うさぎでもわかる線形代数　応用編第3羽　pノルム (Lpノルム）

こんにちは、ももやまです。

第3羽～第5羽はノルムについてお勉強しましょう！

スポンサードリンク

1. 高校数学までのノルム

高校数学では、下の例題のような感じにベクトルの大きさを「始点から終点までの長さ（距離）」として計算していましたね。

[解答0]

\[\begin{align*}
| \vec{a} | & = \sqrt{ 4^2 + (-3)^2 + 5^2 }
\\ & = \sqrt{50}
\\ & = 5 \sqrt{2}
\end{align*}\]

今回はこの高校数学で習った「ベクトルの大きさ」の概念をより一般化した「ノルム」について見ていきましょう。

スポンサードリンク

2. ノルムとは

ベクトルは、そのままの状態だと大小を比べられません。

例えば、2つのベクトル\[
\vec{a} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array} \right) , \ \ \ \vec{b} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -3 \\ -0 \end{array} \right)
\]に対して、\( \vec{a} < \vec{b} \) みたいなことは出来ないということです。

ただし、これをスカラー（1つの数字）にすれば比べることができますね。そこで、ベクトルをスカラーに変換するための変換式（関数）を考えましょう。

この変換式のことをノルムと呼び、\( \| \vec{a} \| \) や \( | \vec{a} | \) などの記号で表されます。

上の条件さえ満たしてしまえば、好きな方法でノルム（ベクトルの大きさ）を定義してあげることができます!!

なお、皆さんが高校時代に習ったベクトルの大きさは、「ベクトルの始点から終点までの最短距離（ユークリッド距離）」と呼ばれるノルムの中でも最もメジャーなものです。

大学数学でも、ユークリッド距離を使う場面は多いですが、問題によっては「ユークリッド距離以外の大きさの測り方」をする必要がある場面が出てきます。

そこで、3章以降は大学数学でよく出てくる \( L_p \) ノルムを紹介します。

スポンサードリンク

3. pノルム（\( L^p \) ノルム）

\( p \) ノルム（\( L^p \) ノルム）の定義式を確認しましょう。

例えば\[
\vec{a} = \left( \begin{array}{ccc} -5 \\ 1 \\ 6 \\ -1 \end{array} \right)
\]のときの3ノルム（\( L^3 \) ノルム）は、\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_3 & = \sqrt[3]{ |-5|^3 + |1|^3+ |6|^3 + |-1|^3 }
\\ & = \sqrt[3]{ 125 + 1 + 216 + 1 }
\\ & = \sqrt[3]{343}
\\ & = \sqrt[3]{7^3}
\\ & = 7
\end{align*}\]と計算できます。

4. 1ノルム・2ノルム・∞ノルム

この章では、ノルムの中でも頻出の1ノルム・2ノルム・∞ノルム（\( L^1 \), \( L^2 \), \( L^{\infty} \) ノルム）の定義と計算例を見てみましょう。

(1) 1ノルム ( \( L^1 \) ノルム )・絶対値ノルム

1ノルム（\( L^1 \) ノルム）ではベクトルの各成分の要素の絶対値の和をノルムとします。

イメージとしては、碁盤の目の町をした道を移動する場合の最短距離（マンハッタン距離）です。

1つ計算例を見てみましょう。

[解説1]

\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_1 &= |4| + |-1| + |8| + |-2| + |-6|
\\ &= 21
\end{align*}\]

(2) 2ノルム ( \( L^2 \) ノルム )・ユークリッド距離

2ノルム（\( L^2 \) ノルムは、皆さんお馴染みのユークリッド距離です。

単に「ノルム」といった場合、この2ノルム（\( L^2 \) ノルム）を指していると思っていただけたらOKです。

再び計算例を見てみましょう。

[解説2]

\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_2 &= \sqrt{ 4^2 + (-1)^2 + (8)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 }
\\ & = \sqrt{ 16 + 1 + 64 + 4 + 36}
\\ & = \sqrt{121}
\\ &= 11
\end{align*}\]

(3) ∞ノルム ( \( L^{\infty} \) ノルム )・最大値ノルム

ノルムで大小を比べる際には、\( p \to \infty \)、つまり∞ノルム（\( L^{\infty} \) ノルム）も使われます。

具体的に \( p \to \infty \) とすると、\[\begin{align*}
\lim_{p \to \infty} \| \vec{a} \|_p & = \sqrt[p]{ | a_1 |^p + | a_2 |^p + \cdots + | a_n |^p }
\\ & = \max ( |a_1| , |a_2| , \cdots , |a_n| )
\\ & = \max_{1 \leqq k \leqq n} | a_k |
\end{align*}\]となり、「各成分の絶対値」の最大値が∞ノルムの値となります^[2]最も絶対値大きい成分以外は微小な値として考える。。

イメージとしては、碁盤の目をした道を始点から終点までたどるときに「最も長く移動した方向の距離」が∞ノルムです。

計算例を見てみましょう。

[解説3]

\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_{\infty} &= \max ( |4|, |-1|, |8|, |-2|, |-6| )
\\ & = 8
\end{align*}\]

pノルム (p = 1, 2,∞) : ノルムが1のときの領域

\( \| \vec{a} \|_p = 1 \) のときの領域を \( p = 1, 2, \infty \) のときに分けて2次元の座標系に図示すると、下のようになります。

\( p = 1 \) のときはひし形、\( p = 2 \) のときは単位円となり、さらに \( p \) が大きくなると正方形に近づいていきます。

5. 練習問題

それでは、1問計算練習をしてみましょう。

[解答]

(1) 1ノルム（\( L^1 \) ノルム）

\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_1 & = |1| + |-7| + |-5| + |-3| + |4|
\\ & = 20
\end{align*}\]

(2) 2ノルム（\( L^2 \) ノルム）

\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_2 & = \sqrt{ 1^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + 4^2 }
\\ & = \sqrt{ 1 + 49 + 25 + 9 + 16 }
\\ & = \sqrt{100}
\\ & = 10
\end{align*}\]

(3) ∞ノルム（\( L^{\infty} \) ノルム）

\[\begin{align*}
\| \vec{a} \|_{\infty} & = \max ( |1|, |-7|, |-5|, |-3|, |4| )
\\ & = 7
\end{align*}\]

6. さいごに

今回は、ベクトルの大きさを比べるための道具である「ノルム」として、代表的な1ノルム、2ノルム、∞ノルムを見ていきました。

次回は、行列のノルムを見ていきましょう。