Web Analytics Made Easy - StatCounter

工業大学生ももやまのうさぎ塾

うさぎでもわかるをモットーに大学レベルの数学・情報科目をわかりやすく解説! 数式が読み込まれない場合は1回再読み込みしてみてください。

うさぎ模試 解析2 マーク編(定期試験・編入学・院試・数検対策)

こんにちは、ももやまです。

今回は「うさぎでもわかる解析」の総復習として、マーク式で解析学の問題・解答・解説を作成しました。

(レベルは基本〜若干応用です。)

解析系の試験の前に是非チャレンジしてみてください!

 

問題のPDFはこちらからダウンロードできます!

 

 

※ 一部の問題は EMaTからお借りしております…。

第1問.小問集合 

小問集合は小問ごとに解説を分けています。

つぎの(1)~(7)の問いに答えなさい。(配点 10)

(1) 2変数関数の定義域・値域

2変数関数\[
f(x,y) = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2-y^2} }
\]の値域として正しいものを1つ選び、[   1   ] にマークしなさい。

 

[   1   ] の選択肢

 x^2 \geqq 1 または  y^2 \geqq 1
 x^2 + y^2 \geqq 1
 x^2 \leqq 1 かつ  y^2 \leqq 1
 x^2 + y^2 \leqq 1
 f(x,y) \geqq 0
⑤  f(x,y) \gt 0
 f(x,y) \lt 0
 f(x,y) \leqq 0
 f(x,y) \geqq 1
 f(x,y) \gt 1
①②  f(x,y) \lt 1
①③  f(x,y) \leqq 1
①④ すべての実数

解答:8  [1点]

 

★解説★

値域は、2変数関数  f(x,y) が取りうる値のことである。

また、 \sqrt{1 - x^2 - y^2} が取りうる値の範囲は\[
0 \leqq \sqrt{1 - x^2 - y^2} \leqq 1
\]なので、2変数関数  f(x,y) が取りうる値の範囲は  f(x,y) \geqq 1 となり、8が答え。

 

★コメント★

定義域、値域を間違えないようにしましょう。

2変数関数の定義域、値域についての復習記事はこちら! 

(2) 2変数関数の概形

2変数関数\[
z =  \sqrt{x^2 + y^2}
\]の概形として正しいものを [   2   ] にマークしなさい。

[2018年度EMaT 微分・積分問4]

f:id:momoyama1192:20200206154924g:plain

解答:1  [1点]

3次元で考えると大変なので、 x = 0,  y = 0 を仮定して2次元で考える。

 

(i)  x = 0 のとき

 z = \sqrt{y^2} = y となるので  yz 座標平面上では直線  z = y になっっている必要がある。

(この時点で1以外おかしそうに見えますね……)

 

(ii)  y = 0 のとき

 z = \sqrt{x^2} = x となるので  xz 座標平面上でも直線  z = x になっっている必要がある。

 

(i), (ii) より1が答え。 

 

★コメント★

2変数関数の図示は必須ではありませんが、どんな図形か想像できるように(選択肢から選べる)なっておくといいと思います。

2変数関数の図示ついての復習記事はこちら! 

(3) 2変数関数の極限・連続性

\[
f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l} \ \ \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2} } \ \ & (x,y)  \not  = (0,0)  \\ \ \ \ \ \ \ 0  & (x,y) = (0,0)  \end{array}\right.\]
が原点 (0,0) において連続であるか調べたい。\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2} } = \left[ \ \ \ 3 \ \ \ \right] 
\]を計算すると、[   3   ] なので、 f(x,y) は [   4   ]。

 

f:id:momoyama1192:20200206160943g:plain

★解答★

[   3   ]:0  [1点]
[   4   ]:0  [1点]

 

★解説★

 x = r \cos \theta,  y = r \sin \theta とおく。

極限は  (x,y) \to 0 から、\[r = \sqrt{x^2 + y^2} \to 0 \] となる。\[\begin{align*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2} }
& = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta}{ r }
\\ & = \lim_{r \to 0} r \sin \theta \cos \theta
\\ & = \lim_{r \to 0} \frac{1}{2} r \sin 2 \theta 
\end{align*} \]となる。

ここで、 r \to 0 のとき、 r の値は当然0である。

さらに、  0 \leqq | \sin 2 \theta \  | \leqq 1 なので、はさみうちの定理より\[\begin{align*}
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2} } & =
\lim_{r \to 0} \frac{1}{2} r \sin 2 \theta  \\ & = 0
\end{align*}\]となる。

よって、[   3   ] のマーク番号は0。

 

さらに、\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2} } = 0 = f(0,0)\]となるので原点において連続である。

よって、[   4   ] のマーク番号は0。

 

★コメント★

2変数関数の原点における極限は基本的に極座標に置き換えることで求めることができます。

また、2変数関数の連続性の議論は記述式でも必ずできるようになっておきましょう。

2変数関数の極限、連続性ついての復習記事はこちら! 

(4) 2変数関数の極限・連続性

2変数関数  f(x,y) C_2 級関数であるとき、 f_{xy} = f_{yx} が成り立つ。つまり、偏微分の順序を入れ替えても計算結果が変わらない。ここで、 C_2 級関数とはどのような関数か。正しいものを1つ選び、マーク番号 [   5   ] にマークしなさい。

 

[   5   ] の選択肢

⓪ 1回偏微分可能な関数
① 2回偏微分可能な関数
② 3回偏微分可能な関数
③ 1次以下の偏導関数がすべて連続な関数
④ 2次以下の偏導関数がすべて連続な関数
⑤ 3次以下の偏導関数がすべて連続な関数
⑥ 1回偏微分可能かつ1次以下の偏導関数がすべて連続な関数
⑦ 2回偏微分可能かつ2次以下の偏導関数がすべて連続な関数
⑧ 3回偏微分可能かつ3次以下の偏導関数がすべて連続な関数

★解答★

解答:7

  • 2回偏微分可能(2次までの偏導関数が存在)
  • 2次までの偏導関数がすべて連続

の2つを満たしたものを  C_{2} 級関数といいます。

 f_{xx},  f_{xy},  f_{yx},  f_{yy} がすべて存在して連続であれば  C_2 級関数ということができます。

 

★コメント★

用語問題は盲点となりやすいので復習しましょう。

(5) 2変数関数の極限・連続性 

2変数関数  f(x,y) がある点  (a,b) において極大値を持つとする。このとき成立する関係式として正しいものを2つ選び、マーク番号 [   6   ] にマークしなさい。

ただし、行列  X を\[
X = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} (a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{array} \right|
\]とする。なお、この行列  X は [   7   ] と呼ばれる。

f:id:momoyama1192:20200206160948g:plain

★解答★

[   6   ]:0, 5  [完答1点]
[   7   ]:5  [1点]

 

★解説★

2変数関数がある点  (a,b) において極大値をもつためには、

  1. ある点  (a,b) で極値をもつ
  2. ある点  (a,b) で極大値となる

を確認する必要がある。

まず、極値を持つためには、\[
X = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{array} \right| > 0
\]が条件の1つとなる。

なお、この行列はヘッシアンと呼ばれます。よって [   7   ] のマーク番号は 5。

 

さらに極大値を持つためには、\[
f_{xx} (a,b) < 0
\]が条件となります。

(参考までに極小値の場合: f_{xx} (a,b) \gt 0

 

よって0, 5の2つが極大値を持つための条件となる。

 

★コメント★

2変数関数の極大値、極小値の求め方をごっちゃにしないように注意しましょう。

2変数関数の極値についての復習記事はこちらをご覧ください。

(6) 2変数関数の極限・連続性 

陰関数で与えられた方程式  f(x,y) = 0 からなる関数の導関数  \frac{dy}{dx} が存在するための条件は [   8   ] である。また、[   8   ] を満たすとき、導関数  \frac{dy}{dx} は [   9   ] で求めることができる。

f:id:momoyama1192:20200206154928g:plain

★解答★

[   8   ]:5  [1点]
[   9   ]:1  [1点]

 

方程式  f(x,y) = 0 で定まる関数  y = g(x) があるとする。

式の両辺を  x で微分すると、\[
\frac{d}{dx} f(x,g(x) ) = f_x + \frac{dy}{dx} f_y = 0
\]となるので、\[
\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y}
\]を導くことができる。

よって [   9   ] の答えは 1 となる。

 

また、- \frac{f_x}{f_y} の分母が0になったら陰関数は存在しないので  f_{y} \not = 0 が陰関数が存在する条件となり、[   8   ] のマーク番号は 5。

 

★コメント★

陰関数の公式はマイナスを付け忘れたり分子分母を逆にする人が多いので、できれば導出できるようにしておきましょう。

復習はこちらから。

(7) 変数変換(ヤコビアン)

ある関数の2重積分を求めるために  x = ar \cos \theta,  y = br \sin \theta と変数変換を行った。このときのヤコビ行列式の値として正しいものを [  10  ] にマークしなさい。

f:id:momoyama1192:20200206154933g:plain

解答:3  [1点]

 

 x = ar \cos \theta,  y = br \sin \theta と変数変換を行ったときのヤコビ行列式(ヤコビアン)は、\[ \begin{align*}
J  & =  \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| 
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} a \cos \theta & - ar \sin \theta \\ b \sin \theta & br \cos \theta \end{array} \right| 
\\ & = abr \cos^2 \theta + abr \sin^2 \theta
\\ & = abr \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right)
\\ & = abr
\end{align*} \]と計算できるので答えは  abr となり、マーク番号3が答え。

 

★コメント★

 x = ar \cos \theta,  y = br \sin \theta の変数変換は積分範囲が楕円のときに使われます。

ヤコビアンの復習はこちらから。

第2問.偏微分 

つぎの [  11  ] ~ [  14  ] に当てはまる答えを下の解答群から選び、マークしなさい。

[2010年度EMaT 微分・積分問4]

 

2変数関数\[
f(x,y) = \log (x^2 + y^2)
\]を考える。ただし  (x,y) \not = (0,0) とする。

このときの偏導関数は、\[
\frac{ \partial f }{ \partial x} = \left[ \ \ 11 \ \ \right]  \\
\frac{ \partial f }{ \partial y} = \left[ \ \ 12 \ \ \right]
\]となる。また、\[
\frac{ \partial^2 f }{ \partial y \partial x } = \left[ \ \ 13 \ \ \right]  \\
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2} + \frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2} = \left[ \ \ 14 \ \ \right] \]となる。

f:id:momoyama1192:20200206154937g:plain

 

★解答★

[  11  ]:4(2点)
[  12  ]:5(2点)
[  13  ]:13(3点)
[  14  ]:0(3点)

 

\[
\frac{ \partial f }{ \partial x} = \frac{2x}{x^2+y^2} \\
\frac{ \partial f }{ \partial y} = \frac{2y}{x^2+y^2}
\]となり、[  11  ] が4、[  12  ] が5となる、また\[\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial y \partial x } & =
 \frac{ - 2y \cdot 2y }{ (x^2+y^2)^2 } \\ & =
\frac{ - 4y^2 }{ (x^2+y^2)^2 }
\end{align*}\]となる。よって [  13  ] は13が答え。さらに\[
\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2 } & =
\frac{ 2 (x^2+y^2) - 2x \cdot 2x }{(x^2+y^2)^2}
\\ & = \frac{ -2x^2 + 2y^2}{(x^2+y^2)^2}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2 } & =
\frac{ 2 (x^2+y^2) - 2y \cdot 2y }{(x^2+y^2)^2}
\\ & = \frac{ 2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2}
\end{align*}\]となるので、\[\begin{align*} &
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2} + \frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2} \\ = \ &
\frac{ -2x^2 + 2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{ 2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} \\ = \ & 0
\end{align*}\]となり、[  14  ] の答えは0となる。

 

★コメント★

偏微分に関する基本的な問題でした。ここは10点満点とってほしいです。

偏微分の復習はこちらから。

 

余談ですがマーク番号 [  14  ] で、\[
\frac{ \partial^2 f }{ \partial x^2} + \frac{ \partial^2 f }{ \partial y^2} = 0
\]を計算していますが、実は上式を満たすようなものはラプラス方程式と呼ばれます。

第3問.2変数マクローリン展開・接平面 

(1) 2変数マクローリン展開

つぎの [  15  ] ~ [  19  ] に当てはまる数字を -9 ~ 9 の範囲でマークしなさい。(配点  5)

2変数関数\[
f(x,y) = \frac{1}{1+x-y}
\]を2次の項までマクローリン展開すると、\[
f(x,y) = 1 + \left[ \ \ 15 \ \ \right] x + \left[ \ \ 16 \ \ \right] y + \left[ \ \ 17 \ \ \right] x^2 + \left[ \ \ 18 \ \ \right] xy + \left[ \ \ 19 \ \ \right] y^2
\]となる。

 

★解答★

[  15  ]:-1(1点)
[  16  ]:1(1点)
[  17  ]:1(1点)
[  18  ]:-2(1点)
[  19  ]:1(1点)

 

★解説★

[素直に偏微分]

\[
f(x,y) = \frac{1}{1+x-y} = (1+x-y)^{-1}
\]なので、\[
f_{x}= - (1+x-y)^{-2} \ \ \ f_{x} (0,0) = -1 \\
f_{y}=  (1+x-y)^{-2} \ \ \ f_{y} (0,0) = 1  \\
f_{xx}= 2 (1+x-y)^{-3} \ \ \ f_{xx} (0,0) = 2 \\
f_{xy}= -2 (1+x-y)^{-3} \ \ \ f_{xy} (0,0) = -2 \\
f_{yy}= 2 (1+x-y)^{-3} \ \ \ f_{yy} (0,0) = 2 \\
\]となるので、\[\begin{align*}
f(x,y) & = 1 + f_{x} (0,0) x + f_{y} (0,0) y + \frac{1}{2} \left( f_{xx}  (0,0) x^2 + 2 f_{xy} (0,0) xy + f_{yy} (0,0) y^2  \right)
\\ & = 1 -x + y + x^2 - 2xy + y^2
\\ & = 1 + (-1) x + 1y + 1 x^2 + (-2) xy + y^2
\end{align*}\]となる。

[別解]

 - x + y = t とし、\[
f(t) = \frac{1}{1-t}
\]のマクローリン展開を求める。すると、\[
f(t) = 1 + t + t^2 + \cdots
\]となるので、 t = -x + y を代入しもとに戻すと\[\begin{align*}
f(x,y) & = 1 + (-x+y) + (-x+y)^2
\\ & = 1 -x + y + x^2 - 2xy + y^2
\\ & = 1 + (-1) x + 1y + 1 x^2 + (-2) xy + y^2
\end{align*}\]となる。

 

★コメント★

2変数のマクローリン展開に関する問題でした。

今回(  -x + y = t )のように、1変数にしてからマクローリン展開するとかなり楽に計算できるのでおすすめです。

(ただし、2変数テイラー展開はそこまで楽にならないので素直に計算しましょう。

マクローリン展開、テイラー展開の復習はこちらから。

(2) 接平面

つぎの [  20  ] ~ [  22  ] に当てはまる答えを下の解答群から選びなさい(配点  5)

\[
z = f(x,y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}
\]の  f(1,1) における接平面の方程式を求めたい。\[
f(1,1) = \left[ \ \ 20 \ \ \right]
\]なので接平面の方程式は\[
z = \left[ \ \ 21 \ \ \right] x + \left[ \ \ 22 \ \ \right] y + \left[ \ \ 20 \ \ \right] 
\]となる。

f:id:momoyama1192:20200206154941g:plain

 ★解答★

[  20  ]:17(1点)
[  21  ]:9(2点)
[  22  ]:3(2点)

まずは解析1の復習。\[
f(1,1) = \tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}
\]より [  20  ] の答えは 17 。

 

また、\[ \begin{align*}
f_{x} & = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 } \cdot \left( - \frac{y}{x^2} \right)
\\ & = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \left( - \frac{y}{x^2} \right)
\\ & = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( - \frac{y}{x^2} \right)
\\ & = - \frac{y}{x^2 + y^2} 
\end{align*} \] \[\begin{align*}
f_{y} & = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 } \cdot \left( \frac{1}{x} \right)
\\ & = \frac{x^2}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)
\\ & = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)
\\ & = \frac{x}{x^2 + y^2} 
\end{align*} \]となるので、\[
f_{x} (1,1) = - \frac{1}{2} , \ \ \ f_{y} (1,1) = \frac{1}{2}
\]となる。よって、点 (1,1) における接平面の方程式は\[\begin{align*}
z & =  f_{x} (1,1) (x-1) + f_{y} (1,1) (y-1) + f(1,1)
\\ & = - \frac{1}{2} (x-1) + \frac{1}{2} (y-1) + \frac{\pi}{4}
\\ & = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y + \frac{ \pi }{4}
\end{align*}\]となる。

よって [  21  ] の答えは 9 、[  22  ] の答えは 3 となる。

 

★コメント★

接平面の公式を確認しておきましょう。

念の為確認ですが逆三角関数の微積も大丈夫ですよね……?

 

接平面の確認はこちら、逆三角関数の確認はこちらから。

第4問.2重積分

つぎの [  23  ] ~ [  26  ] に当てはまる選択肢として正しいものをそれぞれの解答群の中から選びなさい。(配点 10)

[2009年度EMaT 微分・積分問6]

2重積分\[
\iint_{D} x e^{y^{2}} \ dxdy \\
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq x \leqq 1, \ x^2 \leqq y \leqq 1\ \}
\]の値を求める。積分範囲  D を変更すると、\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq y \leqq 1, \ \left[ \ \ 23 \ \ \right]  \leqq x \leqq \left[ \ \ 24 \ \ \right] \ \}
\]となる。よって、\[\begin{align*}
\iint_{D} x e^{y^{2}} \ dxdy & = \int^{1}_{0} \left( \int^{ \left[ \ \ 24 \ \ \right] }_{ \left[ \ \ 23 \ \ \right] } x e^{y^{2}} \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{1}_{0} \left[ \ \ 25 \ \ \right] \ dy
\\ & = \left[ \ \ 26 \ \ \right]
\end{align*}\]と積分を計算することができる。

f:id:momoyama1192:20200206154944g:plain

 

★解答★

[  23  ]:0(2点)
[  24  ]:4(2点)
[  25  ]:3(3点)
[  26  ]:5(3点)

まず積分範囲を図示してみましょう。

f:id:momoyama1192:20200206154914g:plain

すると、\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq y \leqq 1, \ 0 \leqq x \leqq \sqrt{y} \ \}
\]と変換できるので、[  23  ] のマーク番号は0、[  24  ] のマーク番号は4となる。

 

よって、\[ \begin{align*}
\iint_{D} x e^{y^{2}} \ dxdy & = \int^{1}_{0} \left( \int^{ \sqrt{y} }_{ 0 } x e^{y^{2}} \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{1}_{0} \left( \int^{ \sqrt{y} }_{ 0 } x e^{y^{2}} \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{1}_{0} \left( e^{y^{2}}\int^{ \sqrt{y} }_{ 0 } x  \ dx \right) \ dy
\\ & =  \int^{1}_{0} \left( e^{y^{2}} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]^{ \sqrt{y} }_{ 0 } \right) \ dy 
\\ & =  \int^{1}_{0} e^{y^{2}} \cdots \frac{1}{2} y \ dy 
\\ & =  \int^{1}_{0} \frac{y}{2} e^{y^{2}} \ dy \ \ \ \left( \left[ \ \ 25 \ \ \right] \to 3 \right)
\\ & = \frac{1}{4} \int^{1}_{0}  2y e^{y^{2}}  \ dy 
\\ & = \frac{1}{4} \left[ e^{ y^{2} } \right]^{1}_{0} \ dy 
\\ & = \frac{1}{4} \left( e - 1 \right)
\\ & = \frac{e-1}{4} \ \ \ \left( \left[ \ \ 26 \ \ \right] \to 5 \right)
\end{align*} \]となり、[  25  ] のマーク番号は 3 、[  26  ] のマーク番号は 5 となる。

 

★コメント★

二重積分で、積分順序を交換してから積分をする問題でした。

今回はマーク式なので誘導をつけていますが、誘導なしでも解けるようにしましょう。

 

復習はこちらから。

第5問.曲面積

つぎの [  27  ] ~ [  30  ] に当てはまる選択肢として正しいものをそれぞれの解答群の中から選びなさい。(配点 10)

放物面  z = x^2 + y^2 のうち、2つの平面  z = 0,  z = 1 にある部分の曲面積を求めたい。

 z = f(x,y) とすると、曲面積は\[
\iint_{D}  \left[ \ \ 27 \ \ \right] \ dxdy \\
D = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 \leqq 1 \ \}
\]で求めることができる。さらに  x = r \cos \theta,  y = r \sin \theta とすると範囲を\[
D' = \{ (x,y) \mid \left[ \ \ 28 \ \ \right] \ \}
\]と変換することができる。よって、\[\begin{align*}
\iint_{D}  \left[ \ \ 27 \ \ \right] \ dxdy & = \iint_{D'}  \left[ \ \ 29 \ \ \right] \ dr d \theta
\\ & = \left[ \ \ 30 \ \ \right]
\end{align*} \]と計算できる。

f:id:momoyama1192:20200206154948g:plain

 ★解答★

[  27  ]:3(2点)
[  28  ]:1(2点)
[  29  ]:7(2点)
[  30  ]:3(4点)

 

★解説★

立体の底面の領域が  D (今回は問題に与えられてる)の放物面  z = f(x,y) の曲面積は、\[ \begin{align*}
\iint_{D} \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial x } \right)^2 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial y } \right)^2 } \ dxdy
\end{align*} \]で求められる。

よって、[  27  ] の答えは3となる。

 

また、\[
\frac{ \partial f }{ \partial x } = 2x , \ \ \ \frac{ \partial f }{ \partial y } = 2y
\]なので、\[ \begin{align*} &
\iint_{D} \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial x } \right)^2 + \left( \frac{ \partial f }{ \partial y } \right)^2 } \ dxdy \\ =  & \iint_{D} \sqrt{ 1 + \left( 2x \right)^2 + \left( 2y \right)^2 } \ dxdy
\\ = &  \iint_{D} \sqrt{ 1 + 4x^2 + 4y^2 } \ dxdy
\end{align*} \] 

 

さらに、 x = r \cos \theta,  y = r \sin \theta とすると、ヤコビアンは  r となるので、\[
dxdy = r \ dr d \theta
\]となる。また、積分領域  D' は、\[\begin{align*}
D' = \{ (r, \theta ) \mid 0 \leqq r \leqq 1, \ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \ \}
\end{align*}\]となる。( [  28  ] の答えは 1 )

 

よって、\[\begin{align*}
\iint_{D} \sqrt{ 1 + 4x^2 + 4y^2 } \ dxdy & = \iint_{D'} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \ \int^{1}_{0} r \sqrt{ 1 + 4r^2 }
\end{align*}\]を求めればよい(広義積分に注意)。

[  29  ] の答えは7となる。

 

あとはそれぞれの積分を計算するだけ\[ \begin{align*}
\int^{1}_{0} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } & = \frac{1}{8} \int^{1}_{0} 8r \sqrt{ 1 + 4r^2 }
\\ & = \frac{1}{8} \left[ \frac{2}{3} ( 1 + 4r^2 )^{ \frac{3}{2} } \right]^{1}_{0}
\\ & = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{12} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right)
\end{align*} \] \[
\int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta  = 2 \pi
\]となるので、\[\begin{align*}
\iint_{D} \sqrt{ 1 + 4x^2 + 4y^2 } \ dxdy & = \iint_{D'} r \sqrt{ 1 + 4r^2 } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \ \int^{1}_{0} r \sqrt{ 1 + 4r^2 }
\\ & = 2 \pi \cdot \frac{1}{12} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{6} \left(  5 \sqrt{5} - 1 \right) \pi
\end{align*} \]となるので [  30  ] の答えは 3 となる。

 

★コメント★

曲面積(表面積)を誘導に沿って解く問題でした。

こちらも誘導があるので曲面積の公式さえわかればあとは微分と二重積分をするだけの問題でしたね。

 

さいごに

今回は解析2(2変数関数の微分積分)の模試のマーク編の解説をしていきました。

50点満点で40点以上取れた人は2変数関数の微分積分の基礎ができていると思ってOKです。

 

うさぎ模試で解けなかった部分は復習しましょう!

記述式の問題も用意しているので、もし余裕があれば記述式の問題にもチャレンジしてみましょう!