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こんにちは、ももやまです。
(3回中)2回目では、双曲線関数の中でも微分、積分、極限およびマクローリン展開に関する内容について説明していきます。
- 双曲線関数ってなに?
- 双曲線関数のグラフ
- 双曲線関数の基本変形公式
- 双曲線関数の加法定理
- 双曲線関数の2倍角・3倍角公式
- 双曲線関数の積和公式
- 双曲線関数の微分
- 双曲線関数の積分
- 双曲線関数の極限
- 双曲線関数のマクローリン展開
- 双曲線関数の逆関数
※ 下の赤い部分について解説をしていきます
↓↓ 1回目(双曲線関数のいろは)についての記事はこちら!↓↓
目次 [hide]
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[復習] 双曲線関数の定義式
まずは、今回の内容で使う双曲線関数の定義式や基本公式を復習しましょう。
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1. 双曲線関数の微分
(1) 公式一覧
まずは、双曲線関数の微分公式を見てみましょう。
教科書では
★ 基本パターン
★ 公式拡張Ver
※
★ 基本パターン
★ 公式拡張Ver
(2) 公式の導出
[1]まずは、
つぎに、
すると、
よって、
つぎに、
すると、
よって、
つぎに、
すると、
よって、
(3) 例題で計算練習
次の関数
(1)
(2)
(3)
(4)
[解説1]
(1)
公式
(問題に
よって、
(2) 公式
((1)と同じく、問題に
よって、
(3)
すると、
よって、
(4)
[解法1] 素直に計算
[解法2] 倍角の公式を使ってから計算
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2. 双曲線関数の積分
(1) 公式一覧
まずは公式を見ていきましょう。微分のときと同じく、
★ 基本パターン
★ 公式拡張Ver
※
※
★ 基本パターン
★ 公式拡張Ver
※
(2) 公式の導出
3番目の
3番目の公式だけは、導出をしておきましょう。
(3) 例題で計算練習
公式を頭に入れるために、実際に計算練習をしましょう。
次の(1), (2)の計算(不定積分)をしなさい。
(1)
(2)
(3)
[解説2]
(1)
公式
よって、積分定数
(2)
多項式 (
※ 部分積分は連鎖公式(ブンブン積分・瞬間部分積分)を使うのがおすすめです。詳しくは下の記事から。
(3)
今回のように
まずは、積和の公式を確認しましょう。
(積和の公式の導出手順はこちらで確認できます。)
今回は、
よって、
3. 双曲線関数の極限
双曲線関数の極限ですが、極限のために覚えなければいけない公式は基本的にありません。
というのも、双曲線関数の極限は
- 定義式(
を使った形)に変形する - ロピタルの公式を適用する
ことでなんとかなるからです。
ということで、この章では「例題による問題演習」で双曲線関数の極限を見ていきましょう。
(1) sinh x, cosh x, tanh x の極限
まずは、
※ グラフの形を頭に入れておけば自然に
※ グラフの形を頭に入れておけば意識して極限を覚えなくてもOK。
赤色 →
青色 →
緑色 →
[導出]
[(2) 定義式に変形するパターン
まずは、定義式に変形するパターンを見てみましょう。
次の極限を計算しなさい。
[解説3]
(3) ロピタルの定理を使うパターン
ロピタルの定理を使って計算するパターンも見てみましょう。
次の(1)~(3)の極限を計算しなさい。
(1)
(2)
(3)
[解説4]
(1)
与式の分子、分母がともに0に収束し、0/0の不定形となる。
ここで、
よって、ロピタルの定理より、
(2)
与式の分子、分母がともに0に収束し、0/0の不定形となる。
ここで、
よって、ロピタルの定理より、
(3)
与式の分子、分母がともに0に収束し、0/0の不定形となる。
ここで、
よって、ロピタルの定理より、
※ ロピタルの定理で簡単に導出できるので覚えなくてOK
4. 双曲線関数のマクローリン展開(x = 0のテイラー展開)
(1) 公式一覧
シグマを使った形で書くと、
シグマを使った形で書くと、
(2) 公式の導出
ひたすら微分をし、微分をしたものに
今回は、5次のマクローリン展開まで求めてみましょう。
[導出] sinh x のマクローリン展開
となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。
[導出] cosh x のマクローリン展開
となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。
[導出] tanh x のマクローリン展開
つぎに、
となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。
(3) 例題で計算練習
では、実際に例題で双曲線関数のマクローリン展開の問題を解いてみましょう。
つぎの関数のマクローリン展開を5次の項まで求めなさい。
[解説4-1] 解法1 … ごり押しで解く
となるので、あとはマクローリン展開の公式に入れるだけ。
[解説4-2] 解法2 … sinh x の公式をうまく使う
この
よって、
5. さいごに
今回は、双曲線関数の中でも
- 微分・積分
- 極限
- マクローリン展開
など、微積に関わる分野を中心に解説をしていきました。
次回は、双曲線関数の逆関数についてみていきましょう。
(双曲線関数に関するラスト記事になる予定です)
注釈
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