こんにちは、ももやまです。
今回から3回にわけて2変数関数の極値についてまとめていきたいと思います。

 

今回は特に条件もなにもない一番シンプルな場合の極値についてです。

 

 

前回の記事(Part19)はこちら!

(2変数のマクローリン展開についてです)

www.momoyama-usagi.com

 

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1.2変数関数の極値

では、今回は1問例題を解きながら2変数関数を解く流れを説明していきましょう。

例題

次の2変数関数\[
f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy
\]の極値とそのときの点 \( (x,y) \) を求めなさい。

Step1:極値となりうる点を調べる(停留点)

まず、極値となりそうな点を調べていきます。

 

2変数関数の極値をとりうる点(停留点)

2変数関数 \( f(x,y) \) が点 \( (a,b) \) において\[
f_x (a,b) = f_y (a,b) = 0
\]を満たすとき、点 \( (a,b) \) は極値を取る可能性がある。この点 \( (a,b) \) のことを停留点という。

 

極値となりうる点の条件としては、\[
f_x = f_y = 0
\]を満たすような点、つまり\[
f_x = 3x^2 - 3y = 0 \\
f_y = 3y^2 - 3x = 0
\]をともに満たすような点 \( (x,y) \) となる。

\( y = x^2 \) の関係式が成り立つので、\[\begin{align*}
3y^2 - 3x & = 3x^4 - 3x
\\ & = 3x(x^3-1) \\ & = 3x(x-1)(x^2+x+1) = 0
\end{align*}\]を満たすような \( x \) を考えればよい。

ここで、\( x^2 + x + 1 \) は実数解は存在しない*1。ので、\( x = 0,1 \) のときが停留点の \( x \) の座標となる。

あとは \( y = x^2 \) を考えると停留点は\[
(x,y) = (0,0), \ (1,1)
\]の2つとなる。

Step2:実際に極値となるかを調べる。

つぎに、停留点(極値となりうる点)が本当に極値となるかを下の方法で調べていきます。 

 

2変数関数の極値をとりうる点(停留点)

2変数関数 \( f(x,y) \) が停留点 \( (a,b) \) において本当に極値を取るかどうかはヘッシアン(ヘッセ行列) \( H \) の値\[
H = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{array} \right|
\]を求めることでわかる。

(1) \( H \gt 0 \) のとき:点 \( (a,b) \) が極値となる
(2) \( H \lt 0 \) のとき:点 \( (a,b) \) が極値とならない
(3) \( H = 0 \) のとき:点 \( (a,b) \) が極値となるかわからない*2

まずは、\( f(x,y) \) を2次偏導関数まで求めます。\[
f_{xx} = 6x , \ \ \
f_{xy} = f_{yx} = -3 , \ \  \
f_{yy} = 6y
\]つぎに、停留点 \( (0,0) \), \( (1,1) \) それぞれのヘッシアン \( H \) を求めます。

 

(i) 停留点 (0,0) のとき

\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{array} \right| \\ = & -9 < 0
\end{align*} \]なので点 (0,0) は極値とはならない。

 

(ii) 停留点 (1,1) のとき

\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(1,1) & f_{xy}(1,1) \\ f_{yx}(1,1) & f_{yy}(1,1) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{array} \right| \\ = & 36 -9 = 27 > 0
\end{align*} \]なので点 (0,0) は極値となる。

 

次に極値となる点が極大値か極小値となるかを調べていきます。

 

2変数関数の極小値・極大値の判定

2変数関数 \( f(x,y) \) が極値を持つ場合(つまり \( H \gt 0 \) )、

(1) \( f_{xx} (a,b) \gt 0 \) のとき:点 \( (a,b) \) は極小値となる
(2) \( f_{xx} (a,b) \lt 0 \) のとき:点 \( (a,b) \) は極大値となる

今回は点 (1,1) において極値を持つので点 (1,1) が極大値か極小値になるのかを調べます。\[
f_{xx}(1,1) = 6 > 0
\]なので点 (1,1) は極小値となることがわかります。

よって、関数\[
f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy
\]は点 (1,1) において極小値を持つ。その値は\[
f(1,1) = 1 + 1 - 3 = -1
\]より-1となる。

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2.極値を求める流れ

では、極値を取る流れを確認していきましょう。

 

2変数関数 \( f(x,y) \) の極値は以下のステップで求める。

Step1:極値となりうる点(停留点)を\[
f_x = f_y = 0
\]を解くことにより求める。

Step2:停留点が極値になるかどうかを\[
H = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{array} \right| > 0
\]で判定する。

Step3:極値となる点が極大値か極小値かを調べる。

\( f_{xx}(a,b) \gt 0 \) のとき → 点 \( (a,b) \) で極小値
\( f_{xx} (a,b) \lt 0 \) のとき → 点 \( (a,b) \) で極大値

となる。

2変数関数の極値の判定法

 

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3.練習問題

今回はここまでです。

なので2問だけですが練習していきましょう。

練習1

次の2変数関数\[
f(x,y) = x^3 y + xy^3 - xy
\]の極値とそのときの点 \( (x,y) \) を求めなさい。

 

 

練習2

次の2変数関数\[
f(x,y) = e^{-x^2-y^2} (x^2 + 2y^2)
\]の極値とそのときの点 \( (x,y) \) を求めなさい。

 

4.練習問題の答え

解答1

Step1: 停留点の確認

条件\[
f_x = f_y = 0
\]を満たすような点を調べる。\[
f_x = 3x^2 y + y^3 - y = y(3x^2+y^2-1) = 0 \\
f_y = x^3 + 3xy^2 - x = x(x^2 + 3y^2-1)= 0
\]をともに満たすような \( (x,y) \) を考える。

つまり、( \( y = 0 \) または \( 3x^2 + y^2 - 1 = 0 \) )かつ( \( x = 0 \) または \( x^2 + 3y^2 - 1 = 0 \) )を満たすような \( x,y \) を求めればよい。

(1) \( y = 0 \) かつ \( x = 0 \) のとき
→ \( (x,y) = (0,0) \) が停留点

(2) \( y = 0 \) かつ \( x^2 + 3y^2 - 1 = 0 \) のとき
→ \( x^2 - 1 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = ( \pm 1, 0) \) が停留点

(3) \( 3x^2 + y^2 - 1 = 0 \) かつ \( x = 0 \) のとき
→ \( y^2 - 1 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = (0, \pm 1) \) が停留点

(4) \( 3x^2 + y^2 - 1 = 0 \) かつ \( x^2 + 3y^2 - 1 = 0 \) のとき
→ \( y^2 = 1 - 3x^2 \) が成り立つので、\[\begin{align*} &
x^2 + 3y^2 - 1 
\\ = & x^2 + 3(1-3x^2)-1
\\ = & -8x^2 +2 =0
\end{align*}\]より、\[
x^2 = \frac{1}{4} \\
x = \pm \frac{1}{2}
\]となる。また、そのときの \( y \) の値は\[\begin{align*}
y^2  & = 1 - 3x^2
\\ & = 1 - \frac{3}{4}
\\ & = \frac{1}{4}
\end{align*}\]となるので、\[
y = \pm \frac{1}{2}
\]となる。

よって、停留点は、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) 
\]となる。ただし、複号任意*3である。

Step2: 停留点が極値かどうかの確認・極大値極小値の判定

つぎに \( f(x,y) \) を2次偏導関数まで求めます。\[
f_{xx} = 6xy , \ \ \
f_{xy} = f_{yx} = 3x^2 + 3y^2 - 1, \ \  \
f_{yy} = 6xy
\]となる。

(1) \( (x,y) = (0,0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right| \\ = & -1 < 0
\end{align*} \]なので点 (0,0) は極値ではない。

(2) \( (x,y) = (\pm 1, 0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(\pm 1,0) & f_{xy}(\pm 1,0) \\ f_{yx}(\pm 1,0) & f_{yy}(\pm 1,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right| \\ = & -4 < 0
\end{align*} \]なので点 (±1,0) は極値ではない。

(3) \( (x,y) = (0, \pm 1) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} (0, \pm 1) & f_{xy}(0, \pm 1) \\ f_{yx}(0, \pm 1) & f_{yy} (0, \pm 1)\end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right| \\ = & -4 < 0
\end{align*} \]なので点 (0,±1) は極値ではない。

(4) \( (x,y) =\left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  \) のとき(複号同順*4)\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  & f_{xy}\left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) \\ f_{yx} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  & f_{yy} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array} \right|
\\ = & \frac{1}{4} \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} \right| \\ = & 2 > 0
\end{align*} \]なので点 \( \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) = 3 > 0
\]なので\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)
\]は極小値となり、その値は\[\begin{align*}
f\left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) & = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{4}
\\ & = - \frac{1}{8}
\end{align*} \]となる。

(5) \( (x,y) =\left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  \) のとき(複号同順*5)\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  & f_{xy}\left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right) \\ f_{yx} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  & f_{yy} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array} \right|
\\ = & \frac{1}{4} \left| \begin{array}{ccc} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{array} \right| \\ = & 2 > 0
\end{align*} \]なので点 \( \left( \pm \frac{1}{2},\mp \frac{1}{2}\right) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right) = -3 < 0
\]なので\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)
\]は極大値となり、その値は\[\begin{align*}
f\left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right) & = - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4}
\\ & = \frac{1}{8}
\end{align*} \]となる。

解答2

条件\[
f_x = f_y = 0
\]を満たすような点を調べる。\[\begin{align*}
f_x & = -2x (x^2 + 2y^2) e^{-x^2-y^2} + 2x e^{-x^2-y^2}
\\ & = (-2x^3 - 4xy^2 + 2x) e^{-x^2-y^2}
\\ & = -2x(x^2 + 2y^2 - 1) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\] \[\begin{align*}
f_y & = -2y (x^2 + 2y^2) e^{-x^2-y^2} + 4y e^{-x^2-y^2}
\\ & = (-2x^3 - 4xy^2 + 4y) e^{-x^2-y^2}
\\ & = -2y(x^2 + 2y^2 - 2) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]をともに満たすような \( (x,y) \) を考える。

つまり、( \( -2x = 0 \) または \( x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \) )かつ( \(  -2y = 0 \) または \(  x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) )を満たすような \( x,y \) を求めればよい。

(1) \( -2x = 0 \) かつ \( -2y = 0 \) のとき
→ \( (x,y) = (0,0) \) が停留点

(2) \( -2x = 0 \) かつ \( x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) のとき
→ \( 2y^2 - 2 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = ( 0,\pm 1) \) が停留点

(3) \( x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \) かつ \( -2y = 0 \) のとき
→ \( x^2 - 1 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = (\pm 1,0) \) が停留点

(4) \( x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \) かつ \( x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) のとき
→明らかに存在しない*6

Step2: 停留点が極値かどうかの確認・極大値極小値の判定

\( f(x,y) \) の2次偏導関数を求める。\[\begin{align*}
f_{xx} & =  -2x (-2x^3 - 4xy^2 + 2x) e^{-x^2-y^2} + (-6x^2 - 4y^2 + 2) e^{-x^2-y^2}
\\ & = (4x^4 + 8x^2 y^2 - 10x^2 - 4y^2 + 2) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
f_{xy} & =  -2y (-2x^3 - 4xy^2 + 2x) e^{-x^2-y^2} - 8xy e^{-x^2-y^2}
\\ & = (4x^3 y + 8x y^3 - 12xy) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
f_{yy} & =  -2y (-2x^2y - 4y^3 + 4y) e^{-x^2-y^2} - (-2x^2 - 12 y^2 + 4) e^{-x^2-y^2}
\\ & = (4 x^2 y^2 - 2x^2 + 8y^4 - 20 y^2 + 4) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]となる。

(1) \( (x,y) = (0,0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right| \\ = & 8 > 0
\end{align*} \]なので点 \( (0,0) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} (0,\pm 1) = 2 > 0
\]なので\[
(x,y) = (0,0)
\]は極小値となり、その値は\[\begin{align*}
f(0,0) = 0
\end{align*} \]となる。

(2) \( (x,y) = (0,\pm 1) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,\pm 1) & f_{xy}(0,\pm 1) \\ f_{yx}(0,\pm 1) & f_{yy}(0,\pm 1) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} - \frac{2}{e} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{e} \end{array} \right| \\ = & \frac{16}{e^2} > 0
\end{align*} \]なので点 \( (0,\pm 1) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} (0,\pm 1) = - \frac{2}{e} < 0
\]なので\[
(x,y) = (0,\pm 1)
\]は極大値となり、その値は\[\begin{align*}
f(0,\pm 1) = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}
\end{align*} \]となる。

(3) \( (x,y) = (\pm 1,0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(\pm 1,0) & f_{xy}(\pm 1,0) \\ f_{yx}(\pm 1,0) & f_{yy}(\pm 1,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc}  \frac{2}{e} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{e} \end{array} \right| \\ = & - \frac{16}{e^2} < 0
\end{align*} \]なので点 \( (0,\pm 1) \) は極値をとらない。

5.さいごに

今回は2変数関数の極値を求める方法についてまとめました。

意外と計算がめんどくさいので、計算になれましょう……

 

次回は、とある条件のもとでの2変数関数の最大最小を求める方法についてまとめていきたいと思います。

*1:判別式 \( D \) は\[ D =b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0 \]となるので虚数解となる。

*2:この場合は個別に判定する必要があります。なお、期末試験の場合は \( H = 0 \) にはならない or \( H = 0 \) になる場合の指示が書かれていることがほとんどだと思います。

*3:複号任意とは、±の符号を順番に関係なしに読むこと。今回の場合は、\[
(x,y) = \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right), \left( \frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right),  \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) , \left( - \frac{1}{2},- \frac{1}{2} \right)
\]のように、4つの±の組み合わせを1つで表現することができる。

*4:複号同順とは、±の記号の上側同士、下側同士で順番を考えて読むことを表す。例えば、\( \pm a + \pm b \) なら \( +a + b \), \( -a - b \) を表し、\( \pm a \mp b \) なら \( a - b \), \( -a + b \) を表す。
(ちなみに複合任意の場合は \( \pm a \pm b \) の表記で \( a + b \), \( a - b \), \( -a + b \), \( -a - b \) の4つを表す。)

*5:複号同順とは、±の記号の上同士は上同士で、下同士は

*6:\( x^2 + 2y^2 = 1 \) として \( x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) に代入すると、\( 1 - 2 = -1 = 0 \) として矛盾するため。

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