うさぎでもわかる線形代数　応用編第5羽　関数ノルム・ベクトルで表される連続時間信号のノルム

こんにちは、ももやまです。

全3回に及ぶノルムの記事ですが、1記事目の応用編第3羽では様々なベクトルのノルム、2記事目の応用編第4編では様々な行列のノルムについて勉強しましたね。

3記事目（最終）の第5羽では、「関数のノルム」、「ベクトルで表される連続時間信号のノルム」についてみていきましょう。

[注意] 本記事では広義積分が出てきます。もし、広義積分があやふやな人（or よくわからない人）は下の記事にて復習をしましょう。

うさぎでもわかる解析　Part11　広義積分（広義積分の基本と注意点）・優関数の原理

2019.7.25

こんにちは、ももやまです。今回は広義積分のまとめをしたいと思います。     １．普通の定積分と広義積分の違い 定積分では積分範囲が定義されている値の範囲に必ず含まれていました。 ...

復習ができた or 広義積分なんて余裕！という人は、関数のノルムから勉強していきましょう！

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1. 関数のノルム

早速関数 \( f(x) \) の \( L_p \) ノルムの定義式を見てみましょう。

定義式だけ出してもわかりずらいと思うので、よく出てくる \( p = 1 \), \( p = 2 \), \( p = \infty \) のときにどうなるかを例題も踏まえて見ていきましょう。

\( L^1 \) ノルム [p = 1]

\( p = 1 \) のときの関数の \( L^1 \) ノルムの計算公式は次のようになります。\[
\| f(x) \|_1 = \int^{\infty}_{- \infty} | f(x) | \ dx
\]

公式の使用例を例題で見てみましょう。

[解説1]

\[
- x^2 + 2x + 3 = - (x+1)(x-3)
\]より、\( -1 \leqq x \leqq 3 \) のとき、\( f(x) \geqq 0 \) となる。

よって、\[\begin{align*}
\| f(x) \|_1 & = \int^{\infty}_{- \infty} | f(x) | \ dx
\\ & = \int^{-1}_{- \infty} \ 0 \ dx + \int^{3}_{-1} | -x^2 + 2x + 3 | \ dx + \int^{\infty}_{3} \ 0 \ dx
\\ & = \int^{3}_{-1} | -x^2 + 2x + 3 | \ dx
\\ & = \int^{3}_{-1} -x^2 + 2x + 3 \ dx \ \ \ (\because -1 \leqq x \leqq 3 \ \mathrm{において} \ x \geqq 0)
\\ & = \left[ - \frac{1}{3} x^3 + x^2 + 3x \right]^{3}_{-1}
\\ & = \left( -9 + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)
\\ & = 9 - \left( - \frac{5}{3} \right)
\\ & = \frac{32}{3}
\end{align*}\]と計算できる。

\( L^2 \) ノルム [p = 2]

\( p = 2 \) のときは、関数の \( L^2 \) ノルムの計算公式は次のようになります。\[
\| f(x) \|_2 = \sqrt{ \int^{\infty}_{- \infty} \left\{ f(x) \right\}^2 \ dx }
\]

先ほどと同じように、公式の使用例を例題で確認しましょう。

\( L^2 \) ノルムは、次の計算をすることで求められるのでしたね。\[
\| f(x) \|_2 = \sqrt{ \int^{\infty}_{- \infty} \left\{ f(x) \right\}^2 \ dx }
\]

ここで、\[\begin{align*}
\int^{\infty}_{- \infty} \left\{ f(x) \right\}^2 \ dx & = \int^{1}_{-1} \left( x^2 - 1 \right)^2 \ dx
\\ & = \int^{1}_{-1} x^4 - 2x^2 + 1 \ dx
\\ & = 2 \int^{1}_{0} x^4 - 2x^2 + 1 \ dx
\\ & = 2 \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{2}{3} x^3 + x \right]^{1}_{0}
\\ & = 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right)
\\ & = 2 \cdot \frac{8}{15}
\\ & = \frac{16}{15}
\end{align*}\]

となるので、\[\begin{align*}
\| f(x) \|_2 & = \sqrt{ \int^{\infty}_{- \infty} \left\{ f(x) \right\}^2 \ dx }
\\ & = \sqrt{ \frac{16}{15} }
\\ & = \frac{ 4 }{\sqrt{15}}
\\ & = \frac{ 4 \sqrt{15} }{15}
\end{align*}\]と計算できる。

\( L^{\infty} \) ノルム [p = ∞]

\( p = \infty \) のときの関数の \( L^{\infty} \) ノルムの公式は次のようになります。

\[\begin{align*}
\| f(x) \|_{\infty} & = \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ \int^{\infty}_{- \infty}| f(x) |^p \ dx }
\\ & = \sup_{x \in (- \infty, \infty)} | f(x) |
\end{align*}\]

★ sup（上限）の計算方法

ここで、上限 \( \sup \) について少し確認しておきましょう。

上限\[
\sup_{x \in U} f(x) = A
\]とは、「定義域 \( U \) ^[1]大学数学では定義域を \( x \in U \) と集合表記で表すことがあります。ここで、\( U \) には \( x \in (- \infty, \infty) \) … Continue reading（\( x \) が取りうる値の範囲） の中で \( A \) より大きな数は存在しないという条件の中で、\( f(x) \) が最も小さくなるような \( A \)  のことを指します。

例えば、\( -1 < x < 2 \) における \( |2x| \) の上限\[
\sup_{x \in (- 1, 2)} | 2x |
\]を考えてみましょう。

\( |2x| \) が取りうる値の範囲（値域）は \( 0 \leqq |2x| < 4 \) ですね。そのため、\( -1 < x < 2 \) において \( |2x| \) が4より大きくなることはありませんね。

また、4より小さい数は、\( |2x| \) が取りうる値 \( 0 \leqq |2x| < 4 \) に入ってしまいますね。そのため、\[
\sup_{x \in (- 1, 2)} | 2x | = 4
\]となります。

なお、範囲 \( x \in U \) における \( |f(x)| \) の最大値が存在すれば、その値がそのまま \( \sup_{x \in U} | f(x) | \) となります。つまり、\( \max_{x \in U} f(x) \) が存在する場合、必ず\[
\sup_{x \in U} f(x) = \max_{x \in U} f(x)
\]が成立しますね。

supの復習が終わりましたので、改めて例題で公式の使い方を確認しましょう。

[解説3]

\( 0 \leqq x \leqq 3 \) のとき、\[\begin{align*}
f(x) & = - x^2 + 2x + 3
\\ & = - (x-1)^2 + 4
\end{align*}\]となるため、\( f(x) \) の最大値は4となる。

また、\( -1 \leqq x \leqq 3 \) における \( f(x) \) の最小値は0のため、\( |f(x)| \) の最大値も4となる。

ここで、最大値が存在するため、上限は最大値4と等しくなる。よって、ノルムは\[\begin{align*}
\| f(x) \|_{\infty} & = \sup_{x \in (- \infty, \infty)} | f(x) |
\\ & = 4
\end{align*}\]と計算できる。

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2. 連続時間信号（成分に関数が含まれるベクトル）のノルム

信号処理の世界では、下のような連続時間信号（成分に時間 \( t \) の関数 \( f(t) \) が含まれるベクトル）のノルムを計算することがあります。\[
f(t) = \left( \begin{array}{ccc} t^2 \\ 3t \end{array} \right)
\]

こちらも、よく（試験などで）出てくる \( L^1 \) ノルム、\( L^2 \) ノルム、\( L^{\infty} \) ノルムについて、それぞれ計算方法を確認しましょう。

(1) \( L^1 \) ノルム [p = 1]

( p = 1 \) のときの連続時間信号の \( L^1 \) ノルムの計算公式は次のようになります。\[\begin{align*}
|\| f(t) \|_1 & = \int^{\infty}_{- \infty} | f_1 (t) | + | f_2 (t) | + \cdots + | f_n (t) | \ dt
\\ & = \int^{\infty}_{- \infty} \sum^{n}_{k = 1} | f_k (t) | \ dt
\end{align*}\]

例題で計算公式の使い方を確認しましょう。

[解説4]

\[
t^2 - t = t(t-1)
\]\[
t^3 - 3t^2 + 2t = t(t-1)(t-2)
\]より、\( 0 \leqq t \leqq 1 \) において、\( t^2 - t \leqq 0 \)、\( t^3-3t^2+2t \geqq 0 \) となる。

よって、連続時間信号 \( f(t) \) の\( L^{1} \) ノルムは\[\begin{align*}
\| f(t) \|_1 & = \int^{1}_{0} |t^2 - t| \ dt + \int^{1}_{0} | t^3 - 3t^2 + 2t | \ dt
\\ &= \int^{1}_{0} -t^2 + t \ dt + \int^{1}_{0} t^3 - 3t^2 + 2t \ dt
\\ & = \left[ - \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 \right]^{1}_{0} + \left[ \frac{1}{4} t^4 - t^3 + t^2 \right]^{1}_{0}
\\ & = \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right)
\\ & = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}
\\ & = \frac{5}{12}
\end{align*}\]と計算できる。

(2) \( L^2 \) ノルム [p = 2]

\( p = 2 \) のときの連続時間信号の \( L^2 \) ノルムの計算公式も見ていきましょう。\[\begin{align*}
\| f(t) \|_2 & = \sqrt{ \int^{\infty}_{- \infty} \left\{ f_1 (t) \right\}^2 + \left\{ f_2 (t) \right\}^2 + \cdots + \left\{ f_n (t) \right\}^2 \ dt }
\\ & = \sqrt{ \int^{\infty}_{- \infty} \sum^{n}_{k = 1} \left\{ f_k (t) \right\}^2 \ dt }
\end{align*}\]

※ ルートの中に積分式を入れたくない人は、\[

同じように例題で計算公式の使い方を確認しましょう。

[解説5]

まずは、ノルムの2乗 \( \| f(t) \|_2 \) を求める。\[\begin{align*}
\left( \| f(t) \|_2 \right)^2 & = \int^{1}_{0} (t^2 - t)^2 \ dt + \int^{1}_{0} (t^3-t)^2 \ dt
\\ & = \int^{1}_{0} t^4 - 2t^3 + t^2 \ dt + \int^{1}_{0} t^6 - 2t^4 +t^2 \ dt
\\ & = \left[ \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{2} t^4 + \frac{1}{3} t^3 \right]^{1}_{0} + \left[ \frac{1}{7} t^7 - \frac{2}{5} t^5 + \frac{1}{3} t^3 \right]^{1}_{0}
\\ & = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \right)
\\ & = \frac{1}{30} + \frac{8}{105}
\\ & = \frac{23}{210}
\end{align*}\]

よって、連続時間信号 \( f(t) \) の\( L^2 \) ノルムは\[\begin{align*}
\| f(t) \|_2 & = \sqrt{ ( \| f(t) \|_2 )^2 }
\\ & = \sqrt{ \frac{23}{210} }
\\ & = \frac{ \sqrt{23} }{ \sqrt{210} }
\\ & = \frac{ \sqrt{4830} }{210}
\end{align*}\]と計算できる。

(3) \( L^{\infty} \) ノルム [p = ∞]

\( p = \infty \) のときの関数の \( L^{\infty} \) ノルム公式は次のようになります。

\[\begin{align*}
\| f(x) \|_{\infty} & = \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ \int^{\infty}_{- \infty} | f_1 (t) |^p + | f_2 (t) |^p + \cdots + | f_n (t) |^p \ dt }
\\ & = \sup_{t \in (- \infty, \infty)} \max ( |f_1 (t)|, | f_2 (t) | , \cdots, | f_n (t) | )
\\ & = \sup_{t \in (- \infty, \infty)} \max_{1 \leqq k \leqq n} | f_k (t) |
\end{align*}\]

求め方としては、\( f_1 (t) \), \( f_2 (t) \), …, \( f_n (t) \) の上限値(sup)を求め、それらの最大値を取ればOKです。

こちらも実際に例題の計算演習で確認してみましょう。

\( t^2 - t \), \( t^3 -t \) の最大値を求める。

\[\begin{align*}
- t^2 + t = - \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}
\end{align*}\]となるため、最大値は \( t = 1/2 \) のとき、\( 1/4 \) となる。

また、\( -t^3 + t \) の最大値は微分をすることで求める。ここで \( g(t) = -t^3+t \) とすると、\[\begin{align*}
g'(t)& = -3t^2 + 1
\end{align*}\]となるため、\( 0 \leqq t \leqq 1 \) における極値は\[
t = \frac{ \sqrt{3} }{3}
\]となる。さらに増減表を書くと、下のようになる。

よって、最大値は\[
\frac{ 2 \sqrt{3} }{9}
\]と求められる。

ここで、\[
\frac{9}{36} < \frac{13.6}{36} < \frac{8 \sqrt{3}}{36} \]が成立するため、
\[\frac{1}{4} < \frac{ 2 \sqrt{3} }{9}
\]となる。\( L^{\infty} \) ノルムを\[\begin{align*}
\| f(x) \|_{\infty} & =\sup_{t \in (- \infty, \infty)} \max \left( f_1 (t), f_2 (t)\right)
\\ & = \max \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}, \frac{ 2 \sqrt{3} }{9} \right)
\\ & = \frac{ 2 \sqrt{3} }{9}
\end{align*}\]と求めることができる。

なお、\( \| f(t) \|_{\infty} \) を計算する際には、下のようにグラフを書き、どの成分の関数の最大値が（ベクトル内の関数の中で）一番最大になるのかを把握するのがおすすめ。

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3. 練習問題

では、実際に関数ノルム・連続時間信号のノルムを計算する練習をしてみましょう。

練習1：関数の \( L^1 \), \( L^2 \) ノルム

練習2：関数の \( L^{\infty} \) ノルム

練習3：連続時間信号の \( L^1 \), \( L^2 \) ノルム

練習4：連続時間信号の \( L^{\infty} \) ノルム

4. 練習問題の答え

練習1：関数の \( L^1 \), \( L^2 \) ノルム

(i) \( L^1 \) ノルム

\[\begin{align*}
\| f(x) \|_1 & = \int^{\infty}_{- \infty} |f(x)| \ dx
\\ & = \int^{0}_{- \infty} |e^x| \ dx + \int^{\infty}_{0} |e^{-x}| \ dx
\\ & = \lim_{R \to \infty} \int^{0}_{- R} e^x \ dx + \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-x} \ dx
\end{align*}\]を計算すればOK^[2]\( 0 \leqq x \) において、\( e^x \geqq 0 \), \( e^{-x} \geqq 0 \) となるため簡単に絶対値をはずせる。。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{0}_{- R} e^x \ dx & = \left[ e^x \right]^{0}_{- R}
\\ & = \lim_{R \to \infty} 1 - e^{-R}
\\ & = 1 - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ e^R }
\\ &= 1
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-x} \ dx & = \left[ -e^{-x} \right]^{R}_{0}
\\ & = \lim_{R \to \infty} - e^{-R} + 1
\\ & = 1 - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ e^R }
\\ &= 1
\end{align*}\]と計算できるので、

\[\begin{align*}
\| f(x) \|_1 & = \lim_{R \to \infty} \int^{0}_{- R} e^x \ dx + \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-x} \ dx
\\ & = 1 + 1
\\ & = 2
\end{align*}\]と計算できる。

(ii) \( L^2 \) ノルム

\[\begin{align*}
\left( \| f(x) \|_2 \right)^2 & = \int^{\infty}_{- \infty} \left\{ f(x) \right\}^2 \ dx
\\ & = \int^{0}_{- \infty} \left( e^x \right)^2 \ dx + \int^{\infty}_{0} \left( e^{-x} \right)^2 \ dx
\\ & = \lim_{R \to \infty} \int^{0}_{- R} e^{2x} \ dx + \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-2x} \ dx
\end{align*}\]を計算してから、\( \| f(x) \|_2 = \sqrt{ \left( \| f(x) \|_2 \right)^2 } \) をすればOK。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{0}_{- R} e^{2x} \ dx & = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]^{0}_{- R}
\\ & = \lim_{R \to \infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2R}
\\ & = \frac{1}{2} - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ 2e^{2R} }
\\ &= \frac{1}{2}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-2x} \ dx & = \left[ - \frac{1}{2} e^{-2x} \right]^{R}_{0}
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{2} e^{-2R} + \frac{1}{2}
\\ & = \frac{1}{2} - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ 2e^{2R} }
\\ &= \frac{1}{2}
\end{align*}\]と計算できるので、

\[\begin{align*}
\left( \| f(x) \|_2 \right)^2 & = \lim_{R \to \infty} \int^{0}_{- R} e^{2x} \ dx + \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-2x} \ dx
\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
\\ & = 1
\end{align*}\]なので、\( L^2 \) ノルムは\[\begin{align*}
\| f(x) \|_2 & = \sqrt{\left( \| f(x) \|_2 \right)^2}
\\ & = \sqrt{1}
\\ & = 1
\end{align*}\]となる。

練習2：関数の \( L^{\infty} \) ノルム

\[\begin{align*}
\sup_{x \in (- \infty, \infty)} | f(x) | & = \sup_{x \in (0,4)} |x^2|
\\ & = A
\end{align*}\]を満たすような \( A \) を考える。

ここで、\( 0 < x < 4 \) のとき、値域は\( 0 < | x^2 | < 16 \) となる。

そのため、値域 \( 0 < | x^2 | < 16 \) に含まれるどの値よりも大きくなり、なおかつ \( A \) をできるだけ小さくするようにするためには、\( A = 16 \) とすればOK。

よって、\[\begin{align*}
\| f(x) \|_{\infty} & = \sup_{x \in (- \infty, \infty)} | f(x) |
\\ & = \sup_{x \in (0,4)} |x^2|
\\ & = 16
\end{align*}\]と計算できる。

練習3：連続時間信号の \( L^1 \), \( L^2 \) ノルム

(i) \( L^1 \) ノルム

\[\begin{align*}
\| f(t) \|_1 & = \int^{\infty}_{0} |e^{-3t}| \ dt + \int^{\infty}_{0} |-2e^{-4t}| \ dt
\\ & = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-3t} dt + 2 \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-4t} \ dt
\end{align*}\]を計算すればOK^[3] \( 0 \leqq t \) において、\( e^{-3t} \geqq 0 \), \( - e^{-4t} \leqq 0 \) となるため、絶対値を簡単に外せる。。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-3t} \ dt & = \left[ - \frac{1}{3} e^{-3t} \right]^{R}_{0}
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{3} e^{-3R} + \frac{1}{3}
\\ & = \frac{1}{3} - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ 3e^{3R} }
\\ &= \frac{1}{3}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-4t} \ dx & = \left[ - \frac{1}{4} e^{-4t} \right]^{R}_{0}
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{4} e^{-4R} + \frac{1}{4}
\\ & = \frac{1}{4} - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ 4e^{4R} }
\\ &= \frac{1}{4}
\end{align*}\]と計算できるので、\[\begin{align*}
\| f(t) \|_1 & = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-3t} dt + 2 \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-4t} \ dt
\\ & = \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{4}
\\ & = \frac{5}{6}
\end{align*}\]と計算できる。

(ii) \( L^2 \) ノルム

\[\begin{align*}
\left( \| f(t) \|_2 \right)^2 & = \int^{\infty}_{0} \left\{ e^{-3t} \right\}^2 \ dt + \int^{\infty}_{0} \left\{ -2 e^{-4t} \right\}^2 \ dt
\\ & = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-6t} dt + 4 \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-8t} \ dt
\end{align*}\]を計算し、\( \| f(t) \|_2 = \sqrt{ \left( \| f(t) \| \right)^2 } \) とすればOK。

ここで、\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-6t} \ dt & = \left[ - \frac{1}{6} e^{-6t} \right]^{R}_{0}
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{6} e^{-6R} + \frac{1}{6}
\\ & = \frac{1}{6} - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ 6e^{6R} }
\\ &= \frac{1}{6}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-8t} \ dx & = \left[ - \frac{1}{8} e^{-8t} \right]^{R}_{0}
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{8} e^{-8R} + \frac{1}{8}
\\ & = \frac{1}{8} - \lim_{R \to \infty} \frac{1}{ 8e^{8R} }
\\ &= \frac{1}{8}
\end{align*}\]と計算できるので、\[\begin{align*}
( \| f(t) \|_2 )^2 & = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-6t} dt + 4 \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} e^{-8t} \ dt
\\ & = \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{8}
\\ & = \frac{2}{3}
\end{align*}\]と計算できる。

よって、\( L^2 \) ノルムは\[\begin{align*}
\| f(t) \|_2 & = \sqrt{\left( \| f(t) \|_2 \right)^2}
\\ & = \sqrt{ \frac{2}{3} }
\\ & = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }
\\ & = \frac{ \sqrt{6} }{3}
\end{align*}\]となる。

練習4：連続時間信号の \( L^{\infty} \) ノルム

\( | \cos t | \leqq 1 \), \( | 2 \sin t | \leqq 2 \), \( | 3 \cos t | \leqq 3 \) である。

よって、\[
\max |\cos t| = 1
\]\[
\max | 2 \sin t | = 2
\]\[
\max | 3 \cos t | = 3
\]となる。

したがって、\( L^{\infty} \) ノルムは\[\begin{align*}
\| f(t) \|_{\infty} & = \sup_{t \in (- \infty, \infty)} \max ( |\cos t|, |2 \sin t |, |3 \cos t| )
\\ & = 3
\end{align*}\]と計算できる。

連続時間信号の \( L^{\infty} \) ノルムはグラフを書くと計算しやすいかもしれません。

5. さいごに

今回は、関数のノルム、およびベクトルで表される連続時間信号のノルムについて説明しました。

第3羽から3記事にわたったノルム、いかがだったでしょうか。

• 第3羽　様々なベクトルのノルム
• 第4羽　行列のノルム
• 第5羽　関数のノルム・ベクトルで表される連続時間信号のノルム ← この記事！

第3羽、第4羽のリンクで復習ができるので、復習をしたい方はリンクから飛んでください！

第6羽では、2次形式の(半)正定値、(半)負定値の判定方法についてみていきたいと思います！