Uncategorized2026年5月30日

うさぎでもわかる離散数学　第6羽　関数・写像のいろは - 全域写像/部分写像・全射/単射マスターになろう！

ももうさ

合成写像、逆写像について

本記事の大幅リニューアルに伴い、以前掲載していた「合成写像」「逆写像」「連続関数の写像」についての解説は一旦削除いたしました。

これらの項目については、今後のリニューアルアップデートにて別記事などで改めて分かりやすく解説する予定ですので、どうぞお楽しみに！

お知らせ

この記事では、日本のバレンタインをベースにした、「女性から男性へプレゼントを贈る」設定が出てきます。

現実の愛の形は自由ですが、数学のルールを学ぶため、分かりやすさを優先した例えとしてお許しください。

こんにちは、ももやまです！

「写像」「全域写像」「全射」「単射」……離散数学を学んでいると、突然こんな呪文みたいな専門用語がたくさん出てきますよね。
教科書やネットの解説を開いても、謎の記号や小難しい定義ばかりがずらりと並んでいて、「もういやだ！」とブラウザを閉じたくなった経験はありませんか？

でも、安心してください！
今回の「第6羽」では、そんなややこしい数式や専門用語は一旦脇に置いておきます。
身近な例えを使いながら、うさぎでもスッキリ理解できるくらい「簡単な言葉」で解説していきます。

この記事を読み終える頃には、あなたが「写像マスター」として全域・部分写像や、全射・単射の違いを完璧に見分けられるようになっているはずです。一緒に楽しく学んでいきましょう！

１. 動画での解説はこちら！
２．写像を学ぶ前の準備：「関数」のおさらい
３．写像とは
４．全域写像(関数)と部分写像(関数) [写像の入力に着目！]
５．全射と単射 [写像の出口　に着目！]
６．練習問題にチャレンジ！　数え上げ
７．練習問題の答え
８．【おまけ】写像の数を一般化してみよう（公式集）
９．確認テスト

１. 動画での解説はこちら！

本記事の内容は、動画でも解説しております。動画でご覧いただきたい方は、以下の動画をご覧ください。

２．写像を学ぶ前の準備：「関数」のおさらい

「写像（しゃぞう）」について本格的に学ぶ前に、まずは高校までの数学で習った「関数」について振り返ります。

(1) 関数とは「魔法の箱」

関数とは、分かりやすく言うと「値 $x$ を入れると、結果 $f(x)$ が出る魔法の箱」のことです。

中学校や高校の数学で、$y = 2x$ や $f(x) = 2x$ といった式を学んだと思います。これがまさに「魔法の箱」の正体です。

例えば、$f(x) = 2x$ というルールの箱に、入力として「3」という数字を入れてみます。

このように、「3」を入れると箱の中のルールに従って計算され、「6」になって出てきます。これが関数の基本的な働きです。

(2) 関数における重要なお約束

関数と呼ぶためには、とても重要な「お約束」が1つあります。

それは、「1つの $x$ から出てくる $f(x)$ の値は、ただ1つだけ」でなければならない、ということです。

例えば、「3」を入れたのに、ある時は「6」が出て、別の時には「8」が出たりするような気まぐれな箱は、「関数」とは呼べません。

入力に対して、常に決まった1つの結果だけを返してくれる。この厳密さがあって初めて、その箱は「関数」として認められます。

(3) 関数から「写像」へ

関数の「ルールに従って決まった結果を返す魔法の箱」というイメージは、写像を理解する上でとても重要になります。

これから学んでいく「写像（Mapping）」は、ズバリこの魔法の箱（関数）の「パワーアップバージョン」です。

今までの数学で関数に入れていたのは「数字」だけでした。

しかし、写像の世界では、この箱に「数字以外のもの」も入れることができるようになります。

このように、数字以外のものまで扱えるように関数のルールを拡張した魔法の箱こそが、「写像」の正体です。関数の基本イメージを踏まえた上で、ここから「写像」の性質について詳しく見ていきます。

３．写像とは

(1) 簡単に言うと

関数は数字しか扱えませんでしたが、写像は「数字以外」のものも入れたり出したりできるんです。

つまり、「$x$ を入れると、結果 $f(x)$ が出る魔法の箱」です。

例えば、身近な「自動販売機」を想像してみてください。

自動販売機では、入力する $x$ が「ボタン」で、出力される $f(x)$ が「飲み物」になります。

対象が数字からモノに変わっただけで、「ボタンの集まり」から「飲み物の集まり」へ対応関係を作る根本的な仕組みは、関数と全く同じですよね。これが写像の基本的なイメージです。

写像と関数

大学の先生によっては、写像のこともまとめて「関数」と呼ぶ人もいます。

(2) 写像にも引き継がれる、お約束

そして、ここで関数で学んだ「あの超重要ルール」がそのまま適用されます。

それは、「1つの入力から出てくる結果は、絶対にただ1つだけ」というルールです。

もし自販機でボタン1を押したのに、水とコーラが2つ同時に出てきたらどうでしょうか。

それは「自販機が壊れている！」ということになりますよね。

つまり、これは写像のルール違反になってしまうのです。

対象が数字から様々なモノへと広がっても、「1つの入力から出るのはただ1つだけ」。これが写像の変わらない正体です。

(3) 写像の数学的定義

自動販売機のイメージが掴めたところで、実際に「ボタンと飲み物の対応関係」を数学の記号で表してみましょう。

写像を扱うとき、一番よく見かけるのが $f: A \to B$ という記号です。これは「集合 $A$ から集合 $B$ への、写像 $f$」ということを表しています。

「$A$ から $B$ へ」という方向が、そのまま矢印になっているんですね。

このように、大学の数学では、「どんなモノの集まり（集合）から、どんなモノの集まり（集合）へ対応させるのか」という「グループ全体」が主役になります^[1]高校までの数学だと、「$f(x) = 2x$」のように、数字を入れて数字を出す「計算のルール（式）」ばかりに注目していましたね。。

つまり写像という魔法の箱の正体は、集合 $A$ という世界にあるすべてのものに、集合 $B$ という世界の行き先を、たった1つずつ指し示す「完璧な地図」のようなルールのことなんです。

だからこそ、さっきの自販機のように「ボタンの集合」から「飲み物の集合」へ、という書き方ができるのです。式そのものよりも「どこから、どこへ行くのか」という宣言がとても重要になります。

(4) 写像の数学的定義

では具体的に、この「ボタンの集合 $A$」から「飲み物の集合 $B$」への対応関係を、3つの書き方で紹介します。表している中身は全部同じですが、場面によって使い分けます。

① おなじみの書き方

いつもの関数と同じように、$f(\text{ボタン1}) = \text{水}$ と書きます。見慣れた形なので安心しますね。

② プロっぽい書き方

根っこに縦線が入った特殊な矢印 ($\mapsto$) を使って、要素同士が対応していることを表します。\[
\text{ボタン1} \mapsto \text{水}
\]この矢印を使うと、なんだか数学のプロっぽくてかっこいいですね。

③ ペアの集合としての書き方

離散数学で一番よく使うのが、この書き方です。

入力と出力のペアを $(\text{ボタン1}, \text{水})$ のようにカッコでくくって、それを全部集めて集合の形にします。\[
f = \{(\text{ボタン1}, \text{水}), (\text{ボタン2}, \text{コーラ}), (\text{ボタン3}, \text{カルピス})\}
\]対応する組み合わせを、座標のように全部リストアップしてしまうのです。

実は、写像の正体というのは、この「入力と出力のペアを詰め合わせた集合」のことでもあります。

この3番目の書き方は今後もたくさん出てくるので、しっかり目に焼き付けておいてくださいね！

ここまでのおさらい

■ 関数（魔法の箱）のおさらい

関数とは「値 $x$ を入れると、結果 $f(x)$ が出る魔法の箱」。
絶対ルール： 1つの入力に対して、出てくる結果は「ただ1つだけ」！

■ 写像とは？

関数のパワーアップ版！数字以外のモノも扱える。
（例：自販機の「ボタン」を入力すると、「飲み物」が出る）
写像でも、関数のルール「1つの入力から出る結果はただ1つ」はそのまま！

■ 写像の数学的な書き方

「集合 $A$ から集合 $B$ への写像」を、$f: A \to B$ と書く。
（どのグループから、どのグループへ対応するかが主役！）
対応関係の表し方3選：
1. おなじみの書き方： $f(\text{ボタン1}) = \text{水}$
2. プロっぽい書き方： $\text{ボタン1} \mapsto \text{水}$
3. ペアの集合： \[
  f = \{(\text{ボタン1}, \text{水}), (\text{ボタン2}, \text{コーラ}), \dots \}
  \]

※ 「ペアを詰め合わせた集合 $ f $ 」でも、写像を表せるという考え方は重要！

４．全域写像(関数)と部分写像(関数) [写像の入力に着目！]

ここからは「入力」に注目して、写像を

全域写像（ぜんいきしゃぞう）
部分写像（ぶぶんしゃぞう）

の2つのグループに分けてみましょう。

(1) 全域写像(関数) [売り切れなし]

全域写像とは、「すべての入力に対して、必ず結果が定義されている」状態のことです。

「どのボタンを押しても必ず飲み物が出てくる、売り切れが一切ない超優秀な自販機」がイメージです。

入力側の集合（ボタンの集合）にあるすべての要素から、必ず結果の矢印が出ています。

全域写像(関数) のことを、写像(関数) と呼ぶ人もいます

単に「関数」や「写像」と出てきたときは、この「全域写像」を指すことが一般的なので覚えておいてくださいね。

(2) 部分写像(関数) [売り切れあり]

一方、部分写像とは、「結果が出ない入力があってもOK」な状態のことです。

「一部の飲み物が売り切れになっていて、飲み物が出てこない…。」というのが、イメージです。

入力側全員が結果を出さなくても、一部だけ結果を出していればいいので「部分」という名前がついています。

(3) 例題にチャレンジ！

ここからは、実際に例題を解いてみましょう。

例題1

つぎの関係 $ f_1 $, $ f_2 $, $ f_3 $ がある。

$ f_1 : A \to B $, $ A = \{1, 2 \} $, $ B = \{ a, b \} $ \[
f_1 = \{(1, a), (1, b)\}
\]

$ f_2 : A \to B $, $ A = \{1, 2 \} $, $ B = \{ a, b \} $ \[
f_2 = \{(1, a), (2, a)\}
\]

$ f_3 : A \to B $, $ A = \{1, 2 \} $, $ B = \{ a, b \} $ \[
f_3 = \{(1, a)\}
\]

これらの関係が写像かどうか判定しなさい。また、写像であるのであれば、それは全域写像か部分写像のどちらか。1～3の選択肢で答えなさい。

全域写像(関数)である
部分写像(関数)である
写像(関数)ではない

※ 慣れるまでは、実際に対応関係を図示して判定することをおすすめします。

(1) $ f_1 = \{(1, a), (1, b)\} $

この式を図にすると、入力の 1 から、a と b の2か所に矢印が出ることになります。

これは、自販機で「ボタンを1つ押したら、飲み物が2本同時に出てきてしまった（壊れている）」状態です。

写像の超重要ルールである「1つの入力から出る矢印は絶対に1本だけ」という約束を破っているので、これはそもそも「写像（関数）ではない」となります。

よって、3. 写像(関数)ではないが答えです。

(2) $ f_2 = \{(1, a), (2, a)\} $

この式を図にすると、1 から a へ、そして 2 からも a へ矢印が出ます。

行き先が同じ a でかぶっていますが、入力側の 1 と 2 は「全員が必ず1本だけ矢印を出す」というルールをしっかり守っています。

したがって、これは写像として全く問題なく、「全域写像」となります。

答えは、1. 全域写像(関数)であるです。

(3) $ f_3 = \{(1, a)\} $

この式を図にすると、1 は a へ行きますが、2 の対応は何も書かれていないため、2 からはどこにも矢印が出ません。

これは「2 はお休み（売り切れ）」していて結果が出ない状態です。結果が出ない入力が含まれているので、これは「部分写像」になります。1

答えは、2. 部分写像(関数)であるです。

このように、式から「入力側の矢印の出方」を書くだけで、全域写像／部分写像の判定は簡単にできるのです！

５．全射と単射 [写像の出口　に着目！]

ここからは

全射（ぜんしゃ）
単射（たんしゃ）

という、めちゃくちゃ重要な2つのルールを紹介します。

名前からして難しそうに感じるかもしれませんが、ここではうさぎ界の「バレンタインのプレゼント」に例えて考えてみましょう。

「送り手の女の子うさぎ（集合A）」から「受け手の男の子うさぎ（集合B）」へ、「ニンジン」をプレゼントする写像として考えると、ルールの違いが一瞬で分かりますよ！

(1) 全射とは？　[誰も「ぼっち」にならない]

全射を一言でいうと、「受け手の男の子が、全員ニンジンをもらえている状態」のことです。

ポイントは「出力（受け手）全員がカバーされているか」です。

[i] 全射といえる例

はやと君、れおん君の全員がニンジンをもらっている。
れおん君は2本もらっているが、「全員が最低1本もらう」というルールを満たすのでOK。

[ii] 全射といえない例

れおん君がニンジンをもらえていない（ぼっちがいる）。

(2) 単射とは？　[「かぶり」は許さない]

単射は、「1匹の受け手（男の子）が、複数の送り手（女の子）からニンジンをもらってはいけない」という少し厳しいルールです。

ポイントは「出力（受け手）に『かぶり』が一切ないか（最大でも1つまでか）」です。

[i] 単射といえる例

ひびき君、ゆうた君はそれぞれ1本ずつしかニンジンをもらっていない。
りくお君は0本だが、「もらうなら最大1本まで」のルールなのでOK。

[ii] 単射といえない例

ひびき君が2人からニンジンをもらってしまっている（かぶりがある）。

(3) 全射と単射の数学的な定義（プロの書き方）

ここまでイラストで見てきたルールを、大学数学の「プロの書き方」で表すとどうなるか見てみましょう。

全射と単射の定義

$ f: A \to B $ とする。

以下を満たすとき、全射と呼ぶ。\[
\forall y \in B, \exists x \in A, f(x) = y
\]

以下を満たすとき、単射と呼ぶ。\[
\forall x_1, x_2 \in A, f(x_1) = f(x_2) \to x_1 = x_2
\]

難しそうなアルファベットの記号が出てきましたね。

数式の意味を読む前に、まずは $ \forall $, $ \exists $ の意味をおさらいしましょう。

$ \forall $, $ \exists $ のおさらい

$ \forall $: 英語の「All（すべて）」の頭文字Aを逆さにしたもので、「すべての〜」という意味です。

$ \exists $: 「Exists（存在する）」の頭文字Eを逆さにしたもので、「〜が存在する」という意味になります。

詳細な解説については、以下の記事をご覧ください。

では、この2つの記号の意味を踏まえて、定義の式を読んでみましょう。

[i] 全射の定義

定義式は、\[
\textcolor{deepskyblue}{\forall y \in B}, \textcolor{magenta}{\exists x \in A}, f(x) = y
\]でしたね。

これをバレンタインのシチュエーションにすると、「受け手の男の子うさぎ $y$ を全員 $\forall $ 見渡したとき、必ずニンジンをくれた送り手の女の子うさぎ $x $ が(1匹以上)存在 $\exists $ する」と解釈できます。

つまり、さっきの「どの受け手を選んでも、必ずプレゼントをくれた人がいる（受け手側で誰も『ぼっち』じゃない）」という状態を、数学の言葉で厳密に表したものなのです。

[ii] 単射の定義

定義式は、\[
\textcolor{magenta}{\forall x_1, x_2 \in A} , \textcolor{deepskyblue}{f(x_1) = f(x_2)} \to \textcolor{magenta}{x_1 = x_2}
\]でしたね。

これをバレンタインのシチュエーションにすると、「もし、届いたニンジンが同じ男の子のものだった $f(x_1) = f(x_2) $ としたら、それは絶対に、同じ女の子が贈ったものだ $x_1 = x_2 $」と解釈できます。

言い換えると、「別々の女の子から、同じ男の子に届くことはない（かぶりは絶対にない！）」ということになります。

[iii] 全単射の定義

全単射とは、文字通り「全射と単射の両方を満たしている状態」のことを指します。

つまり、受け手に「ぼっち」がいなくて、しかも「かぶり」もない完璧な状態ですね。

数学の定義は、誤解がないように厳密に書かれているだけで、言っていることはイラストで学んだシンプルなルールと全く同じなのです。

(4) 例題にチャレンジ

ここからは、実際に例題を解いてみましょう。

例題2

つぎの写像 $ f_1 $, $ f_2 $, $ f_3 $, $ f_4 $ がある。

$ f_1 : A \to B $, $ A = \{1, 2, 3\} $, $ B = \{ a, b \} $ \[
f_1 = \{(1, a), (2, b), (3, b)\}
\]

$ f_2 : A \to B $, $ A = \{1, 2\} $, $ B = \{ a, b, c \} $ \[
f_2 = \{(1, c), (2, b)\}
\]

$ f_3 : A \to B $, $ A = \{1, 2, 3\} $, $ B = \{ a, b, c \} $ \[
f_3 = \{(1, c), (2, a), (3, b)\}
\]

$ f_4 : A \to B $, $ A = \{1, 2, 3\} $, $ B = \{ a, b, c \} $ \[
f_4 = \{(1, b), (2, b), (3, c)\}
\]

これらの写像が全射、単射、全単射のどれに当てはまるか。以下の1～4の選択肢から答えなさい。

全単射である
全射である（単射ではない）
単射である（全射ではない）
全射でも単射でもない

(1) $ f_1 $

全射の判定)

出力（受け手）側の集合 $ \{a, b\} $ に注目してください。a も b も矢印（ニンジン）をもらっているので、「ぼっち」はいません。したがって、これは「全射」です。

単射の判定)

一方で、b が 2 と 3 の2か所から矢印をもらっており、「かぶり」が発生しています。かぶりがあるため、「単射」ではありません。（ $ 2, 3 \mapsto b $ のため、単射ではない）

答えは、2. 全射である（単射ではない）です。

(2) $ f_2 $

全射の判定)

出力側の集合 $ \{a, b, c\} $ を見ると、a が誰からも矢印をもらえていません。「ぼっち」がいる状態なので、これは「全射」ではありません。

単射の判定)

一方で、矢印をもらっている b と c はそれぞれ1本ずつなので、「かぶり」はありません。したがって、これは「単射」です。

答えは、3. 単射である（全射ではない）です。

(3) $ f_3 $

出力側の a, b, c 全員が、ちょうど1本ずつ矢印をもらっています。

「ぼっち」がいなくて、しかも「かぶり」もありません。

答えは、1. 全単射であるです。

$ f_4 $

全射の判定)

出力側の a が誰からも矢印をもらっていない「ぼっち」なので、全射ではありません。

単射の判定)

b が 1 と 2 の2か所から矢印をもらっており、「かぶり」が発生しています。かぶりがあるため、「単射」ではありません。（ $ 1, 2 \mapsto b $ のため、単射ではない）

答えは、4. 全射でも単射でもないです。

６．練習問題にチャレンジ！　数え上げ

それでは、ここまで学んだ知識を使って、条件を満たす写像が「何通り」あるかを数え上げる問題に挑戦しましょう。全部で5問あります。

引き続き、集合 $ A = \{1, 2\} $ を送り手の女の子、集合 $ B = \{a, b, c\} $ を受け手の男の子、矢印をプレゼントのニンジンとして考えるとイメージしやすいです。

練習問題

集合 $ A = \{1, 2\} $、$ B = \{a, b, c\} $ とする。

このとき、(1)～(5)の条件を満たす写像はそれぞれ何通りあるか求めなさい。

(1) A から B への全域写像で相異なるもの

(2) A から B への部分写像で相異なるもの

(3) A から B への単射(全域写像)で相異なるもの

(4) B から B への全単射 (1対1対応)

(5) B から A への全射(全域写像)

７．練習問題の答え

1番の女の子と2番の女の子が、a, b, c くんの誰にニンジンを渡すかを考えます。

(1) 全域写像の数え上げ

全域写像なので、すべての入力から必ず矢印が出ます（自動販売機だと、売り切れなしの状態）。

1の行先：a, b, c の誰に渡してもよいので、3通り。
2の行先：同じく3人の誰に渡してもよいので、3通り。

これらを掛け合わせて、$ 3 \times 3 = 9 $ 通りになります。

よって、答えは 9通りです。

(2) 部分写像の数え上げ

全域写像との違いは「結果が出ない入力があってもOK（誰にも渡さない子がいてもいい）」という点でした。
※ 自動販売機で言う、売り切れのボタンがあってもOKな状態。

したがって、行き先の選択肢に「誰にも渡さない」という1通りが追加されます。

1の行先：a, b, c、そして「渡さない」 4通り。
2の行先：同じく a, b, c, 渡さないの 4通り。

これらを掛け合わせて、$ 4 \times 4 = 16 $ 通りになります。

よって、答えは 16通りです。

(3) 単射の数え上げ

単射のルールは「出力側（受け手の男の子）にかぶりがない状態」です。

1の行先：a, b, c のうち誰かに渡すので、3通り。
2の行先：1が選んだ男の子にはかぶって渡せないので、残りの2人から選ぶことになり、2通り。

これらを掛け合わせて、$ 3 \times 2 = 6 $ 通りになります。

よって、答えは 6通りです。

(4) 全単射(1対1対応)の数え上げ

この問題は「B から B へ」となっていることに注意してください。

a, b, c くんの3人が、自分たち3人の中でプレゼントを渡し合う状況です。全単射なので、「ぼっち」も「かぶり」もありません。

a の行先：3人のうち誰かを選ぶので 3通り。
b の行先：かぶり禁止なので、残り 2通り。
c の行先：さらに残った最後の 1通り。

これらを掛け合わせて、$ 3 \times 2 \times 1 = 6 $ 通りになります。

よって、答えは 6通りです。

(5) 全射の数え上げ

最後は「B から A へ」の全射です。男の子たちから女の子たちへの「お返し」と考えましょう。ホワイトデーですね。

全射のルールは「出力側（女の子）にお返しをもらえない『ぼっち』がいない状態」です。この計算は、2つのステップに分けて考えます。

Step1. 全パターン（全域写像の数）を求める

まずは条件を気にせず、すべてのパターンを出します。(1)でやったのと同じ考え方です。

a の行先：1か2の2通り。
b の行先：1か2の2通り。
c の行先：1か2の2通り。

これらを掛け合わせて、$ 2 \times 2 \times 2 = 8 $ 通りです。

Step2. 全射の条件を満たさないものをStep1から引く

全射にならない（女の子にぼっちがいる）ケースは、以下の2パターンだけです。

3人全員が1に渡してしまう（2がぼっちになる）：1通り
3人全員が2に渡してしまう（1がぼっちになる）：1通り

したがって、全パターンの8通りから、この「すべて1」と「すべて2」になってしまうケース（合計2通り）を引き算します。

よって、8 - 2 = 6 通りが答えです。