収束させるためには、\( 1 - a \lt 0 \) であればよい。

つまり、\( a \gt 1 \) のときに広義積分が存在（収束）する。

(2) \( a \gt 1 \) とすると、\[\begin{align*} &
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr \\ = \ &
\lim_{R \to \infty} \left (\frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( (R^2+1)^{1-a}  - 1 \right) \right)\\ = \ &
\left (\frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( 0  - 1 \right) \right)\\ = \ &
\frac{1}{2(a-1)}
\end{align*} \]となる。

さらに、\[ \begin{align*}
\int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta = 2 \pi
\end{align*} \]なので、\[\begin{align*}
\iint_{D} \frac{1}{ (x^2 + y^2 + 1)^a } \ dxdy & = \iint_{D'} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr
\\ & = 2 \pi \cdot \frac{1}{2(a-1)}
\\ & = \frac{\pi}{a-1} 
\end{align*}\]となる。

2変数の広義積分を解く練習をさらにしたい人はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part26　広義2重積分・ガウス積分

今回は広義2重積分、およびガウス積分の導出方法についてまとめています。広義2重積分とはどんなものなのか、どうやって計算する

そろそろ1年生も終わりになる時期だと思います。

しかし、「あぁぁ解析学わかんねぇ難しすぎる」って思ってる人、諦めないでください！！

この私が、1年後期の解析学を試験前日でも4時間あれば総復習ができるように10題の練習問題を作成しました！

前編では基本的な事項を確認するためのフォーム型の問題を5問用意しました！

時間がある人はじっくり、時間がない人は素早くこの記事にて1年後期の解析の復習をしましょう！

本記事では、練習問題の解説を載せております。さらに、要点を

• 試験で必要な知識：青色の枠
• 試験で必要な解き方：赤色の枠

などでまとめております。

1. 小問集合

次の2変数関数の極限を計算したい。(i)～(iv)の問いに答えなさい。\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{2x^2 + 3y^4}
\]

(1) 2変数関数の極値

解答：0 [1点]

1年前期の解析学や、数3と同じ

\[\begin{align*}
a & = \lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{x^2y}{2x^4 + 3y^2} \right)
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 0}{2x^4 }
\\ & = \lim_{x \to 0} 0
\\ & = 0
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
b & = \lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} \frac{x^2y}{2x^4 + 3y^2} \right)
\\ & = \lim_{y \to 0} \frac{0 \cdot y^2}{3y^2}
\\ & = \lim_{y \to 0} 0
\\ & = 0
\end{align*}\]となる。

よって、\( a = 0 \), \( b = 0 \) より成り立つ関係式は \( a = b \) が答え。（マーク番号0）

(ii) 問題

点 \( (x,y) \) を \( y = mx^2 \) に沿って原点 \( (0,0) \) に近づける。\[
\lim_{ \substack{x \to 0 \\ y = mx^2} } \frac{ xy^2 }{2x^2 + 3y^4 } = \left[ \ \ \ 2 \ \ \ \right] 
\]

このときの極限値を \( m \) を用いて表したものとして、正しいものを選択肢から選び、[　2　] にマークしなさい。

解答：9 [1点]

\( y = mx^{ 2 } \) としてから \( x \to 0 \) に極限を飛ばしましょう。\[\begin{align*}
\lim_{ \substack{x \to 0 \\ y = mx^2} } \frac{x^2y}{2x^4 + 3y^2} & = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot (mx^2)}{2x^4 + 3 (mx^2)^2}
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{2x^4 + 3m^2 x^4}
\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{m}{2+ 3m^2}
\\ & = \frac{m}{2+ 3m^2}
\\ & = \frac{m}{3m^2+ 2}
\end{align*}\]となるため、マーク番号9が答え。

(iii) 問題

つぎの2変数関数の極限値\[
c = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{2x^4 + 3y^2}
\]に関する文章の空欄（　ア　）、（　イ　）を正しく埋める選択肢の組み合わせとして正しいものを1つ選び、[　3　] にマークしなさい。

解答: 3 [1点]

(ii)で、\( y = mx^2 \) とおいてから \( x \to 0 \) としたときに\[
c = \lim_{ \substack{x \to 0 \\ y = mx^2} } \frac{x^2 y }{2x^4 + 3y^2 } = \frac{m}{3m^2+ 2}
\]となっていましたね。

ここで、\( m \) は問題文で勝手におかれた極限とは関係のない変数ですね。なので、\( m \) の値を変えると計算結果が変わるという現象が発生します。

\( m \) の値が変わったら \( c \) の値も変化するってことは極限とは言えません。なので答えは3です。

解答: 1 [1点]

\( (x,y) \) を原点 \( (0,0) \) まで近づけると、(iii) より、\( m \) の値によって依存するような値\[
\frac{m}{3m^2 + 2}
\]を取るのでしたね。

なので、原点で連続ではありません。よって答えは1。

2変数関数の極限についての復習記事はこちら！

(2) C2級関数とは

解答：7 [1点]

• 2回偏微分可能（2次までの偏導関数が存在）
• 2次までの偏導関数がすべて連続

の2つを満たしたものを \( C_{2} \) 級関数といいます。

※ \( f_{xx} \), \( f_{xy} \), \( f_{yx} \), \( f_{yy} \) がすべて存在して連続であれば \( C_2 \) 級関数ということができます。

(3) 全微分

問題

関数 \( f(x,y) \) を全微分した結果 \( df \) として正しい式を選び、マーク番号 [　6　] にマークしなさい。

解答: 2 [1点]

公式を復習しといてください。

全微分についてさらに復習したい方はこちらをご覧ください！

(4) 2変数の極値

問題

2変数関数 \( f(x,y) \) がある点 \( (a,b) \) において極大値を持つとする。このとき成立する関係式として正しいものを2つ選び、マーク番号 [   7   ] にマークしなさい。

ただし、行列 \( X \) を\[
X = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} (a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{array} \right|
\]とする。なお、この行列式 \( |X| \) は [   8   ] と呼ばれる。

[2022/02/13 修正] 正答が3個以上存在しないようにするため、選択肢6～8を変えました。

★ 解答 ★

No.07 0,5 [完答1点]
No.08 5 [1点]

公式を確認してください。

2変数関数の極値（条件なし）についてのより詳細な記事はこちら！

(5) 陰関数の極値

問題

次の陰関数に関する文章の空欄 (　ア　）、（　イ　）を正しく埋める選択肢の組み合わせとして正しいものを1つ選び、[　9　] にマークしなさい。

陰関数で与えられた方程式 \( f(x,y) = 0 \) からなる関数の導関数 \( \frac{dy}{dx} \) が存在するための条件は（　ア　）である。また、（　ア　）を満たすとき、導関数 \( \frac{dy}{dx} \) は（　イ　）で求めることができる。

解答: 3 [1点]

方程式 \( f(x,y) = 0 \) で定まる関数 \( y = g(x) \) があるとする。

式の両辺を \( x \) で微分すると、\[
\frac{d}{dx} f(x,g(x) ) = f_x + \frac{dy}{dx} f_y = 0
\]となるので、\[
\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y}
\]を導くことができる。。

また、\( - \frac{f_x}{f_y} \) の分母が0になったら陰関数は存在しないので \( f_{y} \not = 0 \) が陰関数が存在する条件となり、組み合わせとして正しい選択肢は3となる。

陰関数表示された関数の導関数を偏微分を用いて求める方法はこちら！

(6) ヤコビアン計算

問題

ある関数の2重積分を求めるために \( x = ar \cos \theta \), \( y = br \sin \theta \) と変数変換を行った。このときのヤコビ行列式の値として正しいものを [  10  ] にマークしなさい。

解答: 3 [1点]

\( x = ar \cos \theta \), \( y = br \sin \theta \) と変数変換を行ったときのヤコビ行列式（ヤコビアン）は、\[ \begin{align*}
J  & =  \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| 
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} a \cos \theta & - ar \sin \theta \\ b \sin \theta & br \cos \theta \end{array} \right| 
\\ & = abr \cos^2 \theta + abr \sin^2 \theta
\\ & = abr \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right)
\\ & = abr
\end{align*} \]と計算できるので答えは \( abr \) となり、マーク番号3が答え。

※ この変数変換は範囲 \( D \) が楕円になっているときに使えます。

ヤコビアンについてのより詳細な記事はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part24　変数変換を用いた2重積分の求め方・ヤコビアン

今回は置換積分の2重積分バージョンである変数変換を用いた2重積分の求め方、および置換する際に必要なヤコビアンについて例題や

２．偏微分・合成関数の微分

(1) 偏微分

問題

つぎの [  11  ] ～ [  14  ] に当てはまる答えを下の解答群から選び、マークしなさい。

[2010年度EMaT　微分・積分問4]

2変数関数\[
f(x,y) = \log (x^2 + y^2)
\]を考える。ただし \( (x,y) \not = (0,0) \) とする。

(i) 偏導関数は、\[
\frac{ \partial f }{ \partial x} = \left[ \ \ 11 \ \ \right]  , \ \ \
\frac{ \partial f }{ \partial y} = \left[ \ \ 12 \ \ \right]
\]となる。

(ii) さらに、\[
\frac{ \partial^2 f }{ \partial y \partial x } = \left[ \ \ 13 \ \ \right]  \]\[
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2} + \frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2} = \left[ \ \ 14 \ \ \right] \]と計算できる。

★解答★

No.11: 4 [1点]
No.12: 5 [1点]
No.13: 13 [2点]
No.14: 0 [2点]

(i) 偏微分は、微分する変数以外はすべて定数と考えるのがポイント！

\( f(x,y) \) を \( x \) について微分する場合は、\( \textcolor{red}{x} \) 以外はすべて定数となる。\[
\log ( \textcolor{red}{x}^2 + y^2)
\]※色のついていない文字はすべて定数だと思って計算すればOK

よって、\[\begin{align*}
\frac{ \partial f }{ \partial \textcolor{red}{x}} & = \frac{(\textcolor{red}{x}^2 + y^2)'}{\textcolor{red}{x}^2+y^2}
\\ & = \frac{2x}{x^2+y^2}
\end{align*}\]と計算できるため、答えは4。

同じように \( y \) について微分する場合は、\( \textcolor{blue}{y} \) 以外はすべて定数としてみればOK。\[
\log ( x^2 + \textcolor{blue}{y}^2)
\]※色のついていない文字はすべて定数だと思って計算すればOK

よって、\[\begin{align*}
\frac{ \partial f }{ \partial \textcolor{blue}{y}} & = \frac{(x^2 + \textcolor{blue}{y}^2)'}{x^2 + \textcolor{blue}{y}^2}
\\ & =  \frac{2y}{x^2+y^2}
\end{align*}\]と計算できるため、答えは5。

(ii) 2次偏導関数は、1次の偏導関数をさらに偏微分すればOK。

例えば、\[
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2}
\]であれば、\( \frac{ \partial f }{ \partial x } \) をさらに \( x \) で偏微分すればOK。

また、\[
\frac{ \partial^2 f }{ \textcolor{red}{\partial y \partial x} }
\]であれば、\( \frac{ \partial f }{ \partial x } \) をさらに \( y \) で偏微分すればOKです。

※ 赤色部分に要注意！　偏微分した順に右から書いていきます。

なので、\[\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial y \partial x } & = \frac{ \partial }{ \partial y} \left( \frac{ \partial f }{ \partial x} \right)
\\ & = \frac{ \partial }{ \partial \textcolor{blue}{y}} \left( \frac{2x}{x^2+\textcolor{blue}{y}^2} \right)
\\ & = \frac{- 2x \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2}
\\ & = \frac{ -4xy }{(x^2+y^2)^2}
\end{align*}\]と計算でき、答えは13。

また、\[\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2} & = \frac{ \partial }{ \partial x} \left( \frac{ \partial f }{ \partial x} \right)
\\ & = \frac{ \partial }{ \partial \textcolor{red}{x}} \left( \frac{2 \textcolor{red}{x}}{ \textcolor{red}{x}^2+y^2} \right)
\\ & = \frac{2 \cdot (x^2 + y^2) - 2x \cdot 2x}{ (x^2+y^2)^2 }
\\ & = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2}{ (x^2+y^2)^2 }
\\ & = \frac{-2x^2 + 2y^2}{ (x^2+y^2)^2 }
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2} & = \frac{ \partial }{ \partial y} \left( \frac{ \partial f }{ \partial y} \right)
\\ & = \frac{ \partial }{ \partial \textcolor{blue}{y}} \left( \frac{2 \textcolor{blue}{y}}{ x^2+ \textcolor{blue}{y}^2} \right)
\\ & = \frac{2 \cdot (x^2 + y^2) - 2y \cdot 2y}{ (x^2+y^2)^2 }
\\ & = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2}{ (x^2+y^2)^2 }
\\ & = \frac{2x^2 - 2y^2}{ (x^2+y^2)^2 }
\end{align*}\]

と計算できるので、\[\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2} + \frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2} & = \frac{-2x^2 + 2y^2}{ (x^2+y^2)^2 } + \frac{2x^2 - 2y^2}{ (x^2+y^2)^2 }
\\ & = 0
\end{align*}\]となる。

偏微分の基本をもう1度復習したい方はこちら！

(2) 合成関数の微分1

★解答★

No.15: 2 [1点]
No.16: -4 [1点]
No.17: 2 [1点]

2変数関数 \( g(x,y) \) を1変数関数 \( f(t) \) でおいたときの偏微分公式をまずは確認しましょう。

今回は、\( g(x,y) = f(2x-4y) \) とおいているので、\( t = 2x - 4y \) としたときを考えればOK。

ここで、\( \frac{\partial t}{ \partial x } \), \( \frac{\partial t}{ \partial y } \) はそれぞれ\[
\frac{\partial t}{ \partial x } = 2 , \ \ \ \frac{\partial t}{ \partial y } = - 4
\]と計算できる。

よって、1回目の微分は\[\begin{align*}
\frac{\partial g}{ \partial x } & = \frac{\partial t}{ \partial x } \frac{ d f }{ d t}
\\ & = 2 f'(t)
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\frac{\partial g}{ \partial y } & = \frac{\partial t}{ \partial y } \frac{ d f }{ d t}
\\ & = -4 f'(t)
\end{align*}\]と計算できる。

また、2回目の微分は\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 g}{ \partial x^2 } & = \frac{\partial t}{\partial x} \frac{\partial t}{\partial x} \frac{ d^2 f }{ d t^2}
\\ & = 4 f'(t)
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 g}{ \partial x \partial y } & = \frac{\partial t}{\partial x} \frac{\partial t}{\partial y} \frac{ d^2 f }{ d t^2}
\\ & = -8 f'(t)
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 g}{ \partial y^2 } & = \frac{\partial t}{\partial y} \frac{\partial t}{\partial y} \frac{ d^2 f }{ d t^2}
\\ & = 16 f'(t)
\end{align*}\]となるので、\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} & = -8 f'(t) + 16 f'(t)
\\ & = 8 f'(t)
\\ & = 2 \cdot 4 f'(t)
\\ & = 2 \frac{\partial^2 g}{ \partial x^2 }
\end{align*}\]と計算できる。

(3) 合成関数の微分2

問題

\( u, v \) について2回微分可能な2変数関数 \( g(u,v) \)、および2変数関数 \( g(x,y) = f(x+y,xy) \) がある。

ここで、\( u = x+2y \), \( v = xy \) とおいたとき、以下の式が成り立つように [  18  ] ～ [  19  ] に当てはまる式を解答群の中から1つ選びなさい。\[
\frac{\partial g}{\partial y} (x,y) = \left[ \ \ 18 \ \ \right] \frac{\partial f}{\partial u} (x+y,xy) + \left[ \ \ 19 \ \ \right] \frac{\partial f}{\partial v} (x+y,xy)
\]

★解答★

No.18: 2 [1点]
No.19: 3 [1点]

2変数関数 \( g(x,y) \) を2変数関数 \( f(t) \) でおいたときの偏微分公式をまずは確認しましょう。

今回は、\( u = x+2y \), \( v = xy \) とおいているので、\[
\frac{du}{dy} = 2 , \ \ \ \frac{dv}{dy} = x
\]となる。よって、\( \frac{\partial g}{\partial y } \) の計算式は下のようになる。

\[\begin{align*}
\frac{ \partial g }{ \partial y } & = \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial f }{ \partial u } + \frac{ \partial v }{ \partial y } \frac{ \partial f }{ \partial v }
\\ & = 2 \frac{ \partial f }{ \partial u } + x \frac{ \partial f }{ \partial v }
\end{align*}\]となるため、マーク番号は順番に2, 3。

合成関数の偏微分についてさらに復習したい人はこちら！

問題3．偏微分の応用

(1) 2変数マクローリン展開

★解答★

[  20  ]：-1（1点）
[  21  ]：1（1点）
[  22  ]：1（1点）
[  23  ]：-2（1点）
[  24  ]：1（1点）

2次までの2変数マクローリン展開の公式をまずは確認しましょう。

まずは、公式に当てはめて偏微分をしていく。

\[
f(x,y) = \frac{1}{1+x-y} = (1+x-y)^{-1}
\]なので、\[
f_{x}= - (1+x-y)^{-2}, \ \ \ f_{x} (0,0) = -1 \]\[
f_{y}=  (1+x-y)^{-2}, \ \ \ f_{y} (0,0) = 1  \]\[
f_{xx}= 2 (1+x-y)^{-3}, \ \ \ f_{xx} (0,0) = 2 \]\[
f_{xy}= -2 (1+x-y)^{-3}, \ \ \ f_{xy} (0,0) = -2 \]\[
f_{yy}= 2 (1+x-y)^{-3}, \ \ \ f_{yy} (0,0) = 2 \]\[
\]となるので、\[\begin{align*}
f(x,y) & = 1 + f_{x} (0,0) x + f_{y} (0,0) y + \frac{1}{2} \left( f_{xx}  (0,0) x^2 + 2 f_{xy} (0,0) xy + f_{yy} (0,0) y^2  \right)
\\ & = 1 -x + y + x^2 - 2xy + y^2
\\ & = 1 + (-1) x + 1y + 1 x^2 + (-2) xy + y^2
\end{align*}\]となる。

※ スペースの関係上、偏微分を省略記法 \( f_x \) や \( f_{xx} \) などで書いています。

[別解]

\( t = - (x - y) \) とすることで、1変数関数（1年前期解析学レベル）のマクローリン展開に持ち込むことも可能。\[
f(t) = \frac{1}{1-t}
\]のマクローリン展開を求める。すると、\[
f(t) = 1 + t + t^2 + \cdots
\]となるので、\( t = -x + y \) を代入しもとに戻すと\[\begin{align*}
f(x,y) & = 1 + (-x+y) + (-x+y)^2
\\ & = 1 -x + y + x^2 - 2xy + y^2
\\ & = 1 + (-1) x + 1y + 1 x^2 + (-2) xy + y^2
\end{align*}\]となる。

2変数関数のマクローリン展開についてさらに復習したい方はこちら！

(2) 接平面の方程式

問題

つぎの [  25  ] ～ [  28  ] に当てはまる答えを下の解答群から選びなさい（配点　 5）

\[
z = f(x,y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}
\]の \( f(1,1) \) における接平面の方程式を求めたい。\[
f(1,1) = \left[ \ \ 25 \ \ \right]
\]なので接平面の方程式は\[
z = \left[ \ \ 26 \ \ \right] x + \left[ \ \ 27 \ \ \right] y + \left[ \ \ 25 \ \ \right] + \left[ \ \ 28 \ \ \right] 
\]となる。

★解答★

[  25  ]：17（1点）
[  26  ]：9（2点）
[  27  ]：3（2点）
[ 28 ] : 0（2点）

接平面の方程式を確認しましょう。

\( f(1,1) \) は、1年前期の解析学の復習。\[\begin{align*}
f(1,1) & = \tan^{-1} \frac{1}{1}
\\ & = \tan^{-1} 1
\\ & = \frac{\pi}{4}
\end{align*}\]よって、No.25の答えは17。

ここで、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} & = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 } \cdot \left( - \frac{y}{x^2} \right)
\\ & = - \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{y}{x^2}
\\ & = - \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{x^2}
\\ & = - \frac{y}{x^2 + y^2}
\end{align*}\]

ここで、\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 } \cdot \left( \frac{1}{x} \right)
\\ & = - \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x}
\\ & = - \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{x}
\\ & = - \frac{x}{x^2 + y^2}
\end{align*}\]

となるので、\[
\frac{\partial f}{\partial x} (1,1) = - \frac{1}{2}, \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (1,1) = \frac{1}{2}
\]と計算できる。あとは公式に当てはめるだけ。\[\begin{align*}
z & = \frac{\partial f}{\partial x} (1,1) (x-1) + \frac{\partial f}{\partial y} (1,1) (y-1) + f(1,1)
\\ & = - \frac{1}{2} (x-1) + \frac{1}{2} (y-1) + \frac{ \pi }{ 4 }
\\ & = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y + \frac{ \pi }{4} + 0
\end{align*}\]となり、No.26, No.27の答えは順番に9, 3, 0。

接平面についてさらに復習したい方はこちら！

[修正 2022/02/13] マーク番号 No.28 を問題3に追加したため、問題4以降の番号が1つずつずれています。

問題4．2重積分

問題

つぎの [  29  ] ～ [  32  ] に当てはまる選択肢として正しいものをそれぞれの解答群の中から選びなさい。（配点　10）

[2009年度EMaT　微分・積分問6]

2重積分\[
\iint_{D} x e^{y^{2}} \ dxdy \]\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq x \leqq 1, \ x^2 \leqq y \leqq 1\ \}
\]の値を求める。積分範囲 \( D \) を変更すると、\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq y \leqq 1, \ \left[ \ \ 29 \ \ \right]  \leqq x \leqq \left[ \ \ 30 \ \ \right] \ \}
\]となる。よって、\[\begin{align*}
\iint_{D} x e^{y^{2}} \ dxdy & = \int^{1}_{0} \left( \int^{ \left[ \ \ 30 \ \ \right] }_{ \left[ \ \ 28 \ \ \right] } x e^{y^{2}} \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{1}_{0} \left[ \ \ 31 \ \ \right] \ dy
\\ & = \left[ \ \ 32 \ \ \right]
\end{align*}\]と積分を計算することができる。

★解答★

[  29  ]：0（2点）
[  30  ]：4（2点）
[  31  ]：3（3点）
[  32  ]：5（3点）

積分順序を変更する際には、ごり押しでやってもいいのですが、積分範囲を図示してみましょう。

今回は、\( y \) → \( x \) の積分順序を \( x \) → \( y \) に変えたいので、\( 0 \leqq y \leqq 1 \) のもとで、\( D \) と同じ領域を表す \( x \) の範囲を考えます。

すると、\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq y \leqq 1, \ 0 \leqq x \leqq \sqrt{y} \ \}
\]と変換できるので、No.28のマーク番号は0、No.29のマーク番号は4となる。

よって、\[ \begin{align*}
\iint_{D} x e^{y^{2}} \ dxdy & = \int^{1}_{0} \left( \int^{ \sqrt{y} }_{ 0 } x e^{y^{2}} \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{1}_{0} \left( \int^{ \sqrt{y} }_{ 0 } x e^{y^{2}} \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{1}_{0} \left( e^{y^{2}}\int^{ \sqrt{y} }_{ 0 } x  \ dx \right) \ dy
\\ & =  \int^{1}_{0} \left( e^{y^{2}} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]^{ \sqrt{y} }_{ 0 } \right) \ dy 
\\ & =  \int^{1}_{0} e^{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} y \ dy 
\\ & =  \int^{1}_{0} \frac{y}{2} e^{y^{2}} \ dy \ \ \ \left( \left[ \ \ 25 \ \ \right] \to 3 \right)
\\ & = \frac{1}{4} \int^{1}_{0}  2y e^{y^{2}}  \ dy 
\\ & = \frac{1}{4} \left[ e^{ y^{2} } \right]^{1}_{0} \ dy 
\\ & = \frac{1}{4} \left( e - 1 \right)
\\ & = \frac{e-1}{4} \ \ \ \left( \left[ \ \ 26 \ \ \right] \to 5 \right)
\end{align*} \]となるため、No.30のマーク番号は 3 、No.31のマーク番号は 5 となる。

2重積分の基礎についてさらに復習したい人はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part23　2重積分の基礎・積分範囲の交換

今回は2重積分の基礎部分、および積分範囲の交換方法についてまとめています。2重積分とはどのようなものなのかを図などでわかり

問題5．2重積分の応用

問題

つぎの [  33  ] ～ [  35  ] に当てはまる選択肢として正しいものをそれぞれの解答群の中から選びなさい。（配点　 8）

放物面 \( z = x^2 + y^2 \) のうち、2つの平面 \( z = 0 \), \( z = 1 \) にある部分の曲面積を求めたい。ここで、\( z = f(x,y) \) とすると、曲面積は\[
\iint_{D}  \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial x } \right)^2 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial y } \right)^2 } \ dxdy \]\[
D = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 \leqq 1 \ \}
\]で求めることができる。

さらに \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) とすると範囲を\[
D' = \{ (x,y) \mid \left[ \ \ 33 \ \ \right] \ \}
\]と変換することができる。よって、\[\begin{align*}
\iint_{D}  \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial x } \right)^2 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial y } \right)^2 } \ dxdy & = \iint_{D'}  \left[ \ \ 34 \ \ \right] \ dr d \theta
\\ & = \left[ \ \ 35 \ \ \right]
\end{align*} \]と計算できる。

★解答★

No.33 → 1 (3点)
No.34 → 7 (3点)
No.35 → 3 (3点)

まず、積分範囲 \( D' \) を求めるために \( D \) の積分範囲 \( x^2 + y^2 \leqq 1 \) に \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) を代入する。すると、\[\begin{align*}
x^2 + y^2 & \leqq 1 \\
r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta & \leqq 1 \\
r^2 ( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta) & \leqq 1 \\
r^2 & \leqq 1
\end{align*}\]となる。さらに \( r \geqq 0 \) なので \( r \) の範囲は \( 0 \leqq r \leqq 1 \) となる。

また、\( \theta \) の範囲はとくに制限がないため、1周分 \( 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \) が接気分範囲となる。よって、積分範囲 \( D' \) は\[
D' = \{ (r, \theta ) \mid 0 \leqq r \leqq 1, \ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \ \}
\]となる。（ [  32  ] の答えは 1 ）

次にNo.33-No.34の空欄を埋めていく。

まず、ヤコビアン \( J \) は\[\begin{align*}
J  & =  \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| 
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| 
\\ & = r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta
\\ & = r ( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta )
\\ &= r
\end{align*}\]となるので、関係式\[
dxdy = r \ dr d \theta
\]が成り立つ。

ここで、\[
\frac{ \partial f }{ \partial x } = 2x , \ \ \ \frac{ \partial f }{ \partial y } = 2y
\]なので、\[ \begin{align*} &
\iint_{D} \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial x } \right)^2 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial y } \right)^2 } \ dxdy \\ =  & \iint_{D} \sqrt{ 1 + \left( 2x \right)^2 + \left( 2y \right)^2 } \ dxdy
\\ = &  \iint_{D} \sqrt{ 1 + 4x^2 + 4y^2 } \ dxdy
\\ = &  \iint_{D’} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr d \theta
\\ = &  \iint_{D’} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr d \theta
\\ = & \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \int^{1}_{0} r \sqrt{1 + 4r^2} \ dr
\end{align*} \]と変形できる。（マークNo.33の答えは7）

あとはそれぞれの積分を計算するだけ\[ \begin{align*}
\int^{1}_{0} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr & = \frac{1}{8} \int^{1}_{0} 8r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr
\\ & = \frac{1}{8} \left[ \frac{2}{3} ( 1 + 4r^2 )^{ \frac{3}{2} } \right]^{1}_{0}
\\ & = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{12} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right)
\end{align*} \] \[
\int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta  = 2 \pi
\]となるので、\[\begin{align*}
\iint_{D} \sqrt{ 1 + 4x^2 + 4y^2 } \ dxdy & = \iint_{D'} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \ \int^{1}_{0} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr
\\ & = 2 \pi \cdot \frac{1}{12} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{6} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right) \pi
\end{align*} \]となるのでNo.34の答えは 3 となる。

極座標変換 \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) を用いた変数変換について復習したい人はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part25　極座標変換を用いた2重積分の求め方

今回は2変数関数の変換を用いた積分のうち、とくに重要な極座標変換を用いて2重積分の値を求める方法を例題や練習問題などを踏ま

曲平面の求め方について復習したい人はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part27　2重積分の応用（体積・曲面積の求め方）

今回は2重積分を使って立体の体積や表面積を求める方法について例や図、練習問題を踏まえながらわかりやすくまとめています。

「1年前期の解析学の試験まであと1日しかない、あきらめよう。」って思ってる人、諦めないでください！！

試験前日でも数3レベルの知識があれば3時間で総復習ができるように10題の練習問題を作成しました！

こちらでは、積分編の解説記事を記載しております、微分編の解説記事は下のリンクからどうぞ！

時間がある人はじっくり、時間がない人は素早くこの記事にて1年前期の解析学の復習をしましょう！

それぞれの練習問題の解説では、

• 試験で必要な知識：青色の枠
• 試験で必要な解き方：赤色の枠
• 覚えておくと便利な公式: 緑色の枠

で要点をまとめています。

※ 高校レベルの積分に少し不安がある人は、こちらの記事にて復習することをおすすめします。

問題7. ★ 不定積分

問題

次の(1), (2)の不定積分を計算しなさい。ただし(2)は \( t = \tan \frac{x}{2} \) とおいて積分をすること。また、\( C \) を積分定数とする。（配点　10）

(1)\[ \begin{align*}
\int x^2 \log x \ dx & = \frac{1}{3} x^3 \left[ \ \ 25 \ \ \right] - \frac{1}{3} \int \left[ \ \ 26 \ \ \right] \ dx
\\ & = \frac{1}{3} x^3 \left[ \ \ 25 \ \ \right] - \left[ \ \ 27 \ \ \right] + C
\end{align*} \]

(2) \[\begin{align*}
\int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x } \ dx & = \int \left[ \ \ 28 \ \ \right] \ dt
\\ & = \left[ \ \ 29 \ \ \right] + C
\end{align*}\]

(1) 部分積分

まずは部分積分の公式を確認しましょう。

\[\begin{align*}
\int \textcolor{magenta}{x^2} \textcolor{deepskyblue}{\log x} \ dx & = \textcolor{magenta}{\frac{1}{3} x^3} \log x - \int \frac{1}{3} x^3 \cdot \textcolor{deepskyblue}{ \frac{1}{x} }
\\ & = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \ dx
\\ & = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C
\end{align*}\]

(2) t = tan(x/2) とおく積分

\( t = \tan \frac{x}{2} \) とおくことで三角関数が含まれる積分を計算することができます。

よって、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} \ dx & = \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} \ dt
\\ & = \frac{1}{ \frac{1+t^2 + 2t + 1-t^2}{1+t^2} } \cdot \frac{2}{1+t^2} \ dt
\\ & = \frac{1+t^2}{2t + 2} \cdot \frac{2}{1+t^2} \ dt
\\ & = \frac{1}{1+t} \ dt
\\ & = \log \left| 1 + t \right| + C
\\ & = \log \left|1 + \tan \frac{x}{2} \right| + C
\end{align*}\]と計算できる。

★ マーク解答 ★

No.25: 9 [2点]
No.26: 3 [1点]
No.27: 8 [2点]
No.28: 1 [3点]
No.29: 7 [2点]

問題8. ★ 定積分

問題

次の(1)～(3)の定積分を計算しなさい。（配点　10）

(1)\[
\int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{9}{x^2 + 9} \ dx = \left[ \ \ 30 \ \ \right]
\]

※ 訂正 [2021/08/03]
問題用紙PDFの数式が誤っておりました。申し訳ございません。

(2)\[
\int^{\pi}_{0} x^2 \sin x \ dx = \left[ \ \ 31 \ \ \right]
\]

(3) \[
\int^{1}_{0} \frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} = \left[ \ \ 32 \ \ \right]
\]

(1) 三角関数への置換積分（or 逆三角関数へ持ち込む）

(i) 置換積分で解く

\( x = 3 \tan t \) とおく。\[
dx = \frac{3}{ \cos^2 t } \ dt
\]また、積分範囲は以下の表のようになる。

\[\begin{align*}
\int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{9}{x^2+9} \ dx & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } \frac{9}{9 + 9 \tan^2 x } \cdot \frac{3}{ \cos^2 t} \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } \frac{1}{1 + \tan^2 t } \cdot \frac{3}{ \cos^2 t} \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } \cos^2 t \cdot \frac{3}{ \cos^2 t} \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } 3 \ dt
\\ & = \left[ 3t \right]^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} }
\\ & = \frac{3}{4} \pi - \frac{\pi}{2}
\\ & = \frac{\pi}{4}
\end{align*}\]と計算できる。

(ii) 逆三角関数の形に持ち込む

大学数学で習う逆三角関数の力を借りると、置換なしに計算をすることができます。

ここで、逆三角関数への積分公式を確認しておきましょう。（微分編とはちょっと違った書き方をしています。）

今回の場合、\[\begin{align*}
\ \int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{9}{x^2+9} \ dx & = 3 \int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{3}{x^2+3^2} \ dx
\\ & = 3 \left[ \tan^{-1} \frac{x}{3} \right]^{3}_{ \sqrt{3} }
\\ & = 3 \left( \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3} \right)
\\ & = 3 \left( \frac{ \pi }{4} - \frac{ \pi }{6} \right)
\\ & = 3 \cdot \frac{ \pi }{ 12 }
\\ & = \frac{ \pi }{ 4}
\end{align*}\]と計算できる。

(2) 部分積分の省略（ブンブン積分）

今回のように被積分関数が「多項式（ \( x^a \) の形）」と「三角関数や \( e^x \) の形」となっている場合は、部分積分の省略公式（ブンブン積分）が使えます。

\[\begin{align*}
& \int^{\pi}_{0} x^2 \sin x \ dx
\\ = \ & \left[ x^2 ( -\cos x ) - 2x ( - \sin x ) + 2 ( \cos x ) \right]^{\pi}_{0}
\\ = \ & \left( \pi^2 - 2 \right) - 2
\\ = \ & \pi^2 - 4
\end{align*}\]

部分分数分解の省略公式（ブンブン積分）の練習をもっとしたい人はこちらでどうぞ！

(3) 部分分数分解を用いた積分

(多項式)/(多項式) の分数になっている問題については、部分分数分解を用いて以下の公式に持ち込む。

分母を\[
2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)
\]と因数分解できる。ここで、\[
\frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} = \frac{a}{2x+1} + \frac{b}{x-2}
\]の形に分解することを考える。両辺を \( (2x + 1)(x - 2) \) 倍すると、\[
2x + 6 = a (x-2) + b (2x+1)
\]となる。

• \( x = 2 \) を代入 → \( 10 = 5b \) より、\( b = 2 \)
• \( x = -1/2 \) を代入 → \( 5 = - 5a/2 \) より、\( a = -2 \)

つまり、\[
\frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} = - \frac{2}{2x+1} + \frac{2}{x-2}
\]と部分分数分解できる。

よって、\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} \ dx & = - \int^{1}_{0} \frac{2}{2x+1} \ dx + 2 \int^{1}_{0} \frac{1}{x-2} \ dx
\\ & = - \left[ \log (2x+1) \right]^{1}_{0} + 2 \left[ \log | x - 2 | \right]^{1}_{0}
\\ & = - \log 3 + 2 \log 1 - \left( \log 1 + 2 \log 2 \right)
\\ & = - 2 \log 2 - \log 3
\end{align*}\]と計算できる。

部分分数分解の積分をもっと練習したい人はこちらから！！

★ マーク解答 ★

No.30: 4 [3点]
No.31: 9 [3点]
No.32: 18 [4点]

問題9. ★媒介変数表示

問題

つぎの媒介変数表示にて表される曲線\[
\left\{ \begin{array}{l} x = \cos t ( 1 + \cos t ) \\ y = \sin t ( 1 + \cos t )  \end{array} \right. \ \ \ \ \left( 0 \leqq t \leqq \pi \right)
\]について、(1), (2)の問いに答えなさい。

※ \( x = ( \cos t ) ( 1 + \cos t ) \), \( y = ( \sin t ) ( 1 + \cos t ) \) です。\( x = \cos \left\{ t (1 + \cos t ) \right\} \) , \( y = \sin \left\{ t (1 + \cos t ) \right\} \) ではないので注意！！

(1) 導関数を計算しなさい。\[
\frac{dy}{dx} = - \frac{ \left[ \ \ 33 \ \ \right] }{ \left[ \ \ 34 \ \ \right] }
\]

(2) 曲線の長さ \( L \) を求めなさい。\[\begin{align*}
L & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left[ \ \ 35 \ \ \right] } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left[ \ \ 36 \ \ \right] } \ dt
\\ & = \left[ \ \ 37 \ \ \right]
\end{align*}\]

(1) 媒介変数表示の導関数

まずは媒介変数表示の導関数の計算方法を確認しておきましょう。

\( \frac{dx}{dt} \), \( \frac{dy}{dt} \) はそれぞれ\[\begin{align*}
\frac{dx}{dt} & = - \sin t (1 + \cos t) + \cos t \cdot (- \sin t )
\\ & = - \sin t - 2 \sin \cos t
\\ & = - \sin t - \sin 2t
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\frac{dy}{dt} & = \cos t (1 + \cos t) + \sin t ( - \sin t )
\\ & = \cos t + \cos^2 t - \sin^2 t
\\ & = \cos t + \cos 2t
\end{align*}\]

となるため、導関数は\[\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & = \frac{ \frac{dy}{dt} }{ \frac{dx}{dt} }
\\ & = - \frac{ \cos t + \cos 2t }{ \sin t + \sin 2t }
\end{align*}\]となる。

(2) 曲線の長さ

まずは、曲線の長さの公式を確認しておきましょう。

今回は区間 \( 0 \leqq t \leqq \pi \) の媒介変数表示の曲線の長さ \( L \) を求めればOK。

\[\begin{align*}
L & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left( - \sin t - \sin 2t \right)^2 + \left( \cos t + \cos 2t \right)^2 }
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ (\sin^2 t + 2 \sin t \sin 2t + \sin^2 2t) + (\cos^2 t + 2 \cos t \cos 2t + \cos^2 2t ) } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ (\sin^2 t + \cos^2 t) + (\sin^2 2t + \cos^2 2t) + 2 (\cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t ) } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ 2 + 2 \cos (2t-t) } \ dt \ \ \left( \because \ \cos \mathrm{の加法定理} \right)
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ 2(1 + \cos t) } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ 4 \cos^2 \frac{t}{2} } \ dt \ \ \ \left( \because \frac{1 + \cos t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} \right)
\\ & = \int^{\pi}_{0} 2 \cos \frac{t}{2} \ dt \ \ \ \left( \because \cos \frac{t}{2} \geqq 0 \right)
\\ & = \left[ 4 \sin \frac{t}{2} \right]^{\pi}_{0}
\\ & = 4
\end{align*}\]と計算できる。

★ マーク解答 ★

No.33: 9 [2点]
No.34: 0 [2点]
No.35: 1 [3点]
No.36: 3 [1点]
No.37: 4 [2点]

加法定理を逆に適用する部分\[
\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]\[
\cos ( 2t - t ) = \cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t
\]は、1回練習をしておかないと、思いつかない可能性があるので、必ず復習をしておきましょう。

問題10. 広義積分

問題

つぎの(1), (2)の広義積分を計算しなさい。

※ 今回はマークシート式での出題ですが、必ず記述形式の答案作成に慣れておくこと！！

(1) \[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \ dx & = \left[ \ \ 38 \ \ \right]
\\ & = \left[ \ \ 39 \ \ \right]
\end{align*}\]

(2) \[\begin{align*}
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx = \left[ \ \ 40 \ \ \right]
\end{align*}\]

(1) ある1点で定義されていない関数の積分

積分しようとしている関数は、\( x = 1 \) のとき、分母が0になってしまい定義されませんね。

そこで、1より少し小さい値 \( 1 - \varepsilon \) までを積分し、最後に \( \epsilon \to +0 \) と極限を近づけて計算を行います。

\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx & = \lim_{ \varepsilon \to + 0 } \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} }
\end{align*}\]

ここで、\[\begin{align*}
& \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx
\\ & \ = - \frac{1}{2} \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{2x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx
\\ & \ = - \frac{1}{2} \left[ \sqrt{ 1 - x^2} \cdot 2 \right]^{1 - \varepsilon}_{0}
\\ & \ = - \frac{1}{2} \left( 2 ( \sqrt{ (1 - (1- \varepsilon)^2 } - 1 \right)
\\ & \ = 1 - \sqrt{ - \varepsilon^2 + 2 \varepsilon }
\end{align*}\]と計算できるため、\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx & = \lim_{ \varepsilon \to + 0 } \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} }
\\ & = \lim_{ \varepsilon \to + 0 } 1 - \underbrace{ \sqrt{ - \varepsilon^2 + 2 \varepsilon } }_{ 0 \mathrm{に収束} }
\\ & = 1
\end{align*}\]と計算できる。

(2) 範囲に無限が含まれる積分

積分しようとしている関数の範囲に \( \infty \) が含まれていますね。

この場合、\( R \to \infty \) とおき、積分を行います。つまり、\[
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx
\]を求めます。

ここで、\[\begin{align*}
\int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx & = \int^{R}_{0} (1+x)^{-3} \ dx
\\ & = \left[ - \frac{1}{2} (1+x)^{-2} \right]^{R}_{0}
\\ & = \left[ - \frac{1}{2(1+x)^2} \right]^{R}_{0}
\\ & = - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(1+R)^2} - 1 \right)
\end{align*}\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx & = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{2} \left( \underbrace{ \frac{1}{(1+R)^2} }_{ 0 \mathrm{に収束} } - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\]と計算できる。

★ マーク解答 ★

No.38: 3 [3点]
No.39: 1 [2点]
No.40: 5 [5点]

広義積分がまだ苦手だなと思った方は、下の記事にて復習をしましょう！

うさぎでもわかる解析　Part11　広義積分（広義積分の基本と注意点）・優関数の原理

今回は定積分と極限が組み合わさった広義積分についてまとめています。普通の定積分と広義積分の違い、広義積分において気をつけ

おまけ問題. 広義積分の応用

うさぎ模試のPDFにはありませんが、余裕がある方はぜひチャレンジしてみてください。

解答

今回の問題のように、

• 普通に積分するのが難しそう
• 広義積分の収束だけを確認すればいい（具体的に何に収束するかを求めなくてよい）

の場合、優関数の原理を使うことを疑ってください。

優関数の原理を使いそうだなと思ったら、まずは（積分範囲内で常に）被積分関数よりも大きくなり、なおかつ広義積分が簡単に出せそうなものを探しましょう。

今回の場合、問題10の(2)の答え\[
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx = \frac{1}{2}
\]を使うのが一番いいでしょう。

ここで、\( | \sin x | \leqq 1 \) なので当然 \( | \sin^3 x | \leqq 1 \) となり、当然\[
\left| \frac{ \sin^3 x }{ (1+x)^3 } \right| \leqq \frac{1}{(1+x)^3}
\]が成立しますよね。

よって\[
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx
\]が \( \frac{1}{2} \) に収束するため、優関数の原理より、\[
\int^{\infty}_{0} \frac{\sin^3 x}{(1+x)^3} \ dx
\]も収束する。

さいごに

今回は、微分編・積分編の2つの記事で1年前期で習う解析学の総復習記事を作成いたしました。

1年前期大学で習う解析学は、1年生後期で習う「2変数関数の微積分」、およびその後の「複素解析」、「フーリエ変換」など様々な場面で使うこととなるので、必ず計算できるようになっておきましょう。

「1年前期の解析学の試験まであと1日しかない、あきらめよう。」って思ってる人、諦めないでください！！

そこで、試験前日でも数3レベルの知識があれば3時間で総復習ができるように10題の練習問題を作成しました！

なお、εーδ（イプシロンデルタ）論法についての問題はここにはまとめていないため、もし必要な方はこちらの記事にて復習をお願いします。

うさぎでもわかるε-δ論法・ε-N論法

今回は、大学数学の「解析学」の極限の部分で登場するε-α論法（イプシロンアルファ論法）とε-N論法（イプシロンエヌ論法）の2つ

こちらは微分編の解説記事です！　

時間がある人はじっくり、時間がない人は素早くこの記事にて1年前期の解析学の復習をしましょう！

それぞれの練習問題の解説では、

• 試験で必要な知識：青色の枠
• 試験で必要な解き方：赤色の枠
• 覚えておくと便利な公式: 緑色の枠

で要点をまとめています。

※ 高校レベルの極限計算、微分計算に不安がある人は、下の記事にて復習することを強くおすすめします。

• 高校数学レベルの極限の復習はこちら！
• 高校数学レベルの微分の復習はこちら！

問題1. 極限計算

問題

次の(1)〜(4)の極限を計算し、計算結果として正しいものを対応する選択肢の中から1つ選びなさい。（配点　10）

(1)\[
\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{x+3} - 2 }{ x - 1} = \left[ \ \ \ 1 \ \ \ \right]
\]

(2) \[
\lim_{ x \to \infty } x \left\{ \log (x+2) - \log x \right\} = \left[ \ \ \ 2 \ \ \ \right]
\]

(3) \[
\lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x - \tan x }{ x^3 } = \left[ \ \ \ 3 \ \ \ \right]
\]

(4) \[
\lim_{ x \to \infty} \frac{1}{x} \log \left( 2^x + 4^x \right) = \left[ \ \ \ 4 \ \ \ \right]
\]

極限の問題の場合、解く方法は大きく分けて3通りあります。

• 高校数学までの方法で解く
• ロピタルの定理を使う
• （0に収束する問題の場合は）マクローリン展開を使う

今回は、2パターン（3パターン）両者の方法を説明していきたいと思います。

(1) 有理化して消すパターン

そのまま極限 \( x \to 1 \) を適用すると、\( 0 / 0 \) の不定形になってしまいますね。今回は(i), (ii)の2つの方法を用いて不定形を解消したいと思います。

(i) 高校数学までの方法で解く

シンプルにルート部分が邪魔なので、有理化してルートを消しましょう。すると、不定形が解消されます。

\[\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{x+3} - 2 }{ x - 1} & =
\lim_{x \to 1} \frac{ ( \sqrt{x+3} - 2 )( \sqrt{x+3} + 2 ) }{ (x - 1)( \sqrt{x+3} + 2 )}
\\ & = \lim_{x \to 1} \frac{ \left( \sqrt{x+3} \right)^2 - 2^2 }{ (x - 1)( \sqrt{x+3} + 2 )}
\\ & = \lim_{x \to 1} \frac{ x + 3 - 4 }{ (x - 1)( \sqrt{x+3} + 2 )}
\\ & = \lim_{x \to 1} \frac{ x - 1 }{ (x - 1)( \sqrt{x+3} + 2 )}
\\ & = \lim_{x \to 1} \frac{ 1}{\sqrt{x+3} + 2 }
\\ & = \frac{1}{4}
\end{align*}\]

(ii) ロピタルの定理を使う

ロピタルの定理を使って解くこともできます。
（このレベルの程度の極限はロピタルを使ってほしくはないのですが…）

\[\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{x+3} - 2 }{ x - 1} & = \lim_{x \to 1} \frac{ (\sqrt{x+3} - 2)' }{ (x - 1)' }
\\ & = \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x+3} } }{ 1}
\\ & = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2 \sqrt{x+3} }
\\ & = \frac{1}{4}
\end{align*}\]

(2) eの定義に関する問題

(i) 高校数学までの方法で解く

\( \log \) がついているので少しわかりにくいかもしれませんが、変形をすると自然対数 \( e \) の定義式\[
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e
\]の形に変形することができます。

\[\begin{align*}
\lim_{ x \to \infty } x \left\{ \log (x+2) - \log x \right\} & = \lim_{ x \to \infty } x \left\{ \log \left( \frac{x+2}{x} \right) \right\}
\\ & = \lim_{ x \to \infty } x \log \left( 1 + \frac{2}{x} \right)
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \log \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x
\\ & = \lim_{ t \to \infty } \log \left( 1 + \frac{2}{2t} \right)^{2t} \ \ \left( ここで \ x \to 2t \right)
\\ & = \lim_{ t \to \infty } \log \left\{ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right\}^2
\\ & = \log e^2
\\ & = 2
\end{align*}\]途中で、\( x \to 2t \) とおいています。

(ii) ロピタルの公式を使う

一見分数の式がなくても、変形して分数の式を作ることでロピタルの形に持ち込むことができます。ただし、変形後の式がロピタルの公式の適用条件に満たしているかを確認すること。

\[\begin{align*}
\lim_{ x \to \infty } x \left\{ \log (x+2) - \log x \right\} & = \lim_{ x \to \infty } \frac{\log (x+2) - \log x}{ \frac{1}{x} }
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \frac{ \left( \log (x+2) - \log x \right)'}{ \left( \frac{1}{x} \right)' }
\\ & = \lim_{ x \to \infty }\frac{ \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x} }{ - \frac{1}{x^2} }
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \frac{ \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x} \right) (-x^2) }{ - \frac{1}{x^2} \cdot (-x^2) }
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \left( \frac{x - (x+2)}{x(x+2)} \right) (-x^2)
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \left( \frac{-2}{x^2+2x} \right) (-x^2)
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \frac{2x^2}{x^2 + 2x}
\\ & = \lim_{ x \to \infty } \frac{2}{1 + \frac{2}{x}}
\\ & = 2
\end{align*}\]

(3) 三角関数の極限

(i) 高校数学までの方法で解く

三角関数が出てくる極限は、\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]の形が出てくるように変形を行います。\[\begin{align*}
\lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x - \tan x }{ x^3 } & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x - \frac{ \sin x }{ \cos x } }{ x^3 }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x \cos x - \sin x }{ x^3 \cos x }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x (\cos x - 1) }{ x^3 \cos x }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x (\cos x - 1)(\cos x + 1) }{ x^3 \cos x (\cos x + 1) }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x (\cos^2 x - 1) }{ x^3 \cos x (\cos x + 1) }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x (- \sin^2 x) }{ x^3 \cos x (\cos x + 1) }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ - \sin^3 x }{ x^3 \cos x (\cos x + 1) }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } (-1) \cdot \underbrace{ \frac{ \sin^3 x }{ x^3 } }_{1} \cdot \underbrace{\frac{1}{\cos x (\cos x + 1)}}_{ \frac{1}{2} }
\\ & = - \frac{1}{2}
\end{align*}\]

(ii) ロピタルの定理を使う

ロピタルの定理を使って

\[\begin{align*}
\lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x - \tan x }{ x^3 } & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ (\sin x - \tan x)' }{ (x^3)' }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \cos x - \frac{1}{ \cos^2 x } }{ 3x^2 }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \cos^3 x - 1 }{ 3x^2 \cos^2 x}
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \cos^3 x - 1 }{ 3x^2} \times \lim_{ x \to 0 } \frac{1}{ \cos^2 x }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ ( \cos^3 x - 1 )' }{ (3x^2)'} \times 1
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ 3 \cos^2 x ( - \sin x ) }{6x}
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \underbrace{ \frac{ \sin x }{x} }_{ 1 } \cdot \underbrace{ \cos^2 x }_{ 1 } \cdot \frac{-3}{6}
\\ & = - \frac{1}{2}
\end{align*}\]

途中の極限分配は、分配した2つの極限がともに収束するときだけ可能です。

(iii) マクローリン展開を使う

0に収束させるタイプの極限は、三角関数やルートなどに対してマクローリン展開を行うことでかなり簡単に極限を求めることができます。

今回の場合、分母が \( x^3 \) なので、\( \sin x \), \( \tan x \) も以下のように3次の項までのマクローリン展開を考慮すればOKです。

（4次の項以降はすべて \( x \to 0 \) により、0になる）

\[
\sin x = x - \frac{1}{6} x^3 + o_1( x^4 )
\]\[
\tan x = x + \frac{1}{3} x^3 + o_2( x^4 )
\]

\[\begin{align*}
\lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x - \tan x }{ x^3 } & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ x - \frac{1}{6} x^3 + o( x^4 ) - \left( x + \frac{1}{3} x^3 + o( x^4 ) \right) }{ x^3 }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \frac{ - \frac{1}{2} x^3 + o_1(x^4) - o_2(x^4) }{ x^3 }
\\ & = \lim_{ x \to 0 } \left( - \frac{1}{2} + \frac{ o_1(x^4) - o_2(x^4) }{ x^3 } \right)
\\ & = - \frac{1}{2}
\end{align*}\]

※ 途中過程が不要な場合、かなりの力を発揮するはずです！

(4) はさみうちの原理

(i) 高校数学までの方法で解く

(1)～(3)のように、有理化、\( e \) の定義、基本公式の形への持ち込みができません。そこで、今回ははさみうちの原理を使って解いてみましょう。

ここで、\( 2^x < 4^x \) なので、\[
4^x < 2^x + 4^x < 2 \cdot 4^x
\]\[
\frac{1}{x} \log 4^x < \frac{1}{x} \log ( 2^x + 4^x ) < \frac{1}{x} \log (2 \cdot 4^x)
\]が成立します。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{ x \to \infty} \frac{1}{x} \log 4^x & = \lim_{ x \to \infty} \frac{\log 4^x}{x}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \frac{x \log 4}{x}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \frac{\log 4}{1}
\\ & = \log 4
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\lim_{ x \to \infty} \frac{1}{x} \log ( 2\cdot 4^x ) & = \lim_{ x \to \infty} \frac{\log (2 \cdot 4^x)}{x}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \left( \frac{\log 2}{x} + \frac{\log 4^x}{x} \right)
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \left( \frac{\log 2}{x} + \frac{x \log 4}{x} \right)
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \left( \underbrace{ \frac{\log 2}{x} }_{ 0 } + \log 4 \right)
\\ & = \log 4
\end{align*}\]となるので、はさみうちの原理により、\[\begin{align*}
\lim_{ x \to \infty} \frac{1}{x} \log ( 2^x + 4^x ) & = \log 4
\\ & = 2 \log 2
\end{align*}\]となります。

(ii) ロピタルの定理を使う

ロピタルの定理を使うと、はさみうちを使わずに極限計算が可能です。\[\begin{align*}
\lim_{ x \to \infty} \frac{1}{x} \log \left( 2^x + 4^x \right) & = \lim_{ x \to \infty} \frac{ \log ( 2^x + 4^x ) }{x}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \frac{( \log(2^x + 4^x) )'}{(x)'}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \frac{ \frac{\log 2 \cdot 2^x + \log 4 \cdot 4^x}{2^x + 4^x} }{1}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \frac{\log 2 \cdot 2^x + \log 4 \cdot 4^x}{2^x + 4^x}
\\ & = \lim_{ x \to \infty} \frac{\log 2 \cdot \left( \frac{2}{4} \right)^x + \log 4}{\left( \frac{2}{4} \right)^x + 1}
\\ & = \log 4
\\ & = 2 \log 2
\end{align*}\]

★ マーク解答 ★

No.01: 7 [2点]
No.02: 2 [2点]
No.03: -5 [3点]
No.04: 2 [2点]

ロピタルの定理について、ここでまとめておきましょう。

ロピタルの定理がよくわからない、使える条件があやふやだという人は、こちらの記事にて復習をしましょう！

問題2. 逆三角関数

問題

次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。（配点　10）

(1) 次の関数 \( f(x) = 2 \cos^{-1} (2x-1) \) について、(i), (ii)にある空欄を埋めなさい。

(i) \( f(x) \) の定義域は [　5　] となる。
(ii) \( f(x) \) の値域は [　6　] となる。

(2) 次の計算をしなさい。\[
\sin^{-1} \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) + \cos^{-1} \frac{ \sqrt{2} }{2} + \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3} = \left[ \ \ \ 7 \ \ \ \right]
\]

(3) 次の計算をしなさい。\[
\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3} = \left[ \ \ \ 8 \ \ \ \right]
\]

(1) 逆三角関数の定義域と値域

まずは逆三角関数の定義域と値域を復習しましょう。

※ 不等号に ＝ が含まれるかどうかも非常に重要です。

ちょっと難しいと思った人は、\( x = \sin y \), \( x = \cos y \), \( x = \tan y \) の取りうる \( x \), \( y \) の範囲を考えるのがおすすめです。

今回の場合は、\( f(x) = \cos^{-1} (2x + 1) \) ですね。

(i) 定義域

\( \cos^{-1} t \) の \( t \) が取りうる値の範囲は \( -1 \leqq t \leqq 1 \) である。

この \( t \) を \( 2x-1 \) に変えると \( -1 \leqq 2x-1 \leqq 1 \) となる。よって、\[
-1 \leqq 2x + 1 \leqq 1
\]\[
0 \leqq 2x \leqq 2
\]\[
0 \leqq x \leqq 1
\]となるため、定義域は \( 0 \leqq x \leqq 1 \) となる。（マーク番号: 1）

(ii) 値域

\( \cos^{-1} t \) が取りうる値の範囲は \( 0 \leqq \cos^{-1} t \leqq \pi \) である。

今回は \( 2 \cos^{-1} t \) なので、取りうる値の範囲は \( 0 \leqq 2 \cos^{-1} t \leqq 2 \pi \) となる。

よって、\( f(x) = 2 \cos^{-1} (2x-1) \) が取りうる値の範囲は \( 0 \leqq f(x) \leqq 2 \pi \) となる。（マーク番号: 7）

★ マーク解答 ★

No.05: 1 [2点]
No.06: 8 [2点]

(2) 逆三角関数の定義域と値域

1つ1つ順番に処理をしましょう。

(i) [意味] \( \sin y = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \) となるような \( y \) の値は？\[
\sin^{-1} \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) = - \frac{\pi}{3}
\]

(ii) [意味] \( \cos y = \frac{ \sqrt{2} }{2} \) となるような \( y \) の値は？\[ \cos^{-1} \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{\pi}{4}
\]

(iii) [意味] \( \tan y = \frac{ \sqrt{3} }{3} \) となるような \( y \) の値は？\[ \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{\pi}{6}
\]

これら3つを全部足すと、\[\begin{align*}
& \sin^{-1} \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) + \cos^{-1} \frac{ \sqrt{2} }{2} + \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3}
\\ = \ & - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}
\\ = \ & \frac{ -4 \pi + 3 \pi + 2 \pi }{12}
\\ = \ & \frac{ \pi }{12}
\end{align*}\]となる。

(3) tanの加法定理

\[
\tan a = \frac{1}{2} , \ \ \ \tan b = \frac{1}{3}
\]となるような \( a \), \( b\) なんて普通の人はわかりませんよね。

このように、知らない三角関数の値が出てきたときは、加法定理などを使って知っている三角関数の値に持ち込むのがセオリーです。

ここで、\[
\tan^{-1} \frac{1}{2} = a , \ \ \ \tan^{-1} \frac{1}{3} = b
\]とおきます。すると、\[
\tan a = \frac{1}{2} , \ \ \ , \tan b = \frac{1}{3}
\]となりますね。

tanの加法定理を使うと、\[\begin{align*}
\tan (a+b) & = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\\ & = \frac{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} }{ 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} }
\\ & = \frac{ \frac{5}{6} }{ \frac{5}{6} }
\\ & = 1
\end{align*}\]となりますね。

よって、\[
\tan (a+b) = 1
\]\[
\tan^{-1} ( \tan (a+b) ) = \tan^{-1} 1
\]\[
a + b = \tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}
\]と計算することができます。

※ 全然解き方がわからなかったとしても、\[
\tan^{-1} \frac{1}{3} < \tan^{-1} \frac{1}{2} < \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3}
\]だから、少なくとも\[
2 \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{ \pi }{ 3 }
\]よりは小さい答えだな…。と思って3択くらいまでは絞りましょう。

★ マーク解答 ★

No.07: 1 [3点]
No.08: 3 [3点]

逆三角関数の復習をしたい人はこちらから！

また、念の為に tan の加法定理公式を確認しておきましょう。

問題3. 微分可能性

問題

次の(1), (2)の問いに答えなさい。

(1) 次の(i), (ii) の関数の連続性、微分可能性について述べた文章として正しいものを選びなさい。

(i) 回答番号 [　9　]\[
f(x) = x |x|
\]

(ii) 回答番号 [　10　]\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x \sin \frac{1}{x} \ \ ( x \not = 0 ) \\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = 0 )
  \end{array} \right.
\]

(2) 次の関数\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x^2 - 6x + a \ \ ( x \geqq 1 ) \\
bx^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( x < 1 ) \end{array} \right.
\]が \( x = 1 \) で微分可能となるような定数 \( a \), \( b \) の値を求め、その値を入力しなさい。
回答番号 \( a = \left[ \ \ 11 \ \ \right] \), \( b = \left[ \ \ 12 \ \ \right] \)

(1) 連続性、微分可能性の判定

まずは、連続性と微分可能性の判定方法を確認しましょう。

(i) [連続性の判定]

\[\begin{align*}
\lim_{ x \to +0 } x |x| & = \lim_{x \to +0} x^2
\\ & = 0
\end{align*}\]

\[\begin{align*} \lim_{ x \to -0 } x |x| & = \lim_{x \to +0} -x^2
\\ & = 0
\end{align*}\]

より、\[
\lim_{ x \to +0 } x |x| = \lim_{ x \to -0 } x |x| = 0
\]を満たすので連続であるといえる。

(i) [微分可能性の判定]

\[ \begin{align*}
\lim_{ h \to +0 } \frac{ f(0+h) - f(0) }{h} & = \lim_{ h \to +0 } \frac{ h^2 - 0 }{h}
\\ & = \lim_{ h \to +0 } h
\\ & = 0
\end{align*}\] \[ \begin{align*}
\lim_{ h \to -0 } \frac{ f(0+h) - f(0) }{h} & = \lim_{ h \to -0 } \frac{ -h^2 - 0 }{h}
\\ & = \lim_{ h \to -0 } -h
\\ & = 0
\end{align*}\]

(ii) 連続性の判定

\[
\lim_{x \to a } f(x) = f(a)
\]が成立するかを確認する。

ここで、\[
0 \leqq \left| \sin \frac{1}{x} \right| \leqq 1
\]なので^[1]意味的には、\[ -1 \leqq \sin \frac{1}{x} \leqq 1 \]と同じ。 、\[
0 \leqq \left| x \sin \frac{1}{x} \right| \leqq |x|
\]も成立する。

ここで、\[
\lim_{x \to 0} 0 = 0 , \ \ \ \lim_{x \to 0 } |x| = 0
\]なので、はさみうちの原理により、\[
\lim_{x \to 0 } \left| x \sin \frac{1}{x} \right| = 0
\]となる。よって、\[
\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)
\]となり、連続であることがわかる。

(ii) 微分可能性の判定

\[\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{ f(0 + h) - f(0) }{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{ h \sin \frac{1}{h} - 0 }{ h }
\\ & = \lim_{h \to 0} \sin \frac{1}{h}
\end{align*}\]

ここで、極限\[
\lim_{h \to 0} \sin \frac{1}{h}
\]は、-1から1の範囲で振動してしまうため極限値をもたない（収束しない）。

よって、微分可能ではない。

★ マーク解答 ★

No.09: 0 [3点]
No.10: 1 [3点]

(2) 微分可能性のちょっと応用

\( x = 1 \) で微分可能であるこということは、\( x = 1 \) で連続であるということである。

そのため、\[
\lim_{x \to 1+0} (2x^2 - 6x +a) = \lim_{x \to 1-0} bx^2
\]\[
-4 + a = b
\]が成立する。よって、\( b - a = -4 \) の関係式が成り立つ。

また、\( x = 1 \) で微分可能であるということは\[
\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}
\]が成立する。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} & = \lim_{h \to +0} \frac{ 2(1+h)^2 - 6(1+h) + a - (2-6+a)}{h}
\\ & = \lim_{h \to +0} \frac{ 2h^2 + 4h + 2 - 6h - 6 + a + 4 - a}{h}
\\ & = \lim_{h \to +0} \frac{2h^2 - 2h}{h}
\\ & = \lim_{h \to +0} \left( 2h - 2 \right)
\\ & = -2
\end{align*}\] \[\begin{align*}
\lim_{h \to -0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} & = \lim_{h \to -0} \frac{ b(1+h)^2 - (2-6+a)}{h}
\\ & = \lim_{h \to -0} \frac{bh^2 + 2hb + b - a + 4}{h}
\\ & = \lim_{h \to -0} \left( bh + 2b + \frac{b-a+4}{h} \right)
\\ & = \lim_{h \to -0} \left( bh + 2b \right) \ \ \ \ ( \because \ b - a = -4 )
\\ & = 2b \end{align*} \]

となるので、\[\begin{align*}
\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} & = \lim_{h \to -0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \\
-2 = 2b
\end{align*}\] が成立。よって、\( b = -1 \) となる。

さらに、\( a -4 = b \) より、\( a = 3 \) と求められる。

[余談] (2)のグラフを図示してみるとこんな感じになります。図示してみると、確かに \( x = 1 \) の部分でなめらかにつながっていることがわかりますね。

★ マーク解答 ★

No.11: 3 [2点]
No.12: -1 [2点]

問題4. 微分法

問題

次の(1)〜(3)の関数を微分し、導関数を求めなさい。

(1)\[
y = ( \sin x )^{ \cos x } \] \[ \frac{dy}{dx} = \left[ \ \ 13 \ \ \right] \left( \cos x \cdot \left[ \ \ 14 \ \ \right] - \sin x \cdot \left[ \ \ 15 \ \ \right]\right)
\]

(2) \[
y = \sin^{-1} \left( x^2 \right)
\]\[
\frac{dy}{dx} = \left[ \ \ 16 \ \ \right]
\]

(3) \[
y = \int^{x^2}_{1} \frac{t}{t^3 + 1} \ dt
\]\[
\frac{dy}{dx} = \left[ \ \ 17 \ \ \right]
\]

(1) 対数微分法・商の微分公式

※ 問題4の解説では \( \frac{dy}{dx} = y' \) と表記しましょう。

今回のように (xの関数) の (xの関数) 乗になっている場合は、両辺に対数を取ってから微分を行う対数微分法がかなり有効です。両辺に対数を取ると、\[\begin{align*}
\log y & = \log ( \sin x )^{ \cos x }
\\ \log y & = \cos x \log ( \sin x )
\end{align*}\]となる。

ここで、両辺を微分すると、\[\begin{align*}
\frac{y'}{y} & = - \sin x \log ( \sin x ) + \cos x \cdot \frac{ \cos x }{ \sin x }
\\ & = - \sin x \log ( \sin x ) + \cos x \cdot \frac{1}{ \tan x }
\\ & = \cos x \cdot \frac{1}{ \tan x } - \sin x \log ( \sin x )
\end{align*}\]となる。

最後に \( y \) を移項すると\[\begin{align*}
y' & = y \left\{ \cos x \cdot \frac{1}{ \tan x } - \sin x \log ( \sin x ) \right\}
\\ & = ( \sin x )^{\cos x} \left\{ \cos x \cdot \frac{1}{ \tan x } - \sin x \log ( \sin x ) \right\}
\end{align*}\]となるため、導関数は\[
\frac{dy}{dx} = ( \sin x )^{\cos x} \left\{ \cos x \cdot \frac{1}{ \tan x } - \sin x \log ( \sin x ) \right\}
\]となる。

(2) 逆三角関数の微分・合成関数の微分

まずは逆三角関数の微分公式を確認しましょう。参考書とはちょっと違う公式の書き方をします。

ただ、今回聞かれているのは \( \sin^{-1} (x^2) \) の微分ですよね。だから、\[\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sin^{-1} x^2 & = \frac{1}{ \sqrt{1- (x^2)^2 } }
\\ & = \frac{1}{ \sqrt{1- x^4} }
\end{align*}\]と計算してしまうのは間違いです。

このように、公式の形と全く同じではない関数を微分するときに公式をそのまま適用しようとすると、間違った結果が出てきてしまいます。

今回のように、公式の形とは違う関数が出てきた場合は、合成関数の微分法を用いて公式を適用できる形にもっていきます。

今回 \( \sin^{-1} (x^2) \) の場合は、\[
u = x^2, \ \ \ y = \sin^{-1} u
\]と分離します。

すると、\[
\frac{du}{dx} = 2x, \ \ \ \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}
\]となりますね。

よって、導関数は\[\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}
\\ & = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 2x
\\ & = \frac{2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}
\\ & = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
\end{align*}\]となる。

(3) 定積分関数の微分

\[
\int \frac{t}{t^3 + 1} \ dt
\]を計算するのはかなりしんどいですね。

そこで、定積分で表された関数をそのまま微分する公式を使います。

よって、\[\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & =
\frac{d}{dx} \int^{x^2}_{0} \frac{t}{t^3+1} \ dt
\\ & = (x^2)' \frac{x^2}{(x^2)^3+1}
\\ & = 2x \cdot \frac{x^2}{x^6+1}
\\ & = \frac{2x^3}{x^6+1}
\end{align*}\]となる。

※被積分関数の積分範囲にある 1 に惑わされないように！！

★ マーク解答 ★

No.13: 8 [1点]
No.14: 5 [1点]
No.15: 6 [1点]
No.16: 2 [3点]
No.17: 3 [4点]

問題5. マクローリン展開

問題

次の関数\[
f(x) = (1-x) e^{2x}
\]をマクローリン展開する。すると、\[
f(x) = 1 + x + \left[ \ \ 18 \ \ \right] x^2 + \left[ \ \ 19 \ \ \right] x^3 + \cdots
\]となる。

[修正] 2021/08/07
問題PDFの \( f(x) \) の式が \( x \) ではなく \( 2x \) になっていました。申し訳ございません。
※ 8/7の13時以降に問題PDFをダウンロードした方は、正しい式になっております。

[その1] ごり押しの計算

まずはマクローリン展開の公式を確認しましょう。

(i) 1回微分\[\begin{align*}
f'(x) & = - e^{2x} + (1-x) \cdot 2e^{2x}
\\ & = (-2x+1) e^{2x}
\end{align*}\]

（実際に \( x = 0 \) を代入すると \( f'(0) = 1 \) となり、マクローリン展開の \( x \) の項が問題文の通りであることが検算できる。）

(ii) 2回微分\[\begin{align*}
f''(x) & = -2 e^{2x} + (-2x+1) \cdot 2e^{2x}
\\ & = -4x e^{2x}
\end{align*}\]

ここに \( x = 0 \) を代入すると、\( f''(0) = 0 \) となる。

(iii) 3回微分\[\begin{align*}
f'''(x) & = -4 e^{2x} + (-4x) \cdot 2e^{2x}
\\ & = (-8x-4) e^{2x}
\end{align*}\]

ここに \( x = 0 \) を代入すると、\( f'''(0) = -4 \) となる。

よって、マクローリン展開は\[\begin{align*}
f(x) & = 1 + x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots
\\ & = 1 + x + 0 x^2 + \left( - \frac{2}{3} \right) x^3 + \cdots
\end{align*}\]と計算できる。

[その2] 工夫して計算してみる

マクローリン展開は工夫して計算することで、計算量を大きく減らすことができます。

例えば、\( e^{2x} \) のマクローリン展開は、\( e^x \) のマクローリン展開\[
e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots
\]の \( x \) を \( 2x \) に変えることで\[\begin{align*}
e^{2x} & = 1 + 2x + \frac{1}{2} (2x)^2 + \frac{1}{6} (2x)^3
\\ & = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \cdots
\end{align*}\]と求めることができます。

さらに、\( (1-x)e^{2x} \) のマクローリン展開は、\( e^{2x} \) のマクローリン展開の結果に \( (1-x) \) を掛けることで求めることができます。\[\begin{align*}
(1-x) e^{2x} & = (1-x) \left( 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \cdots \right)
\\ & = \left( 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \cdots \right) - x \left( 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \cdots \right)
\\ & = 1 + (2-1)x + (2-2)x^2 + \left( \frac{4}{3} - 2 \right) x^3 + \cdots
\\ & = 1 + x - \frac{2}{3} x^3 + \cdots
\end{align*}\]

下に工夫して計算するために必要な道具（基本マクローリン展開公式一覧）を用意したので、もしよかったら参考にしてください。

★ マーク解答 ★

No.18: 0 [5点]
No.19: -7 [5点]

問題6. 関数のグラフ

Step1: グラフの漸近線

まずは微分をしなくても確認できる(4)漸近線について確認しましょう。

与えられた関数\[
f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}
\]は、\( x^2 - 1 = 0 \)、つまり \( x = \pm 1 \) で定義されませんね。そのため、\( x = 1 \), \( x = -1 \) は漸近線となります。

また、約分すると、\[
f(x) = x + \frac{x}{x^2 - 1}
\]と変形ができます。つまり、\[
f(x) - x = \frac{x}{x^2 - 1}
\]となり、さらに\[\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \left( f(x) - x \right) & = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 - 1}
\\ & = 0
\end{align*}\]となるため、\( y - x = 0 \), つまり \( y = x \) でも漸近線を持つことがわかりますね。

よって、残った \( y = -x \) は漸近線ではないため、答えは4。

Step2: 極値とグラフの増減

次に \( f'(x) \) を求めて極値、およびグラフの増減を見ていきましょう。\[\begin{align*}
f'(x) & = \frac{3x^2 \cdot (x^2-1) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2}
\\ & = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2}
\\ & = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}
\\ & = \frac{x^2(x^2-3)}{(x^2 - 1)^2}
\\ & = \frac{x^2(x+\sqrt{3})(x - \sqrt{3})}{(x^2 - 1)^2}
\end{align*}\]となる。

ここで、\( f'(x) = 0 \) となる \( x \) は、\[
x^2 (x + \sqrt{3} )(x - \sqrt{3} ) = 0
\]より、\( x = 0 \), \( x = \sqrt{3} \), \( x = - \sqrt{3} \) となり、極大値（or 極小値）の候補となる。

また、分母 \( (x^2 - 1)^2 \) は、\( x \not = 1 \) で常に正なため、極値や増減を考える際には\[
x^2 (x + \sqrt{3} ) ( x - \sqrt{3} )
\]で判断ができる。

(i) -1 < x < 1 の増減

\( x^2 \) は必ず \( x^2 \geqq 0 \) となるため、\( -1 < x < 1 \) の増減を見るためには \( x^2 - 3 \) の値の変化を見ればよい。

すると、\( -1 < x < 1 \) では常に \( x^2 - 3 < 0 \) となるため、\( -1 < x < 1 \) の範囲内では\[
x^2 (x^2 - 3) \leqq 0
\]となり、常に単調減少をすることがわかる^[2]※ \( x = 0 \) のときは \( f'(x) = 0 \) になるため、\( < \) ではなく \( \leqq \) になる点に注意。なお、\( f'(x) = 0 \) … Continue reading。よって答えは2。

(ii) 極大値の判定

極値の候補 \( x = 0 , \pm \sqrt{3} \) のうち、極大値となる \( x \) がどれかを確認しましょう。

まず、(i) より \( x = 0 \) の前後はともに \( f'(x) < 0 \) となっているため、極大値でも極小値でもありませんね。

つぎに、\( x = \sqrt{3} \) ですが、このとき、\[
(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3} )
\]は \( x = \sqrt{3} \) より少し小さい値では \( f'(x) < 0 \), 少し大きい値では \( f'(x) > 0 \) となっていることがわかるため、極小値であることがわかりますね。

また、\( x = - \sqrt{3} \) の場合、\( x = - \sqrt{3} \) より少し小さい値で \( f'(x) > 0 \), 少し大きい値で \( f'(x) < 0 \) となっているため、極大値であることがわかりますね。

よって \( x = - \sqrt{3} \) のときに極大値をとりますね

Step3: 変曲点と凹凸の判定

次に \( f''(x) \) を計算することで変曲点とグラフの凹凸を計算します。

(i) 変曲点の確認

計算するときは\[
f'(x) = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}
\]を使って計算すると計算しやすいでしょう。

\[\begin{align*}
f''(x) & = \frac{(4x^3 - 6x)(x^2-1)^2 - (x^4 - 3x^2) \cdot 2x(x^2-1)}{(x^2-1)^4}
\\ & = \frac{(4x^3 - 6x)(x^2-1) - (x^4 - 3x^2) \cdot 2x \cdot 2}{(x^2-1)^3}
\\ & = \frac{4x^5 - 4x^3 - 6x^3 + 6x - 4x^5 + 12x^3}{(x^2-1)^3}
\\ & = \frac{2x^3 + 6x}{(x^2-1)^3}
\\ & = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}
\end{align*}\]

ここで、\( f''(x) = 0 \) となる \( x \) は\[
2x(x^2 + 3 ) = 0
\]を計算すればOK。（ただし \( x \not = 1 \)）

すると、\( x = 0 \) だけなのでこの点が変曲点。

(ii) グラフの凹凸

ここで分母、および \( x^2 + 3 \) は常に正なので、

• \( 2x > 0 \) つまり \( x > 0 \) のとき、\( f''(x) > 0 \)（下に凸）
• \( 2x < 0 \) つまり \( x < 0 \) のとき、\( f''(x) < 0 \)（上に凸）

となる。

よって、選択肢の中で上に凸な区間は \( -3 < x < - \sqrt{3} \) である。

[参考] 増減表とグラフの概形

最後に増減表とグラフの概形を記しておきましょう。

(i) 増減表

(ii) グラフ

★ マーク解答 ★

No.20: 2 [2点]
No.21: 2 [2点]
No.22: 3 [2点]
No.23: 4 [2点]
No.24: 1 [2点]

さいごに

今回は記事で1年前期で習う解析学の微分編の総復習でした。

続きの積分編もぜひご覧ください！

今回は、解析学のなかでも少し難易度が高めな3重積分について、計算方法を中心にうさぎでもわかるように基礎から説明していきます！

１．2重積分の復習

3重積分の説明の前に、2重積分について軽く復習しておきましょう。

2重積分では、下のように \( x \) と \( y \) の2変数による積分で、積分領域 \( D \) は平面（2次元）になっているのでしたね。\[
\iint_D f(x,y) dxdy
\]

このような2重積分を解く際には、積分領域 \( D \) を\[
D = \{ (x,y) \mid a \leqq x \leqq b, \ c \leqq y \leqq d \ \}
\]と \( x \) 軸による積分、\( y \) 軸による積分の2つに分解し、\[
\iint_D f(x,y) dxdy = \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y) \ dx \right)  \ dy
\]もしくは\[
\iint_D f(x,y) dxdy = \int^b_a \left( \int^d_c f(x,y) \ dy \right) \ dx
\]と定積分を2回する形に持ち込むのでした。

（この積分区間の変数 \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) に定数以外、自分自身以外の積分変数を入れてもOK）

２．3重積分と2重積分の2つの相違点

それでは、本題の3重積分に入っていきましょう。

まずは、3重積分と2重積分で変化する部分を説明していきましょう。

(1) 被積分関数が3変数関数に

3重積分では被積分関数が \( f(x,y,z) \) のような3変数関数となります。

（2重積分では \( f(x,y) \) の2変数関数でしたね）

(2) 積分領域が3次元に

3重積分では、積分領域 \( V \) が3次元（ \( xyz \) 空間）となります。

※教科書によっては3次元の領域も \( D \) と表しているものが多いですが、2次元の領域と区別をするため、本記事では3次元の領域を \( V \) で表すことにします。

（なお、2重積分では積分領域が2次元（ \(xy \) 平面）でしたね。）

3重積分では、2重積分の理解が必須です。

まだあまり理解できてないなと思ったら、下の記事で復習をすることを強くおすすめします。

www.momoyama-usagi.com

３．3重積分の計算法

それでは、ここからは3重積分の計算法についてみていきましょう。

(1) 3重積分の基本計算

まずは、3重積分の中でも一番基本的な形を見てきましょう。

基本的には3回定積分を行うと思っていただけたらOKです。

少しだけ補足をしたいと思います。

[補足] (i)の方法

2重積分にあった\[
\iint_D f(x,y) dxdy = \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y) \ dx \right)  \ dy
\]の形を3重積分に拡張して\[
\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^f_e \left( \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y,z) \ dx \right)  \ dy \right) \ dz
\]と思っていただけたらOKです。

もちろん2重積分と同じように、まだ積分していない or 積分しようとしていない積分変数を入れることもできます*1。\[
\int^1_0 \left( \int^z_0 \left( \int^y_0 f(x,y,z) \ dx \right)  \ dy \right) \ dz
\]

また、積分順序は自由です。つまり、\( x \), \( y \), \( z \) どれから積分してもOKです。

例えば、\[
\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^f_e \left( \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y,z) \ dx \right)  \ dy \right) \ dz \]の3重積分を\[
\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^b_a \left( \int^d_c \left( \int^f_e f(x,y,z) \ dz \right)  \ dy \right) \ dx
\]と入れ替えて計算することができます。

ただし、\[
\int^1_0 \left( \int^x_0 \left( \int^1_0 f(x,y,z) \ dx \right)  \ dy \right) \ dz
\]のようにすでに積分した変数 or これから積分しようとする変数を入れることはできません*2。

（積分順序に関するルールは2重積分のときと同じです）

[補足] (ii)の方法

被積分関数 \( f(x,y,z) \) を

• \( x \) だけの関数 \( p(x) \)
• \( y \) だけの関数 \( q(x) \)
• \( z \) だけの関数 \( r(x) \)

の3つの積で表され、なおかつ積分範囲が全部定数のときは、以下のように3つの定積分の式を計算することで答えを求めることができます。\[
\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^b_a p(x) \ dx \times \int^d_c q(y) \ dy \times \int^f_e r(z) \ dz
\]

計算については、実際に例題を解いてなれたほうが早いと思います。

ということで例題へLet's go!

解説1

(1)

積分範囲がすべて定数で表されているので、(ii)の方法で解いてみましょう。\[\begin{align*}
\iiint_V x^3 y^2 z \ dxdydz & = \int^{1}_{0} x^3 \ dx \cdot \int^{2}_{1} y^2 \ dy \cdot  \int^{3}_{2} z \ dz
\\ & = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]^{1}_{0} \cdot \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]^{2}_{1} \cdot \left[ \frac{1}{2} z^2 \right]^{3}_{2}
\\ & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \left( 8 - 1 \right) \cdot \frac{1}{2} \left( 9 - 4 \right)
\\ & = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2}
\\ & = \frac{35}{24}
\end{align*}\]

(2)

積分範囲を見てみる。すると、積分順序に以下の2つの制限がかかる。

• \( z\) に \( y \) の積分範囲が存在する
  → \( y \) を積分する前に \( z \) を積分する必要あり
• \( y \) に \( x \) の積分範囲が存在する
  → \( x \) を積分する前に \( y \) を積分する必要あり

そのため、\( z \), \( y \), \( x \) の順に積分する必要がある。

\[\begin{align*}
& \iiint_V x^3 y^2 z \ dxdydz
\\ = \ & \int^1_0 \left( \int^x_0 \left( \int^y_0 x^3 y^2 z \ dz \right)  \ dy \right) \ dx
\\ = \ & \int^1_0 \left( \int^x_0 x^3 y^2 \left[ \frac{1}{2} z^2 \right]^{y}_{0}  \ dy \right) \ dx
\\ = \ & \frac{1}{2} \int^1_0 \left( \int^x_0 x^3 y^4 \ dy \right) \ dx
\\ = \ & \frac{1}{2} \int^1_0 x^3 \left[ \frac{1}{5} y^5 \right]^{x}_{0} \ dx
\\ = \ & \frac{1}{10} \int^1_0 x^8 \ dx
\\ = \ & \frac{1}{10} \left[ \frac{1}{9} x^{9} \right]^{1}_{0}
\\ = \ & \frac{1}{90}
\end{align*}\]

(2) 積分範囲が複雑な場合

実際の3重積分の問題では、(1)のように\[
V = \{ (x,y,z) \ \mid  a \leqq x \leqq b, \ c \leqq y \leqq d , \ e \leqq z \leqq f \}
\]のように、すぐに \( x \), \( y \), \( z \) の積分範囲に分けられるような問題は基本出てきません。

例えば、\[
V = \{ (x,y,z) \ \mid  0 \leqq x , \ 0 \leqq y , \ 0 \leqq z , \ x+y+z \leqq 1 \}
\]のようにひとひねりされた積分範囲であることがほとんどです。

このような問題の場合、\[
\iint_D \left( \int^{q(x,y)}_{p(x,y)} f(x,y,z) \ dz \right) \ dxdy
\]のように、

• どれか1変数を積分できるような形に変形
  （\( z \) を積分するのであれば \( p(x,y) \leqq z \leqq q(x,y) \) の形*3
• 残りの2変数を積分領域 \( D \) で表現
  （最初に \( z \) を積分したら、領域 \( D \) は \( xy \) 平面上になる

の形に持ちこんでから解きます。

積分範囲を 1変数＋2重積分 の形に変形する際に

• 積分範囲を解析的(?)に変形する方法
• 積分範囲（立体）を図示する方法

の2通りがあります。

実際に例題を1問解いて見ましょう。

解説2

\( x + y + z \leqq 1 \) を \( z \) 中心の形にすると、\( z \leqq 1 - x - y \) となります。

さらに \( V \) の範囲より、\( 0 \leqq z \) なので、\( z \) の積分範囲は\[
0 \leqq z \leqq 1-x-y
\]となります。

式変形で考えるのが難しいなと思う人は、下のように立体を図示してから考えるのもいいでしょう。（緑色の部分が領域 \( V \)）

つぎに、残りの2重積分の範囲を考えましょう。

\( z \) がどんなに小さな値だったとしても \( z = 0 \) なので必ず \( x + y \leqq 1 \) となりますね。

また、\( 0 \leqq x \), \( 0 \leqq y \) なので \( 0 \leqq x + y \) ですね。なので、\[
0 \leqq x+y \leqq 1
\]が成り立ち、残りの2重積分の積分範囲 \( D \) は\[
D = \{ (x,y) \ \mid  0 \leqq x , \ 0 \leqq y , \ x+y \leqq 1 \}
\]となります。

さらに \( D \) の積分範囲を分解していくと、\[
D =  \{ (x,y) \ \mid  0 \leqq x \leqq 1, \ 0 \leqq y \leqq 1 - x \}
\]となりますね。

（2重積分の積分範囲を考えるときは図示してもOK）

なお、図形的に考える場合は、残りの2重積分の範囲 \( D \) は、領域 \( V \) を真上方向から見たものと同じと思うとわかりやすいかもしれません。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V 1 \ dxdydz & =  \iint_D \left( \int^{1-x-y}_{0} 1 \ dz \right) \ dxdy
\\ & = \iint_D 1-x-y \ dxdy
\\ & = \int^{1}_{0}  \left( \int^{1-x}_{0} 1-x-y \ dy \right) dx
\\ & = \int^{1}_{0}  \left[ y - xy - \frac{1}{2} y^2 \right]^{1 - x}_{0} \ dx
\\ & =  \int^{1}_{0}  1-x - x(1-x) - \frac{1}{2} (1-x)^2  \ dx
\\ & = \int^{1}_{0}  \frac{1}{2} x^2 - x + \frac{1}{2} \ dx
\\ & = \left[ \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \right]^{1}_{0}
\\ & = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
\\ & = \frac{1}{6}
\end{align*}\]と計算できる。

４．3重積分と変数変換（ヤコビアン）

2重積分に出てきたヤコビアン、実は3重積分でも出てきます。

（ヤコビアンってなんだっけという人はこちらの記事で復習をしましょう。）

www.momoyama-usagi.com

(1) ヤコビアンの公式

3重積分の場合にも、変数変換を用いて積分範囲を簡潔に表す方法が使えます。

例えば、\[
\left\{\begin{array}{l} x = 2p - 3q - r \\ y = -p + 3r \\ z = p + 2q + 2r    \end{array}\right.
\]とおきかえることを考えてみましょう。

このときのヤコビアンは、\[\begin{align*}
J & =  \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial p} & \frac{\partial x}{\partial q} & \frac{\partial x}{\partial r}  \\ \frac{\partial y}{\partial p} & \frac{\partial y}{\partial q} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial z}{\partial p} & \frac{\partial z}{\partial q} & \frac{\partial z}{\partial r}  \end{array} \right|
\\ & =  \left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & -2  \end{array} \right|
\\ & = -13
\end{align*}\]となるので、\[
dxdydz = 13 \ dpdqdr
\]の関係式が成り立つことがわかります。

(2) よく出る変数変換1　球面座標への変換

球面座標への変換とは、\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta    \end{array}\right.
\]のような変換を表します。

（※ただし \( 0 \leqq r \),  \( 0 \leqq \theta \leqq \pi \),  \( 0 \leqq \phi \leqq 2 \pi \) です。\( \phi \) は1周分の積分だが、\( \theta \) は1周分ではない点に注意。）

球面変換を図で表してみましょう。

このときのヤコビアン \( J \) は\[\begin{align*}
J & =  \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}  \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi}  \end{array} \right|
\\ & =  \left| \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & - r \sin \theta & 0  \end{array} \right|
\\ & = r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi
\\ & = r^2 \sin \theta \left( \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi + \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^2 \theta \cos^2 \phi \right)
\\ & = r^2 \sin \theta \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta  \right) \left( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi  \right)
\\ & = r^2 \sin \theta
\end{align*}\]と計算できるので、ヤコビアンは \( r^2 \sin \theta \) となり、\[
dxdydz = r^2 \sin \theta \ dr d \theta d \phi
\]の関係式が成り立ちます。

1回自分で導出してみるとわかるのですが、かなり計算がえげつないのでヤコビアン \( r^2 \sin \theta \) は覚えておくことをつよくおすすめします。

球面座標への変数変換は、積分領域に \( x^2 + y^2 + z^2 \leqq a^2 \) のように \( x^2 + y^2 + z^2 \) が含まれる形のときに使われることが多いです。

積分範囲に \( x^2 + y^2 + z^2 \) が含まれている場合、球面変換をすることを疑ってください*4。

例題で球面座標の変換に慣れておきましょう。

解説3

積分領域が \( x^2 + y^2 + z^2 \) の形で設定されているので、\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta    \end{array}\right.
\]の変数変換をしましょう。

ここで、\( z \geqq 0 \)、つまり \( r \cos \theta \geqq 0 \) なので、\( \cos \theta \geqq 0 \) という制限が入りますね*5。

また、\[
x^2+y^2+z^2 = r^2 \leqq 1
\]より*6、変換後の積分領域 \( V' \) は\[
V' = \left\{ (r,\theta,\phi) \ \middle| 0 \leqq r \leqq 1 , \ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} , \ 0 \leqq \phi \leqq 2 \pi \right\}
\]となります。

あとは、積分領域が \( r \), \( \theta \), \( \phi \) ともに定数範囲になったので3つの定積分に分解して解くだけでOK。

ヤコビアン \( r^2 \sin \theta \) の存在もお忘れなく。

すると、\[\begin{align*}
\iiint_V 1 \ dxdydz & = \iiint_{V'} r^2 \sin \theta  \ drd \theta d \phi
\\ & = \int^{1}_{0} r^2 \ dr \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin \theta \ d \theta \cdot \int^{2 \pi}_{0} 1 \ phi
\\ & = \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]^{1}_{0} \cdot \left[ - \cos \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cdot \left[ \phi \right]^{2 \pi}_{0}
\\ & = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \pi
\\ & = \frac{2}{3} \pi
\end{align*}\]と答えが求まります。

(3) よく出る変数変換2　円柱座標への変換

円柱座標への変換とは、\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \cos \theta  \\ y = r \sin \theta \\ z = z   \end{array}\right.
\]のような変換を表します。

（※ただし \( 0 \leqq r \),  \( 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \)。\( \theta \) は1周分。）

円柱変換を図で表してみましょう。

 \( xy \) 平面は極座標変換、\( z \) 軸に関しては一切変換をしません。

そのため、高さを変えない極座標変換だと思っていただけたらOKです。

このときのヤコビアン \( J \) は\[\begin{align*}
J & =  \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z}  \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}  \end{array} \right|
\\ & =  \left| \begin{array}{ccc} \cos \theta  & - r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0  \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right|
\\ & =  \left| \begin{array}{ccc} \cos \theta  & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta   \end{array} \right|
\\ & = r \cos^2 \theta +r \sin^2 \theta
\\ & = r \left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right)
\\ & = r
\end{align*}\]と計算できるので、ヤコビアンは \( r \) となり、\[
dxdydz =r \ dr d \theta d z
\]の関係式が成り立ちます。

以下のような3重積分の場合、円柱変換をする可能性があります。

• 積分範囲に \( x^2 + y^2 \) が含まれている
• \( x^2 + y^2 + z^2 \) が式や積分範囲にあり、球面変換をしてもうまくいかない

この2パターンに当てはまった場合は「円柱変換をするかも…？」と思ってください。

では、円柱変換を行う例題を見てみましょう。

解説4

積分範囲に \( x^2 + y^2 \) が含まれているので、円柱変換\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z    \end{array}\right.
\]をしましょう。

ここで、\( x^2 + y^2 \leqq 2 \) なので、\( 0 \leqq r \leqq \sqrt{2} \) となりますね。

また、\( 0 \leqq z \leqq \sqrt{x^2+y^2} \) なので、\( 0 \leqq z \leqq r \) も成り立ちますね。

よって、領域変換後の積分領域 \( V' \) は\[
V' = \left\{ (r,\theta,\phi) \ \middle| 0 \leqq r \leqq \sqrt{2} , \ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi , \ 0 \leqq z \leqq r  \right\}
\]となります。

すると、\[\begin{align*}
\iiint_V (x^2+y^2) z^3 \ dxdydz & = \iiint_{V'} r^2 z^3 \cdot r  \ drd \theta dz
\\ & = \int^{2 \pi}_{0} \left( \int^{\sqrt{2}}_{0} r^3 \left( \int^{r}_{0} z^3  \ dz \right) \ d r \right) \ d \theta
\\ & = \int^{2 \pi}_{0} \left( \int^{\sqrt{2}}_{0} r^3 \left[ \frac{1}{4} z^4 \right]^{r}_{0} \ dr \right) \ d \theta
\\ & = \frac{1}{4} \int^{2 \pi}_{0} \left( \int^{\sqrt{2}}_{0} r^7  \ dr \right) \ d \theta
\\ & = \frac{1}{4} \int^{2 \pi}_{0} \left[ \frac{1}{8} r^8 \right]^{ \sqrt{2} }{0} \ d \theta
\\ & = \frac{1}{32} \int^{2 \pi}_{0} 16 \ d \theta
\\ & = \frac{1}{32} \cdot 32 \pi
\\ & = \pi
\end{align*}\]と答えが求まります。

５．練習問題

では、何問か練習問題を用意したのでチャレンジしてみましょう。

練習1

つぎの3重積分の値を計算しなさい。\[
\iiint_V z \ dxdydz \]\[
V = \{ (x,y,z) \ \mid 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 1 \}
\]

練習2

つぎの3重積分の値を計算しなさい。\[
\iiint_V e^{x+y+z} \ dxdydz \]\[
V = \{ (x,y,z) \ \mid  0 \leqq x , \ 0 \leqq y , \ 0 \leqq z , \ x+y+z \leqq 2 \}
\]

練習3

つぎの3重積分の値を計算しなさい。\[
\iiint_V z \ dxdydz \]\[
V = \{ (x,y,z) \ \mid 0 \leqq x , \ 0 \leqq y , \ 0 \leqq z  , \ x^2 + y^2 + z^2 \leqq 4 \}
\]

練習4 [難問]

つぎの3重積分の値を計算しなさい。\[
\iiint_V 1 \ dxdydz \\
V = \{ (x,y,z) \ \mid x^2 + y^2 \leqq x  , \ x^2 + y^2 + z^2 \leqq 1 \}
\]

６．練習問題の答え

解答1

積分順序によって計算量が結構変わります。

おすすめの積分順序(1)と、例題2と同じ積分順序で計算するパターン両方を紹介したいと思います。

(1) \( x \), \( y \), \( z \) の順で積分する方法 [おすすめ]

まず、\( 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 1 \) より \( 0 \leqq x \leqq y \) となることがわかる。

また、残りの2変数の積分領域 \( D \) は、\( 0 \leqq x \), \( y+z \leqq 1 \) より\[
D =  \{ (y,z) \ \mid 0 \leqq y \leqq z \leqq 1 \}
\]となります。

さらに積分領域 \( D \) は \( 0 \leqq y \leqq z \) より\[
D =  \{ (y,z) \ \mid 0 \leqq y \leqq z , \ 0 \leqq z \leqq 1 \}
\]と分解ができます。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V z \ dxdydz & =  \iint_D \left( \int^{y}_{0} z \ dx \right) \ dydz
\\ & = \iint_D z \left[ x \right]^{y}_{0} \ dydz
\\ & = \iint_D yz \ dydz
\\ & = \int^{1}_{0} \left( \int^{z}_{0} yz \ dy \right) dz
\\ & = \int^{1}_{0} z \left[ \frac{1}{2} y^2 \ dy \right]^{z}_{0} \ dz
\\ & = \frac{1}{2} \int^{1}_{0} z^3 \ dz
\\ & = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} z^4 \right]^{1}_{0}
\\ & = \frac{1}{8}
\end{align*}\]と計算できます。

(2) \( z \), \( y \), \( x \) の順で積分する方法 [ちょい大変]

計算量を比較するために、こちらの方法でもやってみましょう。

\( 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 1 \) に注目すると \( z \) の積分範囲は \( y \leqq z \leqq 1 \) となります。

また、残りの2変数の積分領域 \( D \) は、 \( z \leqq 1 \) より\[
D =  \{ (y,z) \ \mid 0 \leqq x \leqq y \leqq 1 \}
\]となります。

さらに積分領域 \( D \) は \( x \leqq y \leqq 1\) より\[
D =  \{ (y,z) \ \mid x \leqq y \leqq 1 , \ 0 \leqq x \leqq 1 \}
\]と分解ができます。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V z \ dxdydz & =  \iint_D \left( \int^{1}_{y} z \ dz \right) \ dxdy
\\ & = \iint_D \left[ \frac{1}{2} z^2 \right]^{1}_{y} \ dxdy
\\ & = \frac{1}{2} \iint_D 1 - y^2 \ dxdy
\\ & = \frac{1}{2} \int^{1}_{0} \left( \int^{1}_{x} \frac{1}{x} 1 - y^2 \ dy \right) dx
\\ & = \frac{1}{2}  \int^{1}_{0} \left[ y - \frac{1}{3} y^3 \ dy \right]^{1}_{x} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \int^{1}_{0} \frac{2}{3} - x + \frac{1}{3} x^3 dz
\\ & = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{12} x^4 \right]^{1}_{0}
\\ & = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \right)
\\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}
\\ & = \frac{1}{8}
\end{align*}\]と計算できます。

解答2

積分範囲の分解の仕方は例題2とほぼ同じです。

\( z \), \( y \), \( x \) の順に積分しましょうか。

\( x + y + z \leqq 2 \) を \( z \) 中心の形にすると、\( z \leqq 2 - x - y \) となります。

また、\( 0 \leqq z \) なので、\( z \) の積分範囲は\[
0 \leqq z \leqq 2-x-y
\]となります。

ここで、\[
0 < x + y < 2 - z
\]の範囲を \( z \) を使わずに表すことを考えましょう。

\( z \) の範囲は \( z \geqq 0 \) なので、\( x + y < 2 \) となるので、残りの2重積分の積分範囲 \( D \) は\[
D = \{ (x,y) \ \mid  0 \leqq x , \ 0 \leqq y , \ x+y \leqq 2 \}
\]となります。

さらに \( D \) の積分範囲を分解していくと、\[
D =  \{ (x,y) \ \mid  0 \leqq x \leqq 2, \ 0 \leqq y \leqq 2 - x \}
\]となります。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V e^{x+y+z} \ dxdydz & =  \iint_D \left( \int^{2-x-y}_{0} e^{x+y+z} \ dz \right) \ dxdy
\\ & = \iint_D \left[ e^{x+y+z} \right]^{2-x-y}_{0} \ dxdy
\\ & = \iint_D e^{2} - e^{x+y} \ dxdy
\\ & = \int^{2}_{0} \left( \int^{2-x}_{0} e^{2} - e^{x+y} \ dy \right) dx
\\ & = \int^{2}_{0} \left[ x e^{2} - e^{x+y} \ dy \right]^{2-x}_{0} \ dx
\\ & = \int^{2}_{0} (2-x) e^{2} - e^2 + e^x
\\ & = \int^{2}_{0} e^x + e^2 - e^{2} x
\\ & = \left[ e^x + e^2 x - \frac{1}{2} e^2 x^2 \right]^{2}_{0}
\\ & = e^2 + 2e^2 - 2e^2 - 1
\\ & = e^2 - 1
\end{align*}\]と計算できます。

解答3

積分領域が \( x^2 + y^2 + z^2 \) の形で設定されているので、\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta    \end{array}\right.
\]の変数変換をしましょう。

まず、\( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \leqq 4 \) より \( 0 \leqq r \leqq 2 \) という制限が入ります。

つぎに、\( z = r \cos \theta \geqq 0 \)、\( \cos \theta \geqq 0 \) という条件が領域にありますね。よって、\( 0 \leqq \theta \leqq \pi / 2 \) の制限が入ります。

さらに \( x = r \sin \theta \cos \phi \geqq 0 \), \( y = r \sin \theta \sin \phi \geqq 0 \) という条件も領域に入りますね。

ここで、\( r \geqq 0 \), \( \sin \theta \geqq 0 \) なので、\( \cos \phi \geqq 0 \), \( \sin \phi \geqq 0 \) を満たすような \( \phi \) は \( 0 \leqq \theta \leqq \phi / 2 \) となります*7。

よって、新たな積分領域 \( V' \) は\[
V' = \left\{ (r,\theta,\phi) \ \middle| \ 0 \leqq r \leqq 2 , \ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} , \ 0 \leqq \phi \leqq \frac{ \pi }{2} \right\}
\]となります。

ヤコビアン \( r^2 \sin \theta \) の存在もお忘れなく。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V z \ dxdydz & = \iiint_{V'} r \cos \theta \cdot r^2 \sin \theta  \ drd \theta d \phi
\\ & = \int^{2}_{0} r^3 \ dr \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin \theta \cos \theta \ d \theta \cdot \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} 1 \phi
\end{align*}\]を解けば答えが求まりますね。

ここで、それぞれの積分は\[\begin{align*}
\int^{2}_{0} r^3 \ dr & = \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]^{2}_{0}
\\ & = 4
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin \theta \cos \theta \ d \theta & = \frac{1}{2} \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin 2 \theta \ d \theta
\\ & = \frac{1}{2} \left[ - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}
\\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} 1 \ d \phi = \frac{\pi}{2}
\end{align*}\]と計算できる*8。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V z \ dxdydz & =  \int^{2}_{0} r^3 \ dr \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin \theta \cos \theta \ d \theta \cdot \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} 1 \ \phi
\\ & = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}
\\ & = \pi
\end{align*}\]となる。

解答4

積分領域が \( x^2 + y^2 + z^2 \) の形で設定されているので、\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta    \end{array}\right.
\]の変数変換をしようと変形すると、\[
x^2 +y^2 \leqq x  \\
r^2 \sin \theta  \leqq r \cos \theta \\
r \sin \theta \leqq \cos \theta \\
r \leqq \frac{ \cos \theta }{ \sin \theta } = \frac{1}{ \tan \theta }
\]となるため、しんどそうな積分になりそうな気がしますね。

そこで、円柱変換\[
\left\{\begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z    \end{array}\right.
\]をしてみましょう。

すると、\( x^2 + y^2 \leqq x \) を \( r^2 \leqq r \cos \theta \) と変形できるので、\( r \geqq 0 \) より、\( r \leqq \cos \theta \) が成立します。

よって、\( r \) の積分範囲は \( 0 \leqq r \leqq \cos \theta \) となります。

さらに、\( 0 \leqq \cos \theta \) より、\( \theta \) の積分範囲は \( - \pi / 2 \leqq \theta \leqq \pi / 2 \) となります。

また、\[
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2 \leqq 1
\]より、\[
z^2 \leqq 1 - r^2 \\
- \sqrt{1 - r^2} \leqq z \leqq \sqrt{1 - r^2}
\]と \( z \) の積分範囲が決まります。（\( r \) と異なり正でなくてもよいため、負の範囲が入ることに注意！）

よって、新たな積分領域 \( V' \) は\[
V' = \left\{ (r,\theta, z) \ \middle| \ 0 \leqq r \leqq \cos \theta , \ - \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} , \ - \sqrt{1 - r^2} \leqq z \leqq \sqrt{1 - r^2} \right\}
\]

となる。

また、以下の2つの条件を考慮するために \( z \), \( r \), \( \theta \) の順に積分をする必要がある。

• \( \theta \) の積分前に \( r \) を積分
  （\( r \) の範囲に \( \theta \) が含まれているため）
• \( \ r \) の積分前に \( z \) を積分
  （\( z \) の積分範囲に \( r \) が含まれているため）

ヤコビアン \( r \) も忘れずに。

よって、\[\begin{align*}
\iiint_V 1 \ dxdydz & = \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ - \frac{\pi}{2} } \left( \int^{ \cos \theta }_{0} \left( \int^{ \sqrt{1 - r^2} }_{ - \sqrt{1-r^2} } r \ dz \right) dr \right) d \theta
\\ & =  \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ - \frac{\pi}{2} } \left( \int^{ \cos \theta }_{0} 2r \sqrt{ 1 - r^2 } dr \right) d \theta
\\ & =  \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ - \frac{\pi}{2} } \left[ - \frac{2}{3} ( 1 - r^2 )^{ \frac{3}{2} } \right]^{ \cos \theta }_{0} d \theta
\\ & =  \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ - \frac{\pi}{2} } - \frac{2}{3} \left(  ( \cos^2 - 1 )^{ \frac{3}{2} } - 1 \right)    d \theta
\\ & =  \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ - \frac{\pi}{2} }  \frac{2}{3} \left(  ( 1 - \cos^2 )^{ \frac{3}{2} } - 1 \right)    d \theta
\\ & = \frac{2}{3} \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ - \frac{\pi}{2} } 1 - | \sin^3 \theta |    d \theta
\\ & = \frac{4}{3} \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ 0 } 1 - \sin^3 \theta  \  d \theta
\\ & = \frac{4}{3} \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ 0 } 1 -\frac{1}{4} ( 3 \sin \theta - \sin 3 \theta )  \  d \theta
\\ & = \frac{4}{3} \left[ \theta + \frac{3}{4} \cos \theta - \frac{1}{12} \cos 3 \theta   \right]^{ \frac{\pi}{2} }_{ 0 }
\\ & = \frac{4}{3} \left( \frac{\pi}{2} - \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{12} \right) \right)
\\ & = \frac{4}{3} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right)
\\ & =  \frac{2}{3} \pi - \frac{8}{9}
\end{align*}\]と計算できる*9。

注意点としては、\[\begin{align*}
\left( 1 - \cos^2 \theta \right)^{ \frac{3}{2} } & = | \sin^3 \theta |
\\ & \neq \sin^3 \theta
\end{align*}\]があります。絶対値の存在を忘れないようにしましょう。

\[
\int^{ \frac{\pi}{2} }_{ \frac{\pi}{2} } | \sin^3 \theta | \neq \int^{ \frac{\pi}{2} }_{ \frac{\pi}{2} }  \sin^3 \theta
\]ですからね。

７．さいごに

今回は、3重積分について説明しました。

最後に、3重積分について重要なポイントを5つおさらいしておきましょう。

• 2重積分より積分する変数が1つ増えただけ
• すでに積分した変数を積分しなければ、積分の順序は任意
• 範囲が複雑であれば式を変形して定積分＋残りの領域で2重積分の形に。
• 球面変換のヤコビアンは \( r^2 \sin \theta \)、\( \theta \) の範囲は1周分ではなく、\( 0 \leqq \theta \leqq \pi \)
• 円柱変換のヤコビアンは \( r \)、極座標変換＋高さを変化させない変換だと思えばOK

うさぎでもわかる解析は今回が最終回となります。

Part28までお付き合いいただき、ありがとうございました！

こんにちは、ももやまです。

大学生の「解析学」で最初に出てくる「極限」の中で出てくる

• \( \varepsilon - \delta \) 論法（関数に関する極限で登場）
• \( \varepsilon - N \) 論法（数列に関する極限で登場）

って高校までの極限と全然違ってて「あれ？？」となる人が多いかと思います。

ということで、今回はそんな \( \varepsilon - \delta \) 論法、\( \varepsilon - N \) 論法についてうさぎでもわかるようにわかりやすく説明していきたいと思います。

※ 私ももやま自身も今回初めて \( \varepsilon - \delta \), \( \varepsilon - N \) 論法について勉強したため、ミスがあるかもしれません。そのときはコメントなどでご指摘いただけたら幸いです。

１．ε-δ論法とは

今まで数3や解析学で極限を習った人であれば\[
\lim_{x \to 0} 100x
\]を計算すると、\[
\lim_{x \to 0} 100x = 0
\]になることはすぐにわかるでしょう。

しかし、「本当に0に近づくか」疑問に思ってしまう人が出てしまいました。

その疑問が「ε-δ論法」のきっかけなのです。

ここからは「ε-δ論法」がどんなものなのかを下の例題を踏まえて説明していきましょう。

(1)

0.01より小さくしたいということは、\[
100x < 0.1 \]\[
x < 0.001
\]となる \( x \) を1つ答えればよい。

そのような \( x \) の例として、\[
x = 0.0009
\]がある。

(2)

0.001より小さくしたいということは、\[
100x < 0.01 \]\[
x < 0.0001
\]となる \( x \) を1つ答えればよい。

そのような \( x \) の例として、\[
x = 0.00009
\]がある。

(3)

0.0001より小さくしたいということは、\[
100x < 0.001 \]\[
x < 0.00001
\]となる \( x \) を1つ答えればよい。

そのような \( x \) の例として、\[
x = 0.000009
\]がある。

(4)

微小な値 \( \varepsilon \) より小さくしたいということは、\[
100x <\varepsilon \]\[
x < \frac{1}{100} \varepsilon
\]となる \( x \) を1つ答えればよい。

そのような \( x \) の例として、\[
x = \frac{1}{101} \varepsilon
\]がある。

(4)より、\( x < \frac{1}{100} \varepsilon \) であれば、\( 100x \) は微小な数 \( \varepsilon \) に近づくことがわかりますね。

実は上のように「どんなに0に近い値 \( \varepsilon \) に対しても、必ず \( 100x \lt \varepsilon \) を満たすような \( x \) を0近くにすることができる」がまさに \( \varepsilon - \delta \) 論法の仕組みなのです！

２．ε-δ論法で極限を示してみよう

(1) 証明の目標・流れ

\( x \) が負になる場合も踏まえて、\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{0}} 100x = \textcolor{blue}{0}
\]を \( \varepsilon - \delta \) 論法で示すときの流れをもう詳しく説明しましょう。

\( \varepsilon - \delta \) 論法による証明の手順としては、

1. どんなに \( 100x \) が \( \textcolor{blue}{0} \) に近くても
2. すべての1に対し、極限値を実現できるような \( \textcolor{red}{0} \) に近い \( x \) が存在することを示す

の2ステップで証明できます。

まず、1の部分では、\( 100x \) が \( \textcolor{blue}{0} \) に近いことを小さな正の値  \( \varepsilon \) で表します。

すると、\[
- \varepsilon < 100x < \varepsilon \ \ (\varepsilon \not = 0) \]\[
| 100x | < \varepsilon
\]となります。

（ただし、\(  \varepsilon \not = 0 \) に注意！　極限値はあくまでも近づく値であり、実際の値ではありません！）

※ \(  \varepsilon \) は極限値 \( \textcolor{blue}{0} \) と \( f(x) \) との差を表していると考えるとわかりやすいかと思います。

つぎに、すべての1の部分、つまり\[
| 100x | < \varepsilon \tag{1}
\]を満たすようなすべての \( \varepsilon \) に対し、極限値を満たす \( \textcolor{red}{0} \) に近い \( x \) が存在することを、\[
- \delta < x < \delta \]\[
0 < |x| < \delta
\]となる小さな正の値 \( \delta \) が1つ以上存在することで確認します。

（こちらも \(  \delta \not = 0 \) に注意！　あくまでも \( x \) を0に近づけるだけで、0を代入するわけではありません。）

※ \(  \delta \) は近づける値 \( \textcolor{red}{0} \) と \( x \) との差を表していると考えるとわかりやすいかと思います。

今回の場合、(1)の式を100で割り、\[
| x | < \frac{1}{100} \varepsilon
\]となるので、\[
\delta = \frac{1}{100} \varepsilon
\]とすることで2の部分を示すことができます。

（実際に \( \delta \) に代入するのがポイント！）

さらに図を用いて説明すると、

• \( \varepsilon \) がどんな値であったとしても
  （赤色矢印がどんな長さだったとしても）
• \( \delta \) の値をうまいこと選び、青色矢印の中に \( x \) が入ることを示す

のが \( \varepsilon - \delta \) 論法となります。

(2) 定義の紹介

ここで、\( \varepsilon - \delta \) 論法を用いた極限\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{a}} f(x) = \textcolor{blue}{b}
\]の定義を確認しましょう。

さらに図を用いて定義を確認してみましょう。

極限値 \( b \) と \( f(x) \) の誤差 \( \varepsilon \)（ピンク矢印部分）がどんな値であったとしても、必ず \( x \) と \( a \) の誤差 \( \delta \)（青矢印部分）となるような \( \delta \) が存在することがいえれば、\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{a}} f(x) = \textcolor{blue}{b}
\]が示せます。

もう少し数学用語を使って堅く定義を書いてみましょう。

ここで、謎の記号 \( \Rightarrow \) が出てきましたね。

この記号は、「ならば」を表します。

\( A \Rightarrow B \) を例にしてもう少し丁寧に説明しましょう。

「ならば」の左側（Aの部分）は前提条件を表します。つまり、Aは仮定を表しています。

「ならば」の右側（Bの部分）は結論、つまり証明したい部分を表します。

\( A \Rightarrow B \) を証明する場合には、前提条件Aが成立するときに結論Bも成立することを示せばOKです。

(3) ∀や∃を用いた式の表し方（述語論理）

この記事では \( \forall \) や \( \exists \) を用いた述語論理形式による表し方はしませんが、教科書や一部の先生は述語論理式で定義を表すのがいるので、この記事でも簡単に述語論理式の読み方について説明しましょう。

なお、より詳しく \( \forall \) や \( \exists \) を用いた述語論理形式での表し方についてお勉強したい人は、以下に記事や動画を用意したので、是非ご覧ください。

[記事]

【∀, ∃がある式の読み方】うさぎでもわかる離散数学　第3羽　述語論理のいろは

大学の数学では∀や∃などの見慣れない記号が出てきますよね。これらの述語記号は読み方は慣れないと理解するのが難しいですよね

[動画]

(i) 述語論理の読み方

任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対して、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
|x-\textcolor{red}{a}| < \delta \ \Rightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{b} | < \varepsilon
\]が成り立つ、というのは述語論理で表すと下のようになります。

まず、\( \textcolor{red}{\forall} \varepsilon \gt 0 \) で「すべての正の実数 \( \varepsilon \)」を表します。

つぎに、\( \textcolor{blue}{\exists} \varepsilon \gt 0 \) で「ある（1つ以上）の正の実数 \( \delta \)」を表します。

さらに、s.t は such that（～の条件を満たすような）を表します。（書かない先生も多いです。）

(ii) 述語論理は順番に気をつけろ！

述語論理では、順番が大切になってきます。

例えば、\[
\forall x , \exists y \ \ \mathrm{s.t.} \ \ x = y \]\[
\exists y, \forall x \ \ \mathrm{s.t.} \ \ x = y
\]の2つが正しい式なのかを考えてみましょう。

前者\[
\forall x , \exists y \ \ \mathrm{s.t.} \ \ x = y
\]を日本語訳すると「すべての \( x \) に対し、ある1つの \( y \) が存在し、\( x = y \) が成立する」となります。

つまり、どんな \( x \) であったとしても、必ず \( y \) と等しくなるような \( x \) が1つ以上存在することを表します。

もちろん、この文章は正しいです。

相手がどんな数字を言ってきた \( x \) としても（すべての \( x \) に対し）、その数字をそのままあなたが言い返す \( y \) ことはできます（ある1つの \( y \) に対して成り立つ）よね。

一方後者は\[
\exists y , \forall x \ \ \mathrm{s.t.} \ \ x = y
\]を日本語訳すると「ある1つ（以上）の \( y \) に対し、すべての \( x \) について \( x = y \) が成立する」となります。

つまり、1つの \( y \) でいいから、固定した \( y \) に対し、どんな \( x \) でも \( x = y \) 成立することを表します。

日本語訳すると、この文章は無茶苦茶なことがわかりますよね。

例えばですが、\( y = 2 \) のとき、\( x = 3 \) だと \( x = y \) にはなりませんよね。

そのため、後者の述語論理式は誤っていることがわかります。

このように、述語論理を読み書きする際には順番に大きく気を付ける必要があるのです。

(4) 例題を解いてみよう

※ 2023/02/08：例題の解説の途中過程で、大幅な式変形のミスをしていたものを修正しました。ご迷惑をおかけし、申し訳ございません。

解説1

極限\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{2}} x^2 = \textcolor{blue}{4}
\]を示すためには、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対し、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
0 < |x-\textcolor{red}{2}| < \delta \ \ ならば \ \ | x^2 - \textcolor{blue}{4} | < \varepsilon
\]となることを示せばよい。

ここで、\[
0 < |x-\textcolor{red}{2}| < \delta
\]を \( x \) に関する不等式に変形する。

\[
0 < |x-\textcolor{red}{2}| < \delta \]\[
- \delta < x - 2 < \delta \]\[
2 - \delta < x < 2 + \delta
\]となる。（ただし \( x \not = 2 \)）

同じように\[
| x^2 - \textcolor{blue}{4} | < \varepsilon
\]も \( x \) に関する不等式に変形する。\[
- \varepsilon < x^2 - 4  < \varepsilon \]\[
4 - \varepsilon < x^2 < 4 + \varepsilon \]と変形でき、さらに \( x \to 2 \) より \( x \) は正と考えてよい。よって\[
\sqrt{4 - \varepsilon} < x < \sqrt{4 + \varepsilon}
\]と変形できる。

つまり、すべての \( \varepsilon \) に対し、\[
2 - \delta < x < 2 + \delta \Rightarrow \sqrt{4 - \varepsilon} < x < \sqrt{4 + \varepsilon}
\]を満たすような \( \delta \) を1つ見つければよい。

そのためには、\[
2 - \delta = \sqrt{4 - \varepsilon} \Leftrightarrow \delta = 2 - \sqrt{4 - \varepsilon} \]\[
2 + \delta = \sqrt{4 + \varepsilon} \Leftrightarrow \delta = \sqrt{4 + \varepsilon } - 2  \]\[
\]の2つのうち、小さい方を \( \delta \) してとればよい*1。

ここで、\( \min (A,B) \) を A, Bの2つのうち、小さい方を表すとすると、\[
\delta = \min ( 2 - \sqrt{4 - \varepsilon},  \sqrt{4 + \varepsilon } - 2 )
\]とすることで、\[
2 - \delta < x < \delta - 2 \Rightarrow \sqrt{4 - \varepsilon} < x < \sqrt{\varepsilon - 4}
\]を成立させることができる。

（※具体的にどっちが小さいかを求める必要はありません。）

よって、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対し、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
0 < |x-\textcolor{red}{2}| < \delta \ \ ならば \ \ | x^2 - \textcolor{blue}{4} | < \varepsilon
\]となるので、\[
\lim_{x \to 2} x^2 = 4
\]が示された。

(5) 証明のテンプレート

最初は、\( \varepsilon - \delta \) 論法の証明に慣れないと思うので、証明のテンプレートを用意してみました。

証明をする際の参考にしてください。

３．x→∞のときのε-δ論法

つぎに \( x \to \infty \) にしたときの極限\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \textcolor{blue}{b}
\]を \( \varepsilon - \delta \) 論法で示す方法を見ていきましょう。

日本語で証明の流れを簡単に説明すると、

1. どんな小さな正の数 \( \varepsilon \) を取ったとしても
2. 1に対して\[
   x > \delta \ \Rightarrow \ | f(x) - b | \varepsilon
   \]を満たすような \( \delta \) を1つ以上ある

ことを示せば、\( \varepsilon - \delta \) 論法で\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \textcolor{blue}{b}
\]を示すことができます。

とは言っても、基本的には \( x \to a \) のときと同じく、すべての \( \varepsilon \) に対して、条件を満たすような \( \delta \) を \( \varepsilon \) を用いて表すだけです。

例題を解いてみましょう。

解説2

極限\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2x+1}= \textcolor{blue}{1}
\]を示すためには、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対し、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
x > \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{2x}{2x+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\]となることを示せばよい。

ここで、\( x \to \infty \) なので、\( x \gt 0 \) と考えてよい。

そのため、\[\begin{align*}
\frac{2x}{2x+1} - 1 & = \frac{2x - (2x+1)}{2x+1}
\\ & = - \frac{1}{2x+1} < 0
\end{align*}\]変形できる。

さらに、\[\begin{align*}
& \left| \frac{2x}{2x+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & 1 - \frac{1}{2x+1} < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & \frac{1}{2x+1} < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & 2x+1 > \frac{1}{\varepsilon}
\end{align*}\]となるので、\[
2x > \frac{1}{\varepsilon} - 1 \]\[
x > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]とすることで \( x \) に関する関係式に変形ができる。

つまり、すべての \( \varepsilon \) に対し、\[
x > \delta \Rightarrow x > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]を満たすような \( \delta \) を1つ見つければよい。

ここで、\( \delta \) を\[
\delta = \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]とすれば、\[
x > \delta = \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2} \Rightarrow x > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]となり、すべての \( \varepsilon \) に対して条件\[
x > \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{2x}{2x+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\]を満たす。

よって、\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2x+1}= 1
\]が示された。

証明のテンプレート（x→∞のとき）

\( x \to \infty \) での \( \varepsilon - \delta \) 論法による証明のテンプレートも用意しました。

こちらも参考までにどうぞ。

４．ε-N論法とは（ε-δ論法の数列Ver）

数3や解析学では、ある数列 \( a_n \) の極限\[
\lim_{n \to infty} a_n
\]を求めましたね。

早速 \( \varepsilon - N \) 論法の定義を確認しましょう。

とはいっても、3章で出てきた \( x \to \infty \) のときの \( \varepsilon - \delta \) 論法の「実数 \( \delta \) が自然数 \( N \) に変わっている」だけなので、理解は難しくありません！

念のため日本語で簡単に説明すると、

• どんな小さな正の数 \( \varepsilon \) を取ったとしても
• 1に対して\[
  x > \delta \ であれば \ | f(x) - b | \varepsilon
  \]を満たすような自然数 \( N \) を1つ以上ある

ことを示せば、\( \varepsilon - N \) 論法で\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \textcolor{blue}{\alpha}
\]を示すことができます。

また例題を解いてみましょう。

解説3

極限\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}= \textcolor{blue}{1}
\]を示すためには、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対し、ある正の自然数 \( N \) が存在し、\[
n > N \ \Rightarrow \ \left| \frac{2n}{2n+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\]となることを示せばよい。

ここで、\( n \to \infty \) なので、\( n \gt 0 \) と考えてよい。

そのため、\[\begin{align*}
\frac{2n}{2n+1} - 1 & = \frac{2n - (2n+1)}{2n+1}
\\ & = - \frac{1}{2n+1} < 0
\end{align*}\]と変形できる。

さらに、\[\begin{align*}
& \left| \frac{2n}{2n+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & 1 - \frac{1}{2n+1} < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & \frac{1}{2n+1} < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & 2n+1 > \frac{1}{\varepsilon}
\end{align*}\]となるので、\[
2n > \frac{1}{\varepsilon} - 1 \]\[
n > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]とすることで \( n \) に関する関係式となる。

つまり、すべての \( \varepsilon \) に対し、\[
n > N \Rightarrow n > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]を満たすような自然数 \( N \) を1つ見つければよい。

ただし、\( N \) は自然数なので、そのまま\[
N =  \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]とすることはできない。

そこで、\( N \) を\[
N >  \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]を満たす自然数とする。すると、\[
n > N > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]となるので、すべての \( \varepsilon \) に対し、条件\[
n > N > \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}  \ \Rightarrow \ \left| \frac{2n}{2n+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\]を満たす。

よって、\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}= 1
\]が示された。

[補足：ガウス記号を用いた \( N \) の表し方]

\( \varepsilon - N \) 論法では、\( N \) が1つでも存在することを示せばいいので、具体的な \( N \) の値を求める必要はありません。

しかし、実際に \( N \) を求めたいのであればガウス記号*2を用いて表すことができます。

今回の場合は、\[
N >  \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]とすればよいので、\[
N = \left[ \frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2} \right] \textcolor{red}{+ 1}
\]と具体的に \( N \) の値を表せる。

（ガウス記号は、小数部分を取り除くが、小数部分は絶対に1未満なので、最後に1を足すことで必ず\[
\frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{2}
\]より大きい自然数を表現できる。）

証明のテンプレート（x→∞のとき）

\( \varepsilon - N \) 論法も、最初は証明に慣れないと思うので、証明のテンプレートを用意してみました。

証明をする際の参考にしてください。

５．ε-δ論法の応用・関数の連続性

最後に、\( \varepsilon - \delta \) 論法を用いて関数の連続性を証明する方法について説明しましょう。

(1) 関数の連続 [復習]

ある関数 \( f(x) \) が \( x = \textcolor{red}{a} \) において連続かどうかを確認するためには\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{a}} f(x) = \textcolor{blue}{f(a)}
\]が成り立つかどうか確認すればOKでしたね。

この極限を \( \varepsilon - \delta \) 論法で示す場合、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対して、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
\textcolor{purple}{0 <} |x-\textcolor{red}{a}| < \delta\ \Leftrightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{f(a)} | < \varepsilon
\]が成り立つことを示せばよさそうですね。

ですが、関数が連続である場合「\( (x,y) = (a,f(a) ) \) で途切れていないので、\( x = a \) の部分を除外する必要がありません。

そのため、\( \textcolor{purple}{0 \lt} \) の部分を消し、\[
|x-\textcolor{red}{a}| < \delta\ \Leftrightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{f(a)} | < \varepsilon
\]と書き換えることができ、この式が成立することを確かめることで \( \varepsilon - \delta \) 論法で関数の連続性を示すことができます。

(2) 連続な関数のとき

では、簡単な例題で \( \varepsilon - \delta \) 論法による証明の流れを確認しましょう。

解説4

\( x = \textcolor{red}{0} \) のとき、\( f(\textcolor{red}{0}) = \textcolor{blue}{0} \) である。

ここで、\( x = \textcolor{red}{0} \) で連続であることを示すためには、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対して、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
|x-\textcolor{red}{0}| < \delta \ \Leftrightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{0} | < \varepsilon \]\[
|x| < \delta \ \Leftrightarrow \ | | x | | = |x| < \varepsilon
\]が成り立つことを示せばよい。

ここで、\[
\delta = \varepsilon
\]とすると、すべての \( \varepsilon \) に対して条件\[
|x-\textcolor{red}{0}| < \delta = \varepsilon \ \Leftrightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{0} | < \varepsilon
\]を満たす。

よって、\( x = 0 \) で連続であることが示された。

\( f(x) \) が \( x = \textcolor{red}{a} \) で連続かどうかを示すときは、\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{a}} f(x) = \textcolor{blue}{f(a)}
\]を \( \varepsilon - \alpha \) 論法で示す手順と同じようにすることで証明ができます。

（ただし \( x \not = a \) を除外する必要がないのが唯一の違うポイント）

(3) 連続ではない関数のとき

いつも連続になる関数ばかりが出題されるとは限りません。

ということで、連続ではない場合のパターンも確認しておきましょう。

解説5

連続ではないことを示す場合には、背理法を使います。２２２

つまり、いったん連続であることを仮定します。

\( x = \textcolor{red}{0} \) のとき、\( f(\textcolor{red}{0}) = \textcolor{blue}{1} \) である。

ここで、\( x = \textcolor{red}{0} \) で連続であると仮定する。

すると、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対して、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
|x-\textcolor{red}{0}| < \delta \ \Rightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{1} | < \varepsilon \]\[
|x| < \delta \ \Rightarrow \ | f(x)-1 | < \varepsilon
\]が成り立つ。

ここで、\( \varepsilon = 0.5 \) とする。

すると、\[
| f(x)-1 | < 0.5 \]\[
-0.5 < f(x) < 0.5 \]\[
0.5 < f(x) < 1.5 \tag {1}
\]と変形できる。

しかし、正の実数 \( \delta \) に対し、\[
|x| < \delta \]\[
- \delta < x < \delta
\]となるため、\( \delta \) の値がどんな値であったとしても範囲の中に \(   x \lt 0 \) が含まれる。

[x \lt 0] のとき、\( f(x) = 0 \) となってしまい、\(  0.5 \lt f(x) \lt 1.5 \) を満たさないため、(1)に矛盾する。

よって、仮定は誤りとなり、\( x = \textcolor{red}{0} \) で連続ではないことが示された。

このように、連続ではないことを示す場合は一旦連続であると仮定してから成り立たない反例を見つけることで証明を行います。

反例を示す場合、ある1つの \( \varepsilon \) を固定し、固定された \( \varepsilon \) のとき、どんな \( \delta \) であったとしても\[
|x-\textcolor{red}{0}| < \delta \ \Rightarrow \ | f(x) - \textcolor{blue}{0} | < \varepsilon
\]が成立しないことを示せばOKです。

（どんな \( \delta \) でも上の式が成り立たないような \( \varepsilon \) を探せばOK！）

６．練習問題

では、

• \( \varepsilon - \delta \) 論法
• \( \varepsilon - N \) 論法
• 関数の連続性

に関する練習問題を1問ずつ、合計3問にチャレンジしてみましょう。

練習1

つぎの極限\[
\lim_{x \to 3} \sqrt{x-3} = 0
\]を \( \varepsilon - \delta \) 論法を用いて示しなさい。

練習2

つぎの極限\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n^2 - 1} = \frac{1}{3}
\]を \( \varepsilon - N \) 論法を用いて示しなさい。

練習3

関数\[
f(x) = \frac{1}{x}
\]が \( x = 1 \) で連続かどうかを \( \varepsilon - \delta \) 論法を用いて確認しなさい。

７．練習問題の答え

解答1

極限\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{3}} \sqrt{x-3} = \textcolor{blue}{0}
\]を示すためには、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対し、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
0 < |x-\textcolor{red}{3}| < \delta \ \ ならば \ \ | \sqrt{x-3} - \textcolor{blue}{0} | < \varepsilon \tag{1}
\]となることを示せばよい。

\( 0 \lt |x-\textcolor{red}{3}| \lt \delta \) は、\[
- \delta < x - 3 < \delta \]\[
3 - \delta < x < 3 + \delta \ (x \not = 3)
\]と変形できる。

また、\[
| \sqrt{x-3} - \textcolor{blue}{0} | < \varepsilon
\]の両辺を2乗すると、\[
0 \leqq x-3 < \varepsilon^2 \]\[
0 \leqq x < \varepsilon^2 + 3
\]となる。（2乗したことにより \( x \geqq 0 \) となる）

つまり、\[
3 - \delta < x < 3 + \delta \ (x \not = 3) \ \Rightarrow \ 0 \leqq x < \varepsilon^2 + 3
\]となることを示せばよい。

ここで、\[
3 + \delta = \varepsilon^2 + 3
\]より、\[
\delta = \varepsilon^2
\]とすると、すべての \( \varepsilon \) に対し、\[
3 - \varepsilon^2 < x < 3 + \varepsilon^2 \ (x \not = 3) \ \Rightarrow \ 0 \leqq x < \varepsilon^2 + 3
\]となるので、(1)も成立する。

よって、\[
\lim_{x \to \textcolor{red}{3}} \sqrt{x-3} = \textcolor{blue}{0}
\]が示された。

解答2

極限\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n^2 - 1} = \textcolor{blue}{\frac{1}{3}}
\]を示すためには、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対し、ある正の自然数 \( N \) が存在し、\[
n > N \ \Rightarrow \ \left| \frac{n^2}{3n^2 - 1}- \textcolor{blue}{\frac{1}{3}} \right| < \varepsilon
\]となることを示せばよい。

ここで、\[\begin{align*}
\frac{n^2}{3n^2 - 1} - \frac{1}{3} & = \frac{3n^2 - (3n^2-1)}{3(3n^2-1)}
\\ & = \frac{1}{3(3n^2-1)} > 0
\end{align*}\]と変形できる。

（\( n \to \infty \) なので、\( 3n^2 - 1 \gt 0 \) と考えてよい。）

さらに、\[\begin{align*}
& \left| \frac{n^2}{3n^2 - 1}- \textcolor{blue}{\frac{1}{3}} \right|< \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & \frac{1}{3(3n^2-1)} < \varepsilon
\\ \Leftrightarrow \ & 3(3n^2-1) > \frac{1}{\varepsilon}
\\ \Leftrightarrow \ & 3n^2-1 > \frac{1}{3 \varepsilon}
\\ \Leftrightarrow \ & 3n^2 > \frac{1}{3 \varepsilon} + 1
\\ \Leftrightarrow \ & n^2 > \frac{1}{9} \left( \frac{1}{\varepsilon} + 1 \right)
\end{align*}\]となるので、\[
n^2 > \frac{1}{9} \left( \frac{1}{\varepsilon} + 1 \right) \]\[
n > \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{ \varepsilon} + 1}
\]とすることで \( n \) に関する関係式となる。

つまり、すべての \( \varepsilon \) に対し、\[
n > N \Rightarrow n > \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{ \varepsilon} + 1}
\]を満たすような自然数 \( N \) を1つ見つければよい。

ここで、\( N \) を\[
N > \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{\varepsilon} + 1}
\]を満たす自然数とする。すると、\[
n > N > \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{ \varepsilon} + 1}
\]となるので、すべての \( \varepsilon \) に対し、条件\[
n > N > \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{ \varepsilon} + 1} \ \Rightarrow \ \left| \frac{2n}{2n+1} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon
\]を満たす。

よって、\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n^2 - 1} = \textcolor{blue}{\frac{1}{3}}
\]が示された。

解答3

\( x = \textcolor{red}{1} \) のとき、\( f(\textcolor{red}{1}) = \textcolor{blue}{1} \) である。

ここで、\( x = \textcolor{red}{1} \) で連続であると仮定する。

すると、任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対して、ある正の実数 \( \delta \) が存在し、\[
|x-\textcolor{red}{1}| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{1}{x} - \textcolor{blue}{1} \right| < \varepsilon \tag{1}
\]が成り立つ。

ここで、\(  |x-1| \lt \delta \) は\[
|x-1| < \delta \]\[
- \delta < x-1 < \delta \]\[
1 - \delta < x < 1 + \delta
\]と変形でき、\[
\left| \frac{1}{x} - 1 \right|
\]は\[
- \varepsilon < \frac{1}{x} - 1 < \varepsilon \]\[
1 - \varepsilon < \frac{1}{x}  < 1 + \varepsilon \]\[
\frac{1}{1+\varepsilon} < x < \frac{1}{1-\varepsilon}
\]と変形ができる。

つまり、すべての \( \varepsilon \) に対し、\[
1 - \delta < x < 1 + \delta  \Rightarrow \frac{1}{1+\varepsilon} < x < \frac{1}{1-\varepsilon}
\]を満たすような \( \delta \) を1つ見つければよい。

そのためには、\[
1 - \delta = \frac{1}{1+\varepsilon} \Leftrightarrow \delta = \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon} \]\[
1 + \delta = \frac{1}{1-\varepsilon} \Leftrightarrow \delta = \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}
\]の2つのうち、小さい方を \( \delta \) してとればよい。

ここで、\( \min (A,B) \) を A, Bの2つのうち、小さい方を表すとすると、\[
\delta = \min ( \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}, \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}  )
\]とすることで*3、\[
1 - \delta < x < 1 + \delta  \Rightarrow \frac{1}{1+\varepsilon} < x < \frac{1}{1-\varepsilon}
\]を成立させることができるので、(1)も成立し、仮定が正しいことがわかる。

よって \( f(x) \) は \( x = 1 \) で連続である。

８．さいごに

今回は \( \varepsilon - \delta \) 論法、\( \varepsilon - N \) 論法をうさぎでもわかるようにわかりやすく説明していきました。

この記事を見て、\( \varepsilon - \delta \) 論法、\( \varepsilon - N \) 論法について少しでも理解していただけたら幸いです。

もし、機会があれば、

• はさみうちの定理の証明
• 極限の計算公式の一部*4

のような \( \varepsilon - \delta \) 論法、\( \varepsilon - N \) 論法を用いた応用例について紹介したいと思います。

「うさぎ塾　微積分総復習」では、数3の中で特に重要な

• 極限（Part1）
• 微分（Part2）
• 積分（Part3）

の総復習問題を用意しています。

最終回であるPart3は、積分に関する総復習問題を厳選して用意しました。

• 数3で極限を一通り習った人
• 模試・試験・入試前の直前演習
• 大学で解析学を学ぶ前のリハビリ

などにご使用ください。

なお、問題のPDFはこちらからダウンロードできます。

解答は、この記事の後ろにまとめて用意しています。

※ \( \log x \) は、\( \log_{e} x \)（底が \( e \) の対数、自然対数）を表します。

問題１．不定積分総復習

つぎの(1)～(7)の不定積分を計算しなさい。（配点　35）

(1)\[
\int (x-1)(x^2 + x + 1) \ dx
\]

(2)\[
\int \frac{1}{(2x+1)^2} \ dx
\]

(3)\[
\int \sin x \cos x \ dx
\]

(4) \[
\int 3^x \ dx
\]

(5) \[
\int x \log x \ dx
\]

(6)\[
\int x^2 e^x \ dx
\]

(7)\[
\int \frac{1}{3x+34} \ dx
\]

解答１．

[5点×7=35点]

(1)

まず、式を展開しましょう。\[\begin{align*}
(x-1)(x^2 + x + 1) & = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1
\\ & = x^3 - 1
\end{align*} \]なので、積分定数 \( C \) を用いて\[\begin{align*}
\int (x-1)(x^2 + x + 1) \ dx & = \int x^3 - 1 \ dx
\\ & = \frac{1}{4} x^4 - x + C
\end{align*}\]となる。

この公式は、数2で習う\[
\int x^4 \ dx = \frac{1}{5} x^5 + C
\]のような多項式・整式だけでなく、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{x^3} \ dx & = \int \ x^{-3} \ dx
\\ & = - \frac{1}{2} x^{-2} + C
\\ & = - \frac{1}{2x^2} + C
\end{align*} \]や、\[\begin{align*}
\int \sqrt{x} \ dx & = x^{ \frac{1}{2} } \ dx
\\ & = \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }
\\ & = \frac{2}{3} x \sqrt{x}
\end{align*} \]のように、分数やルートの式でも使うこともできます！

ただし、\( n = -1 \) のとき、つまり\[
\int x^{-1} \ dx = \int \frac{1}{x} \ dx
\]には注意が必要です。

そのまま公式に当てはまめると、\[
\int x^{-1} \ dx = x^0 \ dx + C = C
\]とわけがわからないことになってしまいます。

ところで、前回の微分編で\[
\left( \log |x| \right)' = \frac{1}{x}
\]となることを説明しましたね。

積分は、微分の逆の操作をしているので、\( n = -1 \) のときは、\[\begin{align*}
\int x^{-1} \ dx & = \int \frac{1}{x} \ dx
\\ & = \log |x| + C
\end{align*} \]となるので注意が必要です。

(2)

やり方は2通りあります。

[その1：素直に置換積分]

複雑な積分を計算する方法の1つに、いったん他の文字に置き換えてから積分する方法があります。

しかし、置き換えた場合は、積分する文字も変化するため注意が必要です。

今回の場合、\( t = 2x + 1 \) とおく。すると、\( dt = 2 dx \) より、\( dx = \frac{1}{2} \ dt \) となる。

つまり、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{(2x+1)^2} \ dx & = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2} \ dt
\\ & = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2} \ dt
\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( - \frac{1}{t} \right) + C
\\ & = - \frac{1}{2t} + C
\\ & = - \frac{1}{2(2x+1)} + C
\end{align*} \]と計算できます。

[その2：置換積分の省略公式]

実は、カッコ・ルートの中身を微分した結果が被積分関数内に含まれている場合、簡単に積分することができます。

詳しい方法については、こちらの記事で説明しているので、ぜひご覧ください。

今回の場合、\( (2x+1)^{-2} \) の括弧の中身は \( 2x+1 \) なので、微分した結果は2となります。

そこで、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{(2x+1)^2} \ dx & = \int (2x+1)^{-2} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \int 2 (2x +1)^{-2} \ dx
\end{align*}\]とすることで、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{(2x+1)^2} \ dx = \int (2x+1)^{-2} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \int 2 (2x +1)^{-2} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \int (2x+1)' (2x +1)^{-2} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \cdot (2x+1)^{-1} \cdot (-1) + C
\\ & = - \frac{1}{2(2x+1)} + C
\end{align*}\]と計算することができるのです！

このタイプの積分には、他にも\[
\int x \sqrt{1-x^2} \ dx, \ \ \ \int  xe^{x^2} \ dx
\]のようなものにも適用することができます。

2つとも実際に計算してみると、\[\begin{align*}
\int x \sqrt{1-x^2} \ dx & = - \frac{1}{2} (-2x) \sqrt{1-x^2} \ dx
\\ & = - \frac{1}{2} (1-x^2)' \sqrt{1-x^2} \ dx
\\ & = - \frac{1}{2} \cdot (1-x^2)^{ \frac{3}{2} } \cdot \frac{2}{3}
\\ & = - \frac{1}{3} \sqrt{1-x^2} (1-x^2) + C
\end{align*} \]

\[\begin{align*}
\int xe^{x^2}\ dx & = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} \int (x^2)' e^{x^2} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} e^{x^2} + C
\end{align*} \]

のように計算することができます。

(3)

三角関数の公式を使うタイプの積分です。

まず、三角関数の積分の公式を確認しましょう。

微分のときと同じように \( a \) を付けた形にしています。

注意点としては、他の積分公式でも言えますが、\[
\int \cos x \ dx = \sin x + C
\]などの公式の \( x \) の部分を他の文字に書き換えても成立しません。

つまり、公式と全く同じ形であったときのみ公式を適用することができます。

例えば、\[
\int \cos 2x \ dx = \sin 2x + C
\]とするのはダメです。（正しくは \( \frac{1}{2} \sin 2x + C \)）

公式ではない形の場合、置換積分を行い、公式の形に直してから計算をする必要があります。

例えば、上の例の場合、\( 2x = t \) と置き換え、\( 2 dx = dt \), \( dx = \frac{1}{2} dt \) としてから、\[\begin{align*}
\int \cos 2x \ dx & = \frac{1}{2} \int \cos t \ dt
\\ & = \frac{1}{2} \sin t + C
\\ & = \frac{1}{2} \sin 2x + C
\end{align*} \]と計算する必要があります。

なお、三角関数の積分では倍角、3倍角、加法定理、積和の公式など様々な公式を使います。

忘れてしまった人は、こちらの記事で復習しましょう。

www.momoyama-usagi.com

特に2倍角の定理に関する積分はかなり頻繁に出るので、できるかぎり公式を頭の中に入れておきましょう。今回の場合、\[
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x
\]となるため、\[\begin{align*}
\int \sin x \cos x \ dx & = \frac{1}{2} \int \sin 2x \ dx
\\ & = - \frac{1}{4} \cos 2x
\end{align*} \]と計算できます。

前回も説明しましたが、三角関数の微分積分の関係は、下のような図の関係になっていることを頭に入れておくと公式を忘れにくいかと思います。

(4)

指数関数の \( e^x \) 以外の微分を行う問題です。

公式の導出方法は2パターンです。

[その1：微分の公式から導き出す]

前回の微分編で、対数微分法を用いて\[
\left( a^x \right)' = a^x \log a
\]と微分できることを示しました。

つまり、\( \log a \) を割って\[
\left( \frac{a^x}{\log a} \right)' = a^x
\]としても成立しますね。

よって、\[
\int a^x \ dx = \frac{a^x}{\log a} + C
\]と導くことができます。

[その2：頑張って積分する]\[\begin{align*}
\int a^x \ dx & = \int e^{x \log a} \ dx
\\ & = \frac{1}{\log a} e^{x \log a}
\\ & = \frac{1}{\log a} a^x + C
\end{align*} \]と計算できます。

\( a^x = e^{x \log a} \) とするのがコツ！

今回の場合、\( a = 3 \) のパターンなので、積分定数 \( C \) を用いて\[
\int 3^x \ dx = \frac{3^x}{\log 3} + C
\]と求められます。

(5)

部分積分を使うパターンです。 \( \log x \) が出てきた場合は部分積分をすることが多いです。（たまに例外がありますが…）

念のため、公式を確認しておきましょう。

部分積分について詳しくはこちらの記事をご覧ください。

次の(6)で使える部分積分の連鎖公式も下の記事で説明しています。

www.momoyama-usagi.com

今回の場合は、積分定数 \( C \) を用いて\[\begin{align*}
\int x \log x \ dx & = \frac{1}{2} x^2 \log x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \ dx
\\ & =  \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \int  x \ dx
\\ & =  \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C
\end{align*} \]と計算することができます。

(6)

\( e^x \) ×（多項式）のパターンは、部分積分を連鎖的に適用させることで、あっという間に計算をすることができます。

普通に積分する場合、積分定数 \( C \) を用いて\[\begin{align*}
\int x^2 e^x \ dx & = x^2 e^x - \int 2x e^x \ dx
\\ & = x^2 e^x - \left( 2x e^x  - \int 2 e^x \ dx \right)
\\ & = x^2 e^x - 2x e^x + 2 \int  e^x \ dx
\\ & = (x^2 - 2x + 2) e^x + C
\end{align*} \]と計算します。

しかし、連鎖公式を適用させることで、\[\begin{align*}
\int x^2 e^x \ dx & = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x
\\ & = (x^2 - 2x + 2) e^x + C
\end{align*}\]とあっという間に計算ができます。

余計なインテグラルも書く必要がないので時間短縮につながります。

(7)

分子が、分母の微分したものを表すタイプの関数は、下の公式により簡単に積分することができます。

今回は、「分子が分母を微分した形であること」が見分けやすいですが、問題によっては少し見分けにくい（知ってないと解けない）ようなタイプもあるので注意してください。

今回の場合、積分定数 \( C \) を用いて\[\begin{align*}
\int \frac{1}{3x+34} \ dx & = \frac{1}{3} \frac{3}{3x+34}
\\ & = \frac{1}{3} \log | 3x + 34 | + C
\end{align*}\]計算できます。（絶対値付けてね！！）

問題２．定積分総復習

つぎの(1)～(5)の定積分を計算しなさい。（配点　25）

(1)\[
\int^{3}_{0} \sqrt{9-x^2} \ dx
\]

(2)\[
\int^{e^3}_{e} \frac{1}{x \log x} \ dx
\]

(3)\[
\int^{3}_{2} \frac{1}{(x+3)(x+4)} \ dx
\]

(4)\[
\int^{e}_{0} \frac{2x+4}{x^2+4x+12} \ dx
\]

(5)\[
\int^{ \frac{1}{2} }_{0} \frac{1}{1+4x^2} \ dx
\]

解答２．

[5点×5=25点]（結果が違う場合、不定積分（原始関数）が正しければ3点）

(1)

いきなり特殊なパターンの定積分です。

今回の場合、\( a = 3 \) のパターンなので、\( x = 3 \sin t \) とする。

すると、\( dx = 3 \cos t \ dt \) となる。

また、積分範囲は \( 0 \to 3 \) から \( 0 \to \frac{\pi}{2} \) に変わる。

（慣れないうちは積分範囲の変換は頭でやらず、必ず書くこと！！）

よって、\[\begin{align*}
\int^{3}_{0} \sqrt{ 9 - x^2 } \ dx & = \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sqrt{ 9 -  9\sin^2 t} \cdot 3 \cos t \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sqrt{ 9 \cos^2 t} \cdot 3 \cos t \ dt
\\ & = 9  \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \cos^2 t \ dt
\\ & = \frac{9}{2}  \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0}  \cos 2t + 1 \ dt
\\ & = \frac{9}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2t + t \right]t^{ \frac{\pi}{2} }_{0}
\\ & = \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9}{4} \pi
\end{align*}\]となる*1。

なお、倍角公式\[
\cos^2 x = \frac{1}{2} ( \cos 2x + 1 )
\]を忘れた or 導出できないという人はこちらで確認しましょう。

[別解]

定積分\[ y = \sqrt{9 - x^3}\]は半径3の円の面積\[
3^2 \pi = 9 \pi
\]の 1/4 を表しているので、\[
\int^{3}_{0} \sqrt{ 9 - x^2 } \ dx = \frac{1}{4} 3^2 \pi = \frac{9}{4} \pi
\]と計算するのもあり。

(2)

積分公式\[ \frac{ f'(x)}{f(x)} = \log | f(x) | + C \]を難しくしたバージョン。

\[\begin{align*}
\int^{e^3}_{e} \frac{1}{x \log x} \ dx & = \int^{e^3}_{e} \frac{ \frac{1}{x} }{\log x} \ dx
\\ & = \int^{e^3}_{e} \frac{ ( \log x )' }{ \log x } \ dx
\\ & =  \left[ \log | \log | x | | \right]^{e^3}_{e}
\\ & = \log 3 - \log 1 = \log 3
\end{align*} \]

(3)

部分分数分解をして和の形に分離してから計算するパターン\[\begin{align*}
\int^{3}_{2} \frac{1}{(x+3)(x+4)} \ dx & = \int^{3}_{2} \left( \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} \right) \ dx
\\ & = \int^{3}_{2} \frac{1}{x+3} \ dx - \int^{3}_{2} \frac{1}{x+4} \ dx
\\ & = \left[ \log |x+3| \right]^{3}_{2} - \left[ \log |x+4| \right]^{3}_{2}
\\ & = \log 6 - \log 5 - \left( \log 7 - \log 6 \right)
\\ & = 2 \log 6 - \log 5 - \log 7
\\ & = \log \frac{36}{35}
\end{align*} \]と計算できる。

このパターンの積分練習はこちらの記事をご覧ください。

（1つ前の式で止めてOKです。）

(4)

再び積分公式\[ \frac{ f'(x)}{f(x)} = \log | f(x) | + C \]のパターンです。\[\begin{align*}
\int^{e}_{0} \frac{2x+4}{x^2 + 4x + 12} \ dx & = \int^{e}_{0} \frac{ ( x^2 + 4x + 12 )' }{x^2 + 4x + 12} \ dx
\\ & = \left[ \log | x^2 + 4x + 12 | \right]^{e}_{0}
\\ & = \log \left( e^2 + 4e + 12 \right) - \log 12
\\ & = \log \frac{e^2 + 4e + 12}{12}
\end{align*} \]となる。

（1つ前の式で止めてOKです。）

(5)

三角関数の置き換えを行う特殊パターンです。\[
\int^{\beta}_{\alpha} \frac{1}{a^2 + x^2} \ dx
\]の \( a = 1/2 \) のパターンなので、\( x = \frac{1}{2} \tan t \) とおきます。

すると、\( dx = \frac{1}{2 \cos^2 t} \) となり、積分範囲は \( 0 \to 1/2 \) から \( 0 \to \pi/4 \) となります。

よって、\[\begin{align*}
\int^{\frac{1}{2}}_{0} \frac{1}{1 + 4x^2} \ dx & = \int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac{1}{1 + \tan^2 t} \cdot \frac{1}{2 \cos^2 t} \ dt
\\ & = \frac{1}{2} \int^{\frac{\pi}{4}}_{0} 1 \ dt
\\ & = \frac{1}{2} \left[  t \right]^{\frac{\pi}{4}}_{0}
\\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}
\\ & = \frac{\pi}{8}
\end{align*} \] となる。

問題３．定積分関数の微分

つぎの関数の導関数 \( G'(x) \) を求めなさい。（配点　 5）\[
G(x) = \int^{x}_{0} (x-t) \cos t \ dt
\]

解答３．

[5点]

定積分関数で表された関数を微分する問題です。

次の2つの公式を頭に入れておきましょう。

計算すると、\[\begin{align*}
G'(x) & = \frac{d}{dx} \int^{x}_{0} (x - t) \cos t \ dt
\\ & = \frac{d}{dx} x \int^{x}_{0} \cos t \ dt - \int^{x}_{0} t \cos t \ dt
\\ & = \color{blue}{ \int^{x}_{0} \cos t \ dt  + x \cos x } - x \cos x
\\ & = \left[ \sin t \right]^{x}_0
\\ & = \sin x
\end{align*} \]となります。

ポイントとしては、

• 2行目で2つの積分式に分解
• 3行目の青色部分は積の微分公式を適用

していることです。

せっかくなので公式2を使う類題を解いてみましょう。

[類題]\[
f(x) = \int^{x^2}_{x} \frac{t}{1+t^2} \ dt
\]のとき、導関数 \( f'(x) \) を求めなさい。

[解答]\[\begin{align*}
f'(x) & = \frac{x^2}{1+ \left( x^2 \right)^2 } \cdot \left( x^2 \right)' - \frac{x}{1+x^2} \cdot (x)'
\\ & = \frac{2x^3}{1+x^4} - \frac{x}{1+x^2}
\end{align*} \]と計算できる。

問題４．面積・体積計算

曲線 \( y = 1-x^2 \) (\( 0 \leqq x \leqq 1 \)) と \( x \) 軸、\( y \) 軸で囲まれた部分の領域を \( D \) とする。

(1) \( D \) の面積 \( S \) を求めなさい。
(2) \( D \) を \( x \) 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 \( V_1 \) を求めなさい。
(3) \( D \) を \( y \) 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 \( V_2 \) を求めなさい。

解答４．

[5点×3=15点]（5点の配点→立式に3点、積分結果に2点）

[参考] 領域 \( D \) は、図の部分となる。

(1)

曲線で囲まれた部分の面積計算の公式を確認しておきましょう。

今回の場合、面積 \( S \) は、曲線 \( y = 1 - x^2 \) と \( x = 0 \), \( x = 1 \) に囲まれた部分の面積に相当するので、\[\begin{align*}
S & = \int^{1}_{0} 1-x^2 \ dx
\\ & = \left[ x - \frac{1}{3} x^3 \right]^{1}_{0}
\\ & = 1 - \frac{1}{3}
\\ & = \frac{2}{3}
\end{align*}\]で計算できる。

(2)

\( x \) 軸まわりに1回転してできる回転体の体積の公式を確認しておきましょう。

今回の場合、体積 \( V_1 \) は、曲線 \( y = 1 - x^2 \) と \( x = 0 \), \( x = 1 \) に囲まれた部分の面積に相当するので、\[\begin{align*}
V_1 & = \pi \int^{1}_{0} (1-x^2)^2 \ dx
\\ & = \pi \int^{1}_{0} 1 - 2x^2 + x^4 \ dx
\\ & = \pi \left[ x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 \right]^{1}_{0}
\\ & = \pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right)
\\ & = \frac{8}{15} \pi
\end{align*}\]で計算できる。

(3)

\( y \) 軸まわりに1回転してできる回転体の体積の公式を確認しておきましょう。

曲線 \( y = 1 - x^2 \) を x = の形で表すと、\( x \gt 0 \) より、\( x = \sqrt{1-y} \) となる。

また、体積 \( V_2 \) は、曲線 \( x=\sqrt{1-y} \) と \( y = 0 \), \( y = 1 \) に囲まれた部分*2の面積に相当する。

よって、

\[\begin{align*}
V_2 & = \pi \int^{1}_{0} (\sqrt{1-y})^2 \ dy
\\ & = \pi \int^{1}_{0} 1-y \ dy
\\ & = \pi \left[ y - \frac{1}{2} y^2 \right]^{1}_{0}
\\ & = \pi \left( 1 - \frac{1}{2} \right)
\\ & = \frac{\pi}{2}
\end{align*}\]で計算できる。

[別解：バームクーヘン積分]

\( y \) 軸周りの立体の体積は、下のように計算する手もある。

（通称バームクーヘン積分）

今回の問題の場合、\[\begin{align*}
V & = 2 \pi \int^{1}_{0} x(1-x^2) \ dx
\\ & = 2 \pi \int^{1}_{0} x - x^3 \ dx
\\ & = 2 \pi \left[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} x^4 \right]^{1}_{0}
\\ & = 2 \pi \cdot \frac{1}{4}
\\ & = \frac{\pi}{2}
\end{align*}\]と計算できる。

※ただし、素直に x = の形にしたほうが解きやすい問題も多いので、うかつにバームクーヘン積分をするのはあまりおすすめできません…

問題５．曲線の長さ

つぎの(1), (2)の問いに答えなさい。（配点　10）

(1) 曲線\[
y = \frac{e^x + e^{-x} }{2}
\]の \( -1 \leqq x \leqq 1 \) 部分の曲線の長さ \( L_1 \) を求めなさい。

(2) 媒介変数\[
\left\{ \begin{array}{l} x = t - \sin t  \\ y = 1 - \cos t  \end{array}\right. \ \ \left( 0 \leqq t \leqq \pi \right)
\]で表される曲線の長さ \( L_2 \) を求めなさい。

解答５．

[5点×2=10点]（5点の配点→立式に3点、積分結果に2点）

(1)

まずは、\( y = f(x) \) で表される関数の曲線の長さ \( L \) を出す公式を確認しておきましょう。

今回は、曲線\[
y = \frac{ e^{x} + e^{-x} }{2}
\]の長さ \( L_1 \) を求めればよい。

（参考：曲線の図は下のようになる）

ここで、\[
\frac{dy}{dx} = \frac{ e^{x} - e^{-x} }{2}
\]となるので、長さ \( L_1 \) は\[\begin{align*}
L_1 & = \int^{1}_{-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \ dx
\int^{1}_{-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{ e^{x} - e^{-x} }{2} \right)^2 } \ dx
\\ & = \int^{1}_{-1} \sqrt{ 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} } \ dx
\\ & = \int^{1}_{-1} \sqrt{ \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} } \ dx
\\ & = \int^{1}_{-1} \sqrt{ \left( \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \right)^2 } \ dx
\\ & = \int^{1}_{-1} \frac{ e^{x}+e^{-x} }{2} \ dx
\\ & = \left[ \frac{ e^{x} - e^{-x} }{2} \right]^{1}_{-1}
\\ & = \frac{1}{2} \left( e - \frac{1}{e} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{e} - e \right)
\\ & = e - \frac{1}{e}
\end{align*}\]と計算できる。

(2)

媒介変数表示で表される曲線の長さの公式も確認しましょう。

今回は\[
\left\{ \begin{array}{l} x = t - \sin t  \\ y = 1 - \cos t  \end{array}\right. \ \ \left( 0 \leqq t \leqq \pi \right)
\]で表される曲線の長さ \( L_2 \) を求めればよい。

（参考：曲線の図は下のようになる）

ここで、\[
\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t , \ \ \ \frac{dy}{dt} = \sin t
\]なので、

\[\begin{align*} L_2 = \ &
\int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left( 1 - \cos t \right)^2 + \left( \sin t \right)^2 } \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \cos^2 t - 2 \cos t + 1 + \sin^2 t } \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0}  \sqrt{ \sin^2 t + \cos^2 t - 2 \cos t + 1 } \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0}  \sqrt{ 1 - 2 \cos t + 1 } \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0}  \sqrt{ 2 ( 1- \cos t ) }  \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0}  \sqrt{ 2 \cdot 2 \sin^2 \frac{t}{2} }  \ dt \ \ \left( \because \sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2} \right)
\\ = \ & \int^{\pi}_{0}  \sqrt{ 4 \sin^2 \frac{t}{2} }  \ dt
\\ = \ & \int^{\pi}_{0} 2 \sin \frac{t}{2}  \ dt \ \ \left( \because \sin \frac{t}{2} \geqq 0 \right)
\\ = \ & \left[ - 4 \cos \frac{t}{2} \right]^{\pi}_{0}
\\ = \ &  4
\end{align*} \]と求められる。

問題６．

\( n \geqq 2 \) において、\[
I_n = \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^n x \ dx
\]であるとき、\( I_n \) を \( I_{n-2} \) を用いて表しなさい。（配点　10）

解答６．

[10点]

最後は漸化式を作って解くタイプの積分です。

あまりパターンはないので、やり方を頭に入れておくことをおすすめします。\[\begin{align*}
I_n & = \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^n x \ dx
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^{n-1} x \cdot \sin x \ dx
\\ & = \left[ - \sin^{n-1} \cdot \cos x \right]^{ \frac{\pi}{2} }_{0} - \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} (1-n) \sin^{n-2} \cdot \cos^2 x \ dx
\\ & = 0 + (n-1) \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^{n-2} x \left( 1 - \sin^2 x \right) \ dx
\\ & = (n-1) \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^{n-2} x - \sin^{n} x \ dx
\\ & = (n-1) \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^{n-2} x \ dx - (n-1) \int^{ \frac{\pi}{2} }_{0} \sin^{n} x \ dx
\\ & = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n
\end{align*} \]となるので、\[
I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n
\\ n I_n = (n-1) I_{n-2}
\]となり、\[
I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}
\]の関係式が成り立つ。

さいごに

今回は、微積分の総復習として、積分の計算演習問題を19問用意しました。

練習で間違えた問題は、必ず復習して解けるようにしておきましょう。

これで、全3回にわたる微積分総復習はすべて終了です！

おつかれさまでした！